1、绝密启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共 4 页，均为非选择题(第 1 题第 20 题，共 20 题) 。本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。4作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。5如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线
2、条、符号等须加黑、加粗。学科.网参考公式：锥体的体积 ，其中 是锥体的底面积， 是锥体的高13VShh一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1已知集合 ， ，那么 0,128A1,68BAB2若复数 满足 ，其中 i 是虚数单位，则 的实部为 ziiz3已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这 5 位裁判打出的分数的平均数为 4一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 S 的值为 5函数 的定义域为 2()log1fx6某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生去参加活动，则恰好选中 2 名
3、女生的概率为 7已知函数 的图象关于直线 对称，则 的值是 sin()2yx3x8在平面直角坐标系 中，若双曲线 的右焦点 到一条渐近线的距离为Oy21(0,)xyab(,0)Fc，则其离心率的值是 32c9函数 满足 ，且在区间 上， 则 的值()fx(4)()ffxR(2,cos,02,()1|,xf-(15)f为 10如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 11若函数 在 内有且只有一个零点，则 在 上的最大值与最小值32()1()fxaR(0,)()fx1,的和为 12在平面直角坐标系 中，A 为直线 上在第一象限内的点， ，以 AB 为直径的圆 C 与x
4、Oy:2lyx(5,0)B直线 l 交于另一点 D若 ，则点 A 的横坐标为 0BC13在 中，角 所对的边分别为 ， ， 的平分线交 于点 D，且ABC , ,abc120BCAA，则 的最小值为 14ac14已知集合 ， 将 的所有元素从小到大依次排列构*|21,xnN*|,nBxN成一个数列 记 为数列 的前 n 项和，则使得 成立的 n 的最小值为 nanSna12nSa二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分 14 分）在平行六面体 中， 1ABCD11,ABC求证：（1） ；平 面（2） 11平 面
5、平 面16 （本小题满分 14 分）已知 为锐角， ， ,4tan35cos()（1）求 的值；cos2（2）求 的值ta()17 （本小题满分 14 分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 O 的一段圆弧 （P 为此圆弧的中点）和线段 MNMN构成已知圆 O 的半径为 40 米，点 P 到 MN 的距离为 50 米现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形 ABCD，大棚内的地块形状为 ，要求 均在线段 上，CD ,ABMN均在圆弧上设 OC 与 MN 所成的角为 ,CD（1）用 分别表示矩形 和 的面积，并确定ABCDP的取值范围；sin（2）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚
6、内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 求当 为何值4:3时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大18 （本小题满分 16 分）如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 C 过点 ，焦xOy1(3,)2点 ，圆 O 的直径为 12(3,0)(,)F12F（1）求椭圆 C 及圆 O 的方程；（2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标；直线 l 与椭圆 C 交于 两点若 的面积为 ，,ABOAB 267求直线 l 的方程19 （本小题满分 16 分）记 分别为函数 的导函数若存在 ，满足 且 ，(),fxg (),fxg0x
7、R00()fxg00()fxg则称 为函数 与 的一个“S 点” 学科%网0()fx（1）证明：函数 与 不存在“S 点” ；f2()gx（2）若函数 与 存在“S 点” ，求实数 a 的值；2()1fxaln（3）已知函数 ， 对任意 ，判断是否存在 ，使函数 与fe()xbg00b()fx在区间 内存在“S 点” ，并说明理由()gx(0,)20 （本小题满分 16 分）设 是首项为 ，公差为 d 的等差数列， 是首项为 ，公比为 q 的等比数列na1anb1b（1）设 ，若 对 均成立，求 d 的取值范围；10,2bq1|na,234（2）若 ，证明：存在 ，使得 对 均成立，*,(ma
8、NdR1|nab2,31m并求 的取值范围（用 表示） d1,bq数学试题参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法每小题 5 分，共计 70 分11，8 22 390 4852，+） 6 7 8231069 10 113 12324139 1427二、解答题15本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力满分 14 分证明：（1）在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，ABA 1B1因为 AB 平面 A1B1C，A 1B1 平面 A1B1C，所以 AB平面 A1B1C学.科网（2）在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1
9、 中，四边形 ABB1A1 为平行四边形又因为 AA1=AB，所以四边形 ABB1A1 为菱形，因此 AB1A 1B又因为 AB1B 1C1，BCB 1C1，所以 AB1BC又因为 A1BBC=B，A 1B 平面 A1BC，BC 平面 A1BC，所以 AB1平面 A1BC因为 AB1 平面 ABB1A1，所以平面 ABB1A1平面 A1BC16本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力满分 14分解：（1）因为 4tan3， sintaco，所以 4sincos3因为 22sicos1，所以 295，因此， 7（2）因为 ,为锐角，所以 (0,)又因为 5
10、cos()，所以 25sin()1cos()，因此 tan2因为 43，所以 2ta4tan17，因此， nta()2tan()2()+117本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力满分 14 分解：（1）连结 PO 并延长交 MN 于 H，则 PHMN，所以 OH=10过 O 作 OEBC 于 E，则 OEMN，所以COE=，故 OE=40cos，EC=40sin ，则矩形 ABCD 的面积为 240cos（40sin +10）=800（4sin cos+cos） ，CDP 的面积为 240cos（4040sin ）=
11、1600（cos sincos） 12过 N 作 GNMN ，分别交圆弧和 OE 的延长线于 G 和 K，则 GK=KN=10令GOK= 0，则 sin0= ， 0（0， ） 46当 0， ）时，才能作出满足条件的矩形 ABCD，2所以 sin 的取值范围是 ， 1） 4答：矩形 ABCD 的面积为 800（4sin cos+cos）平方米，CDP 的面积为1600（cos sincos） ，sin 的取值范围是 ，1） 4（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 43，设甲的单位面积的年产值为 4k，乙的单位面积的年产值为 3k（k0） ，则年总产值为 4k800（4sincos +c
12、os）+3k1600（cos sincos）=8000k（sincos +cos） ， 0， ） 2设 f（）= sincos +cos， 0， ） ，则 222()cosinsi(sini1)(2sin1)(i)f令 ，得 = ，0 6当 （ 0， ）时， ，所以 f（）为增函数；()0f当 （ ， ）时， ，所以 f（）为减函数，62()0，设 32()hxax因为 ，且 h（x）的图象是不间断的，(0)10h，所以存在 （0，1） ，使得 ，令 ，则 b0x0()hx032e(1)xb函数 ，2e()()bfag，则 21xfx ， 由 f（x）=g（x）且 f（x ）=g（x） ，得，
13、即 （*）22e(1)xxba003232e(1)exxxxa此时， 满足方程组（*） ，即 是函数 f（x ）与 g（x）在区间（0，1）内的一个“S 点” 0x0因此，对任意 a0，存在 b0，使函数 f（x）与 g（x ）在区间（0，+）内存在“S 点” 20本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力满分 16 分解：（1）由条件知： 12(,)nnadb因为 对 n=1，2，3，4 均成立，1|nab即 |()|d对 n=1，2，3，4 均成立，即 1 1，1 d 3，3 2d 5，7 3d 9，得 75
14、2d因此，d 的取值范围为 75,32学科网（2）由条件知： 11(),nnabdbq若存在 d，使得 （n=2，3，m+1 ）成立，|即 11 | |2,(1() )nbbq ，即当 2,3nm 时，d 满足11nnqqbdb因为 (1,q，则 12nm，从而 10nb， 10qb，对 ,31 均成立因此，取 d=0 时， 对 2,n 均成立|na下面讨论数列12q的最大值和数列1nq的最小值（ 2,31nm ） 当 2nm时，1 2()()nn nq ，当1q时，有 2nmq，从而 1 20nnq因此，当 2时，数列1n单调递增，故数列1n的最大值为m设 ()2xf，当 x0 时， ln2
15、1(0)l)xfx，所以 f单调递减，从而 ()ff（0）=1当 2nm时，1121()()(nnqf，因此，当 时，数列1nq单调递减，故数列1nq的最小值为m因此，d 的取值范围为 11(2),bq数学(附加题)21 【选做题】本题包括 A、 B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 41：几何证明选讲(本小题满分 10 分)如图，圆 O 的半径为 2，AB 为圆 O 的直径，P 为 AB 延长线上一点，过 P 作圆 O 的切线，切点为 C若 ，求 BC 的23长B选修 42：矩阵与变换(本小
16、题满分 10 分)已知矩阵 31A（1）求 的逆矩阵 ；1（2）若点 P 在矩阵 对应的变换作用下得到点 ，求点 P 的坐标(3,1)C选修 44：坐标系与参数方程(本小题满分 10 分)在极坐标系中，直线 l 的方程为 ，曲线 C 的方程为 ，求直线 l 被曲线 C 截得sin(264cos的弦长D选修 45：不等式选讲(本小题满分 10 分)若 x，y，z 为实数，且 x+2y+2z=6，求 的最小值22xyz【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分 10 分）如图，在正三棱柱 A
17、BC-A1B1C1 中，AB=AA 1=2，点 P，Q 分别为A1B1，BC 的中点（1）求异面直线 BP 与 AC1 所成角的余弦值；（2）求直线 CC1 与平面 AQC1 所成角的正弦值23(本小题满分 10 分)设 ，对 1，2，n 的一个排列 ，如果当 st 时，有*nN12ni，则称 是排列 的一个逆序，排列 的所有逆序的总个数称为其逆序数例如：sti(,)sti12ni 12ni对 1，2，3 的一个排列 231，只有两个逆序(2，1) ，(3，1)，则排列 231 的逆序数为 2记 为()nfk1，2， ，n 的所有排列中逆序数为 k 的全部排列的个数学.科网（1）求 的值；34
18、(),2f（2）求 的表达式(用 n 表示) 5nf数学(附加题)参考答案21 【选做题】A选修 41：几何证明选讲本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力满分 10 分证明：连结 OC因为 PC 与圆 O 相切，所以 OCPC 又因为 PC= ，OC =2，23所以 OP= =42PC又因为 OB=2，从而 B 为 RtOCP 斜边的中点，所以 BC=2B选修 42：矩阵与变换本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力满分 10 分解：（1）因为 ， ，所以 A 可逆，312Adet()2130A从而 1（2）设 P(x，y) ，则 ，所以 ，2311xy13
19、xyA因此，点 P 的坐标为(3，1)C选修 44：坐标系与参数方程本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力满分 10 分解：因为曲线 C 的极坐标方程为 ，=4cos所以曲线 C 的圆心为（2，0） ，直径为 4 的圆因为直线 l 的极坐标方程为 ，sin()26则直线 l 过 A（4，0） ，倾斜角为 ，所以 A 为直线 l 与圆 C 的一个交点设另一个交点为 B，则OAB= 6连结 OB，因为 OA 为直径，从而OBA= ，2所以 4cos236AB因此，直线 l 被曲线 C 截得的弦长为 23D选修 45：不等式选讲本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力
20、满分 10 分证明：由柯西不等式，得 2222()(1)()xyzxyz因为 ，所以 ，2=6xyz4当且仅当 时，不等式取等号，此时 ，12433xyz， ，所以 的最小值为 4学& 科网22xyz22 【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力满分 10 分解：如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，设 AC，A 1C1 的中点分别为 O，O 1，则OBOC，OO 1OC，OO 1OB，以 为基底，建立空间直角坐标系 Oxyz,O因为 AB=AA1=2，所以 1110,3,0,0,()()()()(23,0,2)()ABCABC（1
21、）因为 P 为 A1B1 的中点，所以 ，31(,2)P从而 ，13(,2)0,),C故 11|4|310|cos, 25BPA因此，异面直线 BP 与 AC1 所成角的余弦值为 3102（2）因为 Q 为 BC 的中点，所以 ，(,)Q因此 ， 3(,0)2A11,2)0,AC设 n=（x，y，z）为平面 AQC1 的一个法向量，则 即10,QAC30,2.xyz不妨取 ，(3,)n设直线 CC1 与平面 AQC1 所成角为 ，则 ，11|25sin|co,Cn所以直线 CC1 与平面 AQC1 所成角的正弦值为 23 【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理
22、论证能力满分 10分学&科网解：（1）记 为排列 abc 的逆序数，对 1，2，3 的所有排列，有()abc，(23)=0123)=1()()=()3， ， ， ， ，所以 3(ff，对 1，2，3，4 的排列，利用已有的 1，2，3 的排列，将数字 4 添加进去，4 在新排列中的位置只能是最后三个位置因此， 433()2()05fff（2）对一般的 n（n4）的情形，逆序数为 0 的排列只有一个：12n，所以 (0)1nf逆序数为 1 的排列只能是将排列 12n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以 ()nf为计算 ，当 1，2，n 的排列及其逆序数确定后，将 n+1 添加进原排列，n+1 在新排列中的1f位置只能是最后三个位置因此， 1()()0(2)nnnnffff当 n5 时， 112544(2)(2)()()(2)(2)nnnffffffff，4nf 因此，n5 时， (2)nf
