1、新东方在线考研数学基础班电子版教材线性代数- 1 -新东方在线考研数学基础班网络课程电子版教材线性代数部分前 言1复习线性代数应该着重于概念部分线性代数的特点：概念性强，它的许多概念和性质比较复杂和抽象，而计算题型不多，它们虽然计算量大，但是方法初等，技巧性差。另一方面，考研命题的特点是综合，多变，追求新颖，因此题目的典型性淡化了，灵活性增加了。这个特点尤其在线性代数上反映得最明显。于是，在理论上提高自己，加深对概念的理解，拓宽解题思路，增强应变能力才是应对这样的考题的有效途径。为此，我认为对线性代数的考前准备，自始至终都应该把加深理论的理解放在最重要的位置上。在现在的基础复习阶段更加应该这样
2、做。重点放在帮助大家在理论上打好基础，并在此基础上改进解题方法。2怎样来复习概念？梳理，沟通，充实提高。梳理：条理化，给出一个系统的，有内在有机结构的理论体系。沟通：突出各部分内容间的联系。充实提高：围绕考试要求，介绍一些一般教材上没有的结果，教给大家常见问题的实用而简捷的方法。大家要有这样的思想准备：发现我的讲解在体系上和你以前学习的有所不同，有的方法是你不知道的。但是我相信，只要你对它们了解了，掌握了，会提高你的解题能力的。3对大家学习的建议学习数学一定要自己动脑，动手。我们的课程比学校的课程是大大浓缩的，强度很大。要想收到好的效果不能只听，自己要花很大努力。（1）有预习，最好先把过去学这
3、门课时的教材和笔记看看。（2）听课时着重于理解，不要只顾记笔记。在所发的讲义中，重要的内容都会写出的。（3）最好能同步的复习，消化，做题。为此在相邻的两次课之间留有足够的时间。第一讲 基本知识一线性方程组的基本概念mnmnbxaxa 21 222 121,与 不一定相等。n两个研究目标：（1）讨论解的情况（ ）nk,2唯一解，无穷多解，无解（2）求解，无穷多解时求通解。齐次线性方程组： 。021mbb新东方在线考研数学基础班电子版教材线性代数- 2 -零解（ ） 。0,唯一解：即只有零解。无穷多解：有非零解。二矩阵和向量1什么是矩阵和向量813924520A系数矩阵 mnmnaa 212121
4、增广矩阵 mnmbaa 2121，,354321,A2线性运算与转置加（减）法 数乘1620435021413,9, AB C ccdAc新东方在线考研数学基础班电子版教材线性代数- 3 - Acd 或 。0向量组的线性组合，s,21。scc转置的转置 （或 ）ATA4012313，,313TATTB。Tc3 阶矩阵n行、 列的矩阵。对角线，其上元素的行标、列标相等 ,21a对角矩阵 *0数量矩阵 E3单位矩阵 I或10新东方在线考研数学基础班电子版教材线性代数- 4 -上（下）三角矩阵 *0对称矩阵 。AT反对称矩阵 。三矩阵的初等变换，阶梯形矩阵初等变换分 初 等 列 变 换初 等 行 变
5、 换三类初等行变换交换两行的上下位置BA用非零常数 乘某一行。c把一行的倍数加到另一行上（倍加变换）阶梯形矩阵341200514如果有零行，则都在下面。各非零行的第一个非 元素的列号自上而下严格单调上升。或各行左边连续出现的 的个数自上而下严格单调上升，直到全为 。0台角：各非零行第一个非 元素所在位置。0简单阶梯形矩阵：3台角位置的元素都为 14台角正上方的元素都为 0。002315403215新东方在线考研数学基础班电子版教材线性代数- 5 -0023190240231040023189每个矩阵都可用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵。如果 是一个 阶矩阵An是阶梯形矩阵 是上三角矩
6、阵，反之不一定，如是上三角，但非阶梯形10*0四线性方程组的矩阵消元法用同解变换化简方程再求解三种同解变换：交换两个方程的上下位置。用一个非 数 乘某一个方程。0c把某一方程的倍数加到另一个方程上去，它在反映在增广矩阵上就是三种初等行变换。23109425411xx20531928140新东方在线考研数学基础班电子版教材线性代数- 6 -8412143x， ， ， 。302x1矩阵消元法：写出增广矩阵 ，用初等行变换化 为阶梯形矩阵 。AAB用 判别解的情况。Bi）如果 最下面的非零行为 ，则无解，否则有解。d0,ii）如果有解，记 是 的非零行数，则B时唯一解。n时无穷多解。iii）唯一解求
7、解的方法（初等变换法）去掉 的零行，得 ，它是 矩阵， 是 阶梯形矩阵，从而是上B0 cn0Bn三角矩阵。nnbb 12100*则 都不为 。 nbin1 0于是把 化出的简单阶梯形矩阵应为0B nc 2101其方程为 即 就是解。, ,21ncxnc,21新东方在线考研数学基础班电子版教材线性代数- 7 -第二讲 行列式一形式与意义nnnaa 212112A 是 阶矩阵， 表示相应的行列式。二定义（完全展开式）bcadc一个 阶行列式 的值：nnnnaa 212112是 项的代数和!每一项是 个元素的乘积，它们共有 项!njja21其中 是 的一个全排列。 ,1 前面乘的应为njj1j2的逆
8、序数nj1,2，64352新东方在线考研数学基础班电子版教材线性代数- 8 -02310n nnj jjja 21 2121例 1 nnnn aaaa 2121220*例 2 432143214343210bbbbnnn bb 2121*012Cn例 3 xbxaxf 120208543求 中的 和 的系数f43三计算（化零降阶法）余子式和代数余子式新东方在线考研数学基础班电子版教材线性代数- 9 -称 为 的余子式。ijMijaijiijA1定理：一个行列式的值 等于它的某一行（列） ，各元素与各自代数余子式乘积之和。DnAaaD2221540731502754213450152341720
9、命题：第三类初等变换保持行列式的值501212532154073 化零降阶法例 4求行列式 的第四行各元素的余子式之和。2350704四行列式的其它性质1转置值不变 AT2用一个数 乘某一行（列）的各元素值乘ccAn3行列式和求某一行（列）分解新东方在线考研数学基础班电子版教材线性代数- 10 -, 2121，3 阶矩阵A21,B321,AB321321 , 4第一类初等变换使值变号5如果一个行列式某一行（列）的元素全为 或者有两行（列）的元素成比例关系，0则行列式的值为 。06一行（列）的元素乘上另一行（列）的相应元素代数余子式之和为 。07 BABA8范德蒙行列个jiinaaa)(11 2
10、nC例 5设 4 阶矩阵 ， ， 已知 ， ，求321,rA321,rB2A3B。BA例 6 30121zxyyzdcba， ， ，91A3A14新东方在线考研数学基础班电子版教材线性代数- 11 -30111zxyzMA即9389zxyyz30912zyx五元素有规律的行列式的计算例 7 22aa解： 22a2114aaa2001442a例 8 xx11例 9 ，求 的条件annaA 220A新东方在线考研数学基础班电子版教材线性代数- 12 -例 10 4321545321六克莱姆法则克莱姆法则：设线性方程组的系数矩阵 是 阶矩阵（即方程个数 未知数个数 ）Anmn，则时，方程组唯一解，此
11、解为0ADn,21是 的第 列用 代替后所得 阶行列式：iAinb21n时，解如何？0即唯一解 ？?A改进： 唯一解证明： rB 行0ArbbrBn0*21若 ，则 , ，故唯一解。ii若唯一解，则 有 个非零行，且最下面的非零行不是 于是 ，rB| d|0, 0nb从而每 。0ib新东方在线考研数学基础班电子版教材线性代数- 13 -niibB10求解方法：ErA 行行就是解。对于齐次方程组 只有零解。0问题：若齐次方程组的方程数 ，有无非零解？nm例如 32211xaxa增加方程 0例 1309021603393， ，0xy1z例 abcxacbx321 22321（1）有唯一解的充要条件
12、是什么（2）求解新东方在线考研数学基础班电子版教材线性代数- 14 -第三讲 矩阵一矩阵的乘法1定义与规律定义：设 与 是两个矩阵AB如果 的列数等于 的行数，则 可以乘 ，乘积也是一个矩阵，记作 。ABAB当 是 矩阵， 是 矩阵时， 是 矩阵。nmsnsm的 位元素是 的第 行和 的第 列对应元素乘积之和。ji,ijnjijijiij babaC21遵循的规律线性性质，BAA2121Bcc结合律 BCA TT与数的乘法的不同之处无交换律例如 ， ，421A1326B则 ，0B05无消去律当 时 或AB由 和00由 时 （无左消去律）C2 阶矩阵的方幂与多项式n任何两个 阶矩阵 与 可乘，并
13、且 仍是 阶矩阵。ABAn新东方在线考研数学基础班电子版教材线性代数- 15 -行列式性质： BA是 阶矩阵An，个kE0llkllk但是 不一定成立！kBA设 ，011axxaxfkk 是 阶矩阵，规定nEAfkk 011问题：数的乘法公式，因式分解等对矩阵是否仍成立？ ？22BABBA222障碍是交换性当 时，BAkiiiBAC0一个矩阵 的每个多项式可以因式分解，例如EE323乘积矩阵的列向量与行向量（1）设 矩阵 ， 维列向量 ，则nmnA,21Tnb,21nbbA21 33231221132132132 ababa32132321312 b应用于方程组新东方在线考研数学基础班电子版教
14、材线性代数- 16 - mnmmm nbxaxax 21 222 11211记 是系数矩阵， ，设 ，An,21Tnx,1则 ，nmmxaxax 212211方程组的矩阵形式，AxTb,21方程组的向量形式nx21（2）设 ，CB记 ，s,21sr,21则 iAri 或 sB,21 ,1212211221221 mnsnsmnmn cbbaa于是 iiiiiAr 21即 的第 个列向量 是 的列向量组 的线性组合，组合系数是 的BirAn,21 B第 个列向量的各分量。i类似地： 的第 个行向量是 的行向量组的线性组合，组合系数是 的第 个行向iBAi量的各分量。TTCAB新东方在线考研数学基
15、础班电子版教材线性代数- 17 -例 1 10925347231231,48 13905912534701nn0,221n,21对角矩阵从右侧乘一矩阵 ，即用对角线上的元素依次乘 的各列向量。AA对角矩阵从左侧乘一矩阵 ，即用对角线上的元素依次乘 的各行向量。于是 ，AE，kk两个对角矩阵相乘只须把对角线上对应元素相乘对角矩阵的 次方幂只须把每个对角线上元素作 次方幂。k4初等矩阵及其在乘法中的作用对单位矩阵作一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵。共有 3 种初等矩阵（1） ：交换 的第 两行或交换 的第 两列jiE,ji,Eji,，5n10014,2（2） ：用数 乘 的第 行或第 列)(c
16、iEEii新东方在线考研数学基础班电子版教材线性代数- 18 -，5n1001)(2cE（3） ：把 的第 行的 倍加到第 行上，或把 的第 列的 倍加到第)(,cjijciEic列上。j，5n1001)(4,cE命题：初等矩阵从左（右）侧乘一个矩阵 等同于对 作一次相当的初等行（列）变A换。)(4,1,54321cE100,54321541321,c5矩阵分解例 2 （05 考题）3 阶矩阵 ，321,A1|A，求 32121 94, C |C当矩阵 的每个列向量都是 的列向量的线性组合时，可把 分解为 与一个矩阵A的乘积。B例 3 （05 考题）设 是 3 阶矩阵， 是 3 个 3 维列向
17、量。A21,， ，21A322A求作矩阵 ，使得BB2131,新东方在线考研数学基础班电子版教材线性代数- 19 -6乘法的分块法则一般法则：在计算两个矩阵 和 的乘积时，可以先把 和 用纵横线分割成若干ABAB小矩阵来进行，要求 的纵向分割与 的横向分割一致。两种常用的情况（1） 都分成 4 块BA,，21 21B其中 的列数和 的行数相等， 的列数和 的行数相关。ij1iAj22122112AB（2）准对角矩阵kA021 kkk BABAB0000 212121 例 4 ， 。 ，求 。T3,21T31,2TA6对一个 阶矩阵 ，规定 为 的对角线上元素之和称为 的迹数。nAtr A于是
18、TkTk1tr新东方在线考研数学基础班电子版教材线性代数- 20 -例 5 （03）设 维列向量 ， 。规定 ，nTa,0,TEA。已知 ，求 。TaEB1EAB例 6 （03）已知 ，求1T T3TTtr例 7 ， ，求T1,0TAnAaE例 8 （99）设 ，求10212n二矩阵方程与可逆矩阵1两类基本的矩阵方程若知道 和 ， 中的一个，求另一个，这是乘法的逆运算。CABAB两类基本矩阵方程xI xI都需求 是方阵，且 0例 9已知 ， ，求 ，使得 。10A30152BxBAx等式 可恒等变形为 BxE新东方在线考研数学基础班电子版教材线性代数- 21 -，201AE03AE如果 上有一
19、列，记作 ，则 是线性方程组。Bx现在 有两列，则 也应有两列，设x，21,x则 21,xAEAE得 ，521x3012，它们都是唯一解，从而 唯一解。0AEx（I）的解法：xB 行（II）的解法，先化为 。TBA。TTxEA例 10求 ，使得 ， ， 。34518721512A2可逆矩阵及其逆矩阵当 时， 。0aa1对 两边乘 ，得 。cbcb定义与意义设 是 阶矩阵，如果存在 阶矩阵 ，使得 ，且 ，则称 是可逆AnnHEAHA矩阵，称 是 的逆矩阵，证作 。H1A设 可逆，则 有消去律。左消去律： 。CB右消去律： 。可逆性的判别，逆矩阵的计算新东方在线考研数学基础班电子版教材线性代数-
20、 22 -定理： 阶矩阵 可逆nA0证明：“ ”E1。不为 0， （且 ） 。AA1“ ”要找 ，既是 的解，又是 的解。HExEx， 有唯一解，记作 ， 也有唯一解，记作 ，则 ，xBCEAB。ECACAB可逆， 即 的解。1Ex求 的方程（初等变换法）1 E行推论 设 ， 是两个 阶矩阵，则ABn例 11设 ， ， ， 都是 阶矩阵，满足CDE证明（1） ， ， ， 都可逆， （2）求 ， 。1AB解：（1） ABDC， ， ， 都不为 0，因此 ， ， ， 都可逆。ABABCD（2） ，EC1，即 ， 。ABDABCA11C1可逆矩阵的性质新东方在线考研数学基础班电子版教材线性代数- 2
21、3 -i）当 可逆时，A也可逆，且 。TTTA1也可逆，且 。kAkk1数 ， 也可逆， 。0c11AcAn。Ecc11ii）设 ， 是两个 阶可逆矩阵，则 也可逆，且 。ABnAB11AB当 ， 都是 阶矩阵时， 都可逆 可逆命题：初等矩阵都可逆，且jiEji,1cici1jiEji,1。,cji新东方在线考研数学基础班电子版教材线性代数- 24 -1110010 cijicj11100010 命题：准对角矩阵 可逆kAA02每个 都可逆，记i11210kAA3伴随矩阵每个 阶矩阵 都有伴随矩阵，证作 。n*TijnnnAA 212121*伴随矩阵的基本性质：E*新东方在线考研数学基础班电子
22、版教材线性代数- 25 - AAaannnnnn 0212121212112 当 可逆时，AE*得 ，A1求逆矩阵的伴随矩阵法当 时： ，2ndcba则 aA*bcad1要证 1*AE得 11*A11伴随矩阵的其他性质 ,1*nA TT ,1cn *AB ，kk新东方在线考研数学基础班电子版教材线性代数- 26 - 。An2*时， dcbaAA*关于矩阵右上肩记号： ， ， ，*Tk1i) 任何两个的次序可交换，如 ，T*等1Aii) ，1 ,ABBTT*（但 不一定成立！）kkA例 12 ，求111A例 13 （00）己知 ，求矩阵 ，使得 .8031*ABEBA31例 14己知 ， , 满
23、足 ，求 .3120A10BxxAB2n例 15 （05）三阶矩阵 满足 ，并且 ，求A*T01321tat新东方在线考研数学基础班电子版教材线性代数- 27 -例 16 （05） 设 是 阶可逆矩阵， 是交换 的第 1，2 两行所得的矩阵，则AnBA（A）交换 的第 1， 2 两行得 。*（B）交换 的第 1， 2 两列得 。（C）交换 的第 1， 2 两行得 。B（D）交换 的第 1， 2 两列得 。*A*例 17 （01） 是 3 阶矩阵， 是 3 维列向量，使得 可逆，并且2,AP。23A（1）求作矩阵 ，使得B1P（2）求 E例 18 阶矩阵 满足nA0232E（1）证明 可逆，并求
24、 。1（2）证明对任何有理数 ， 可逆。c例 19设 是两个 阶对称矩阵，使得 可逆，证明 也是对称BA,nABEABE1矩阵。例 20设 阶矩阵 和 满足等式 ， , 证明：nba0（1） 和 都可逆bEAaB（2） 可逆 可逆（3） 小结：1乘法的定义，与数的乘法的区别2在特殊情形下怎么快捷地求乘积矩阵3矩阵分解的概念4矩阵方程的初等变换法5可逆矩阵，BAx1第四讲 向量组的线性关系和秩新东方在线考研数学基础班电子版教材线性代数- 28 -一线性表示1 可以用 线性表示，即 可以表示为 的线性组合，也s,21 s,21就是存在 使得sc,2 sc21记号： s,21例如 s0 si ,21
25、有解ss xx 121,有解s,2 Tsx,1有解，即 可用 A 的列向量组表示。Ax2 ，即每个st ,2121 si ,21如果 ， ，srCB n,21则 。nsr,2121如果 ，则存在矩阵 ，使得st Cst ,2121 例如 ， ， ，则32133120,321321线性表示关系有传递性，即当，pst r, 212121 则 。pt r 3等价关系：如果 与 互相可表示s,21 t,21ts,2121 新东方在线考研数学基础班电子版教材线性代数- 29 -就称它们等价，记作 。ts,2121 二线性相关性1定义与意义考察 的内在线性表示关系s,21， ， ，0121034线性相关：
26、存在向量 可用其它向量 线性表示。i sii,1 线性无关：每个向量 都不能用其它向量线性表示i定义：如果存在不全为 的 ，使得0sc,21，0s则称 线性相关，否则称 线性无关。s,21 s,21例如 ，则 ，0csc21。sc121线性无关，即当 时必存 。s,21 0sc 01sc线性相（无）关 有（无）非零解s,21 1sx有（无）非零解0,21s，即单个向量 ，1sx相关0， 相关 对应分量成比例2s21,，na,21nb,212新东方在线考研数学基础班电子版教材线性代数- 30 -相关21,nbaba:212性质如果向量个数 二维数 ，则 线性相（无）关snn1, 01n， 有非零解nA,210Ax0A如果 ，则 一定相关。ss,21的方程个数 未知数个数0Axn如果 无关，则它的每一个部分组都无关。s,21例如若 无关，则 一定无关。54321, 421,如果 无关，而 相关，则s,21 ,21s s,21设 不全为 0，使得cs,1 01ccs则其中 ，否则 不全为 0， ，与条件 无关s,1 1s s,1矛盾。于是 。scc1当 时，表示方式唯一 无关，s,1s1（表示方式不唯一 相关）s1
