1、13.4 课题学习 最短路径问题第 1 课时 课题学习 最短路径问题（1）【教学目标】1.掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定.2.能利用轴对称和平移解决实际问题中路径最短的问题.【重点难点】重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”.难点：最短路径问题的解决思路及证明方法.教学过程设计 教学过程 设计意图一、直接导入利用轴对称不但可以设计出美丽的图案，而且在解决现实生活中的某些问题时其作用也是神奇的.前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短” “连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径
2、问题.现实生活中经常涉及选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“饮马问题”.开门见山直接导入，用问题激起学生探究的兴趣.二、师生互动，探究新知问题 1：要在公路上修建一个泵站 C，分别向公路两侧A，B 两镇供气，泵站修在什么地方，可使泵站 C 到 A，B两镇所用的输气管线最短？教师提出问题：“这是个实际问题，你打算首先做什么呢？”学生回答：“将 A，B 两镇抽象成两个点，将公路抽象为一条直线”.继而教师提出问题：“为什么交点到两端点的距离之和最小呢？”学生会非常自然地想到“两点之间，线段最短”的理论来证明.教师再次提问：“如果另取一点 C，你能证明此时的距离超过了刚才的距离吗
3、？”学生会想到连接AC，BC，用“三角形两边之和大于第三边”去证明.问题 2：“饮马问题”.如图，牧马人从 A 地出发，到一条笔直的河流 l 边饮让学生经历简单数学建模的过程，并引导学生根据已有的生活和知识经验找到点 C 是线段AB 与公路的交点.让学生初步尝试了“最值问题”的证明方法，起到了分散难点的作用.马，然后到 B 地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？此题是课本例题，引导学生把实际问题转化为数学问题，即把 A，B 两地抽象为两点，将河流 l 抽象成为一条直线，再让学生用自己的语言说明这个问题的意思.学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识.教师提问：点 C 取在哪呢？让学
4、生自主探究、合作交流，与教师适当点拨相结合，来展示分析过程.教师引导总结：通过轴对称可在不改变路径和的前提下把两条不在同一直线上的线段转化到一条直线上，达到了化“折”为“直”的目的.此总结不但让学生认识到轴对称的桥梁作用，而且对利用轴对称解决最短路径问题的方法“和最小，对称找”起到了画龙点睛的作用.教师提出问题：“证明 ACBC 最短时，为什么要在直线 l 上任取一点 C(与点 C 不重合)？这里的“C”的作用是什么呢？”学生互相交流，教师适当点拨，最后达成共识：若直线 l 上任意一点(与点 C 不重合)与 A，B 两点的距离和都大于 ACBC，就说明 ACBC 最小.让学生完成证明过程.让学
5、生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问抽象为“线段和最小问题”学生对于最短路径问题通常感到无从下手，所以此处深入分析，让学生经历最短路径问题的分析过程.三、运用新知，解决问题(若把点 A 变成直线上的一个动点呢？出示变式 1，学生探究后展示分析过程)变式 1：如图 1，已知直线 m，l 和点 B，在直线 m，l上分别取点 A、点 C，使点 B 到点 C 再到点 A 的距离之和最小.图 1图 2学生思考，教师引导，解决问题.(点 A，C 取在哪里与点 B 构成的三角形的周长最小呢？探究变式 2)变式 2：如图 2，有两条直线 m，l 和一点 B，在直线m，l 上分别取点 A、点 C，使BAC
6、 的周长最小.分析：要使周长最小，就要使三条不在同一直线上的线段转化到一条直线上，通过轴对称就可以达到化折为直的目的.通过两个变式练习让学生充分地感受到利用轴对称和“垂线段最短，两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边”等知识解决这样路径最短的问题，让学生体会一题多变，开阔了学生的思维.四、课堂小结，提炼观点1.通过这节课的学习，你获得了哪些数学知识和方法？2.这节课你参与了哪些数学活动？谈谈你获得知识的方法和经验.通过这两个问题使学生更好地反思与总结、全班交流，让学生在知识、能力和情感态度等方面得到发展.五、布置作业，巩固提升如图，XOY 内有一点 P，在射线 OX 上找出一点 M，在射线 OY 上找出一点 N，使 PMMNNP 最短.【板书设计】课题学习 最短路径问题(1)【教学反思】1.注重学生的探究过程与小组交流的应用最短路径问题对学生而言是第一次接触，难度较大，为了突破难点，让学生充分地去探究讨论，在此过程中提高学生解决问题的能力.2.强化行为反思“反思是数学的重要活动，是数学活动的核心和动力” ，本节课在教学过程中始终融入反思的环节，用问题的设计，课堂小结，课后的数学日记等方式引发学生反思，使学生在掌握知识的同时，领悟解决问题的策略，积累学习方法.
