1、第二十二章 一元二次方程 本章小结小结 1 本章概述本章的主要内容有三部分第一部分是一元二次方程的概念：学习一元二次方程的一般形式、成立的条件，一元二次方程的根(或解)，检验一个数值是否是一元二次方程的解的方法；第二部分是一元二次方程的解法：理解一元二次方程的解法的数学思想是降次，由降次的不同方法得出一元二次方程的不同解法，掌握一元二次方程的解法(配方法、公式法、因式分解法)；第三部分是一元二次方程的应用：利用一元二次方程来解答实际应用问题、数学综合问题等。一元二次方程是初中阶段最重要的方程，它是解答数学问题的重要工具和方法，并且对学习函数，尤其是二次函数的综合问题起着决定性的作用，它在中考试
2、题中占有一定的比例. 小结 2 本章学习重难点【本章重点】正确理解一元二次方程的有关概念及二次项系数不为 0 这一前提条件，掌握化一元二次方程为一般形式的方法及一元二次方程的解法.【本章难点】熟练求一元二次方程的解，并会将实际问题抽象为单纯的数学问题(列一元二次方程)来解决会用一元二次方程的根与系数的关系求未知字母的系数，掌握一元二次方程根的判别式的应用.小结 3 学法指导1. 经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界数量关系的一个有效的数学模型，本章遵循了“问题情境建立模型应用”的模式.2在观察、归纳、类比、计算与交流活动中，理解并掌握一元二次方程的基本解法直接开
3、平方法、因式分解法、配方法和公式法，并形成利用语言文字规范化地表达方程思想和方程知识的过程.3通过对一元二次方程解法的探索与思考，进一步体会“化归”与“转化”的数学，思想的重要地位，解一元二次方程实际上是转化为解一元一次方程，达到降次的目的，进一步认识“方程是反映现实世界数量关系的一个有效的数学模型”.4经历在具体问题情境中估计一元二次方程的解的过程，注意精确解、近似解的含义，并根据具体问题检验解的合理性.5学好本章的关键是熟练掌握一元二次方程的解法和利用一元二次方程解决实际问题的方法，在学习过程中随时类比一元一次方程等相关知识，注意一元二次方程根与系数的关系，并在探索过程中体会“化归”与“转
4、化”等数学思想在解决问题中的作用.知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题 1 一元二次方程的定义【专题解读】涉及一元二次方程定义的问题，应注意强调二次一元二次方程定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元） ，未知数的最高次数是2（二次）的方程为一元二次方程解法（降次）直接开平方法因式分解法配方法公式法 2240bac 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 方 程 有 两 个 相 等 的 实 数 根 方 程 无 实 数 根应用一元二次方程解决实际问题步 骤实 际 问 题 的 答 案项系数不为 0，不要忽略某些题目中的隐含条件.例 1 已知（m1）x |m|+1+3x20
5、是关于 x 的一元二次方程，求 m 的值.分析 依题意可知 m10 与| m|+12 必须同时成立，因此求出满足上述两个条件的 m 的值即可.解：依题意得|m|+12，即| m|1，解得 m1，又m10，m1，故 m1.【解题策略】解决此类问题的关键是牢记并理解一元二次方程的定义，特别是二次项系数应为非零数这一隐含条件要注意.专题 2 一元二次方程的解法【专题解读】解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、因式分解法、配方法及公式法，在具体的解题过程中，应结合具体的方程的特点选择简单、恰当的方法.例 2 用配方法解一元二次方程 2x2+13 x.分析 本题考查配方法解方程的步骤.解
6、：移项，得 2x23 x1，二次项系数化为 1，得 2,配方，得 2().46x由此可得 123,.x【解题策略】在二次系数为 1 的前提下，方程两边都加上一次项系数一半的平方.例 3 一元二次方程 3x2x 0 的解是（ ）A.x 0 B.x10，x 23 C. D. 120,3x13分析 根据本题特点应采用因式分解法，将原方程化为 x(3x1)0，易求出 x0 或 3x10，问题得解. 故选 C.【解题策略】方程易转化为两个一次式乘积为 0 的形式，可采用因式分解法来解方程.例 4 解方程 x22x 20.分析 结合方程特点，本题可采用公式法或配方法求解.解法 1：a1，b2，c2，b 2
7、4ac（ 2） 2 41（2）12，x ()3,ca123,1.x解法 2：移项，得 x2 2x2，配方得 x2 2x+13，即（x1） 23，x1 ，3123,1.x【解题策略】 一元二次方程的解法中，配方法及公式法是“万能”的方法.专题 3 与方程的根有关的问题【专题解读】 这部分内容主要考查已知方程的一根求字母的值，或者是根与系数及判别式相联系的问题.例 5 解下列方程，将所得到的解填入下面表格中：方程 x1 x2 x1+x2 x1x2x26x0x2 5x+40x2+3x10 0（1）通过填表，你发现这些方程的两个解的和与积与方程的系数有什么关系了吗？（2）一般地，对于关于 x 的方程
8、x2+px+q 0（p，q 为常数，且 p24q0）来说，是否也具备（1）中你所发现的规律？如果具备，请你写出规律，并说明理由；如果不具备，请举出反例.分析 这是一道探究规律的试题，解决此题应按照题中所给顺序逐项认真完成，仔细观察，能发现一元二次方程的根与系数的关系.解：填表如下：方程 x1 x2 x1+x2 x1x2x26x0 0 6 6 0x2 5x+40 1 4 5 4x2+3x10 0 5 2 3 10（1）由上表可以发现：上述方程的两根之和等于方程的一次项系数的相反数，两根之积等于常数项.（2）对方程 x2+px+q0（p，q 为常数，且 p24q0）来说也具备同样的规律.设方程 x
9、2+px+q0 的两根为 x1，x 2，则x1+x2 p，x 1x2q，理由如下：p 24q0，方程 x2+px+q0 有两个实数根，221244, ,pqpxx 1+x22,qpx1x22244pqp22()()44q，即 x1+x2 p，x 1x2q.例 6 若 a 是关于 x 的方程 x2+bx+a0 的根，且 a0，则由此可得求得下列代数式的值恒为常数的是（ ）A.ab B. C.a+b baD.ab分析 此题应由根的意义入手，将 a 代入方程等得到关于 a，b的一个方程，再通过因式分解进行求解.把 xa 代入方程x2+bx+a0，得 a2+ab+a0，a(a+ b+1) 0，又a0，
10、a+ b+10，即 a+b1.故选 C.【解题策略】本题将方程解的意义、方程的解法融为一体，体现了消元、降次的转化思想，具有一定的探究性，而且此题在设计思路上跳出了固定套路，是一道具有创新意识的题.专题 4 一元二次方程的应用【专题解读】利用一元二次方程解决实际问题时，应根据具体问题找到等量关系，进而列出方程，另外，对方程的解要注意合理进行取舍.例 7 乌鲁木齐农牧区校舍改造工程初见成效，农牧区最漂亮的房子是校舍，2005 年市政府对农牧区校舍改造的投入资金是 5786万元，2007 年校舍改造的投入资金是 8050.9 万元，若设这两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为 x，则根据题意列
11、方程得 .分析 本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用.因两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为 x，则 2006 年投入资金是5786（1+x）万元，2007 年的投入资金是 5786（1+ x） 2 万元，故所求方程为 5786（1+ x） 28058.9.【解题策略】有关增长率问题的常用公式为 a（1+x）nb（n为正整数）.二、规律方法专题专题 5 一元二次方程的解法技巧【专题解读】除了常见的几种一元二次方程的解法外，对于特殊类型的方程，可采用特殊的方法.1.换元法例 8 如果（2m+2n+1 ） （2m+2 n1）63，那么 m+n 的值是 .分析 把 m+n 看做一个整体求解
12、.设 m+nx，则原方程化为（2x +1） （2x 1）63 ，整理，得 4x264，解得x4， m+n4.故填4.例 9 解方程（3x+2） 28（3x+2）+150.分析 此题可以把原方程展开为一般形式，运用公式法、因式分解法或配方法求解，但都比较麻烦，观察题目的结构可知把 3x+2 看做一个整体，设为 t，则原方程就可化成关于未知数 t 的一元二次方程.解：设 3x+2t，原方程化为 t28t+150，t 13，t 25.当 t3 时，3x+23，x ；13当 t5 时，3x+25，x1.原方程的根为 x1 ，x 21.【解题策略】 本题也可直接分解为 (3x+2)3 (3x+2)50，
13、即（3x 1） （3x3）0，用因式分解法解得 x1 ，x 21.例 10 解方程（x+2） （x+3） （x4） （x 5）44.分析 解方程的基本思想是“降次” ，例如把一元二次方程降次，转化为两个一元二次方程.本题是一个一元四次方程，我们可尝试用因式分解法把方程的左边进行因式分解（方程的右边为 0）.解：原方程转化为（x+2） （x+3） （x4） （ x5）440，（x +2） （x4） （x+3） （x5） 44 0，（x 22x8） （x 22x15）440，令 x22xy，则原方程化为（y8） （y15）440，y 223y+76 0，y 14，y 219.当 y4 时， x22
14、x4， 125,1;x当 y19 时， x22x19， 345.x原方程的根是 125,;,2.2.配方法例 11 先用配方法说明：无论 x 取何值，代数式 x26x+10 的值部大于 0；再求出当 x 取何值时，代数式 x26x+10 的值最小，最小值是多少.解：x 26x+10 x 26x+3 2+（103 2）（x3） 2+1.（x3） 20，（x3） 2+10，无论 x 取何值，代数式 x26x+10 的值部大于 0.当 x30 ，即 x3 时， (x26x+10) 最小 1.例 12 若实数 m，n，p 满足 mn8，mn+p 2+160，则m+n+p 的值为（ ）A.1 B. 0 C.1 D.2分析 本题有三个未知数 m，n，p 给出两个关系式，思路应放在消元转化上.由 mn8，得 mn+8，将 mn+8 代入 mn+p2+160 中，得 n(n8)+p2+160，n 2+8n+16+p20，即（n+4）2+p 20，又（n+4）20，p 20，且（n+4） 2+p20， 4,，故选 B.4,4().m解 得
