1、 数学（理科）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ，集合 ，则 （ ）2,10,3A2|1BxyABA B C D, ,0,0,1232.已知复平面内与复数 对应的点分别为 ， ，则 （ ）12,z1(,2)Z(,)2zA B C D312i3i3i13i3.下列说法中错误的是（ ）A “ ”是“ ”的必要不充分条件 |x1xB若命题 ，则 :,23pR:,23xpRC若 为假命题，则 也为假命题 qqD命题“若 ，则 或 ”是真命题5xyxy4.已知 为第二象限角，且 ，则 （
2、 ）2cos()3sin(2)A B C. D45949494595.已知函数 ， 的图象大致是（ ）2()1xfx()yf6.已知抛物线 的准线和曲线 相切，则 的值为（ 2(0)ypx2450xyp）A 2 B1 C. D12147.执行如图的程序框图，那么输出 的值是（ ）SA 2 B C. -1 D18.已知二项式 的展开式的前三项的系数成等差数列，若从展开式中所有的41()2nx项中任取一项，则取到一个 的次数为非负数的项的概率为（ ）A B C. D38583239.九章算术是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在整中，不知大
3、小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，理在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深 1 寸，锯道长 1 尺，问这块圆柱形木料的直径是多少？长为 1 丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）已知弦 尺，弓1AB形高 寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为（ ）CD（注：1 丈=10 尺=100 寸， ， ）3.1405sin2.13A600 立方寸 B610 立方寸 C. 620 立方寸 D533 立方寸10.设双曲线 的右焦点为 ，过点 作 轴的垂线交双曲线的右21(0,)xyabFx支于 两点，与双曲线的渐近线交于点 ，点
4、 和点 在第一象限，点 在第四象限，,CDPCD若 ，则双曲线的离心率为（ ）|PA B C. D32353248911.已知 是定义在 上的可导函数，且对任意的 ，均有 ，()fxRx(2)()0xffx设 ， ， ，则 的值的大小关系为（ ）3a1(4)2bf(52)(cf,abcA B C. Dcabacb12.已知函数 ， 分别为 的内角 所对的边，且()osfx,ABC,，则必有（ ）2234abcA B C. D()0fC()ff(sin)(cos)ffAsincos)第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知变量 满足线性约束条件
5、 ，则 的最大值是 ,xy5021xy2zxy14.正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）的正视图和俯视图如图所示，若图中的 ，2a则它的俯视图面积为 15.将函数 的图象沿 轴向左平移 个单位后，得到的函数图象关sin(2)0yxx8于 轴对称，则 ta16.在 中， ， ， ，则ABC()()0|ACB|3AC5,6的最大值是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分 12 分）已知各项不为零的数列 的前 项和为 ，且满足 nanS1()na（1）求数列 的通项公式；n（2）设数列 满足 ，若数列 的前 项和 ，求证： b
6、2lognnnbnT2n18. （本小题满分 12 分）某河流上的一座水利发电站专为某市供电，每年七月份的发电量 （单位：万千瓦时）只y与该河流上游在七月的降雨量 （单位：毫米）相关，据统计，当降雨量 每增加 10，则x x发电量 增加 5，且当 时， ，现将该河流上游近 40 年每年七月的降水量进y7046y行了统计分析，作出了如下频率分布直方图（1）根据 的频率分布图求出图中的 的值，并估计该河流上游近 40 年平均降雨量；xa（2）若根据 的频率分布直方图，进一步列出发电量 的频率分布表：y请在答题卡中补充完整下列频率分布表发电量 y 460,75)4,90)4,50),520),53)
7、频率若该发电站七月的发电量低于 490 万千瓦时，则会造成某市七月“用电紧张”状态，以频率估计概率，若以过去 40 年七月的发电量来估计今后三年的七月发电量，用 表示今后三年每年七月出现“用电紧张”状态的年数，求 的分布列和数学期望19. （本小题满分 12 分）如图，在三棱柱 中， 平面 ， ，1ABC1ABC2A， 分别为棱 的中点14B,DEF1,（1）求证： 平面 ；1（2）若点 是侧面 内的动点，且满足 平面 MAB/MF1ACD在答题卡图中作出点 的轨迹，并说明轨迹的形状（不需说明理由） ；在中所得的轨迹上是否存在点 ，使直线 和平面 所成角的正弦值为1，若存在，求出此时 的值；若
8、不存在，说明理由230151|AB20. （本小题满分 12 分）在平面直角坐标系 中，椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ，xOyC21(0)xyab12,F点 在椭圆 上，且 的面积为 (3,1)P12PF（1）求椭圆 的标准方程；C（2）设直线 与椭圆 相交于 两点，当 满足什么条件时 （ 为坐ykxb,AB,kbABOS标原点）面积最大，并求出最大面积21. （本小题满分 12 分）已知函数 ， ()ln()afxxR32(gx（1）若 为正实数，求函数 上的最小值；m1,ym（2）若对任意的实数 ，都有 ，求实数 的取值范围1,2st()fsta请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如
9、果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点 为极点，xOyl243xtyO以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 C214cos20（1）写出直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；l（2）点 是曲线 上任意一点，求点 到直线 距离的最大值PCPl23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知： ()|3|1fx（1）解不等式 ；2f（2）若不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围()|xaxRa试卷答案一、 选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9
10、 10 11 12答案B C C D A A B D D C B C二、填空13. 9 14. 15. 1 16.3232三、解答题17. （）当 时， ， ， 2 分1n)1(a0121a当 时，221nnnSa（II） 数列 满足nbnna2log8 分nn2lognnT2131 132n10 分 1112 221 nnnnT11 分nn0212 分2nT18. 解：（）由频率分布直方图的性质知 11301602a得 . 2 分160a4 分31318545752200x48（II） （1）由题意发电量 与河流上游的降雨量 的关系为： yx125yx6 分（2）该市每年 7 月出现“用电紧
11、张”状态的概率为 ， 的所13(490)25Py有可能取值为 0,1,2,3.由题意知 .所以 ，1(3,)5B: 64(， ，12348()(5PC22()15PC31)210 分12 分35Enp19. 解：（）如图,在三棱柱 中, 平面 , , 1ABC1ABC2A,得 , 1 分4BCA如图建立空间直角坐标系 , 2 分xyz发电量 y 460,75)4,90)4,5)0,)0,3)频率 p 12 32123210 1 2 3p64125 48515125则 .(0,)A(,20)C(2,)E1(0,24)C(2,0)DE14A,A,所以 , 4 分 ,且 , 平面 . 6 分EDFA
12、1B1 C1AB Cx yzM（）(1)如图，点 M 的轨迹为线段 8 分1AB(2) 设 , ,则 ，得11(0)AB()xyz(,4)(2,04)xyz, .(2,4)204由()知平面 的法向量为 ,1CD(,2)E设直线 与平面 所成角为 ,AM 9 分sinco,AMCE228(4)8428(316)202841343015解得 或 11 分260,1即： 或 12AMB56所以存在 上的点 ，使直线 和平面 所成角的正弦值为 12 分1AM1CD2301520. 解：（）由已知1 分 1212=c2PFS:点 P(3, 1)在椭圆 C 上有 ，结合 2 分23ab2a-b=8解得 4 分22a=1b4，5 分2xy1椭 圆 方 程 为（） 直线方程 代入 得：kxb214y221+3630kxb6 分121226,xk7 分222 26314bkbSABhk 2222 2293163142 1kkbk222222（ 3+)（ +)4+3131bbkk11 分224（ ）=3当且仅当 时 S 取得最大值12 分222+1k， 即 +6kb23
