1、2017-2018 学年高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1已知 A=x|xk，B=x| 1，若“xA” 是“xB” 的充分不必要条件，则 k 的取值范围是（ ）Ak1 Bk 1 Ck2 Dk2【解答】解：A=x|xk，B=x| 1=x|x 2 或 x1，若“xA”是“x B” 的充分不必要条件，则 AB，故 k2，故选：C2 若复数 z 满足 z+zi=3+2i，则在复平面内 z 对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【解答】解：由 z+zi=3+2i，得 = ，则复数 z 在复平面内对应的点的坐标为：（
2、， ） ，位于第四象限故选：D3已知 m0 ，n 0，2m+n=1，则 + 的最小值为（ ）A4 B2 C8 D16【解答】解：m0，n0，2m+n=1，则 + =（2m+n） =4+ 4+2 =8，当且仅当 n=2m= 时取等号故选：C4已知 a=log36，b=1+3 ，c= （ ）1 则 a，b，c 的大小关系为（ ）Aa bc Bba c Ccba Dac b【解答】解：a=log36=1+log32 ，b=1+3 =1+ ，c=（ ）1= 又 log32 = ，a cb故选：D5 执行下面的程序框图，则输出的 k 值为（ ）A1 B4 C D【解答】解：执行循环体前，k=4，i=1第
3、一次执行循环体后，k= 1，i=2，满足循环的条件第二次执行循环体后，k= ， i=3，满足循环的条件第三次执行循环体后，k= ， i=4，满足循环的条件第四次执行循环体后，k=4，i=5，满足循环的条件第五次执行循环体后，k= 1，i=6，满足循环的条件第三次执行循环体后，k= ， i=7，不满足循环的条件输出 k 结果为： 故选：C6已知 Sn 是数列 an的前 n 项和，a1=1，a2=3，数列anan+1是公比为 2 的等比数列，则S10=（ ）A1364 B C118 D124【解答】解：Sn 是数列an 的前 n 项和，a1=1，a2=3，数列anan+1是公比为 2 的等比数列，
4、可得 =2，解得 a3=2， ，a4=6，同理a5=4，a6=12，a7=8，a8=24，a9=16，a10=48，则 S10=1+3+2+6+4+12+8+24+16+48=124故选：D7设 x，y 满足约束条件 ，当且仅当 x=y=1 时，z=ax+y 取得最大值，则实数a 的取值范围是（ ）A （1，1） B （ ，1） C （， 1） D （ ，1 ）（1 ，+ ）【解答】解：x，y 满足约束条件 的可行域如图：当且仅当 x=y=1 时，z=ax+y 取得最大值，即 z=ax+y 经过（ 1，1）时，z 取得最大值，直线化为 y=ax+z， z 是几何意义是直线在 y 轴上的截距，如
5、图，直线的斜率满足：（kAB， kAO）a （ 1，1 ） 故选：A8 球 O 与棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1 的各个面均相切，如图，用平平行于底面的平面截去长方体 A2B2C2D2A1B1C1D1，得到截面 A2B2C2D2，且 A2A= a，现随机向截面A2B2C2D2 上撒一粒黄豆，则黄豆落在截面中的圆内的概率为（ ）A B C D【解答】解：由题意，截面中的圆的半径为 = ，面积为 ，截面 A2B2C2D2 的面积为 a2，黄豆落在截面中的圆内的概率为 ，故选 B9 如图，网格上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A12 B
6、6 C2 D3【解答】解：如图所示，该几何体由上下两部分组成，上面是水平放置的一个三棱柱，底面是底边为 2，高为 1 的三角形，三棱柱的高为 2；下面是一个水平放置的四棱柱，底面是一个平行四边形，边长为 2，其高为 1，四棱柱的高为 2该几何体的体积=212+ =6故选：B10 如图，四边形 OABC 是边长为 1 的正方形，OD=3，点 P 为BCD 内（含边界）的动点，则| + |的取值范围为（ ）A ，5 B ，4 C ， D ，4【解答】解：以 O 为原点建立空间直角坐标系，如图所示：则 C（0，1） ，A （1，0） ，D（3，0 ） ，设 P（x，y） ，则 =（x+1 ，y） ，
7、| |= ，设 M（ 1，0） ，则| |=|MP|，由图可知当 P 与 C 重合时|MP|取得最小值 ，当 P 与 D 重合时，|MP|取得最大值 4，| + |的取值范围是 ，4 故选 B11 如图，双曲线的中心在坐标原点 O，M、N 分别为双曲线虚轴的上、下端点，A 是双曲线的右顶点，F 是双曲线的右焦点，直线 AM 与 FN 相交于点 P，若APF 是锐角，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）A （ ，+） B （1+ ，+） C （0， ） D （ ，+）【解答】解：设双曲线的方程为 =1，由题意可得 A（a ，0） ，F（c，0） ，M（0 ，b） ，N（0，b） ，故直线 AF
8、的方程为 y+b= x，直线 NF 的方程为 yb= x，联立方程组，解得 x= ， y= ，即 P（ ， ） ， =（ ， ） ， =（ ， ） ，APF 是锐角， = + 0，b2 ac，c2 a2ace 1，即 e2e10，解得 e ，e （舍去） ，故选：A12已知定义在 R 上的可导函数 f（x）的导函数为 f（x） ，满足 f（x）f（x） ，且 f（ x）=f（2+x） ，f（2）=1，则不等式 f（x）ex 的解集为（ ）A （2，+） B （0，+ ） C （1，+ ） D （2 ，+ ）【解答】解：f（x）f（x） ，f（x）f（x） 0，令 g（x ）= ，则 g（x ）
9、 = 0，故 g（x ）在 R 递减，而 f（x）=f （2+x） ，则 f（1 x）=f（1+x） ，f（x）关于 x=1 对称，则 f（2）=f（0）=1，由 f（x）ex，得：g（x）= 1=g（0） ，解得：x0，故选：B二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13已知函数 f（x ）= log2x 的零点在区间（n ，n+1 ） （ nN ）内，则 n 的值为 2 【解答】解：函数 f（x）= log2x，可判断函数单调递减f（2 ）= = 0，f（3）= 0 ，f（2 ）f（3）0，根据函数的零点的判定定理可得：函数 f（ x）= log2x 的零点所在的区间
10、是 （2，3 ） ，n 的值为：2 故答案为：214 设 a= dx，则二项式（ x2 ）9 的展开式中常数项为 5376 【解答】解：a= dx=ln（x+1） =lne2ln1=2，二项式（x2 ）9 展开式的通项公式为Tr+1= （x2）9 r =（ 2）r x183r，令 183r=0，解得 r=6；展开式中的常数项为（2）6 =6484=5376故答案为：537615我国唐代诗人王维诗云：“明月松间照，清泉石上流”，这里明月和清泉，都是自然景物，没有变，形容词“明” 对“清”，名词“月”对“泉”，词性不变，其余各词均如此变化中的不变性质，在文学和数学中都广泛存在比如我们利用几何画板软
11、件作出抛物线 C：x2=y的图象（如图） ，过交点 F 作直线 l 交 C 于 A、B 两点，过 A、B 分别作 C 的切线，两切线交于点 P，过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于点 N，拖动点 B 在 C 上运动，会发现 是一个定值，该定值是 1 【解答】解：线段 AB 是过抛物线 x2=y 焦点 F 的弦，过 A，B 两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于 N 点N 点在抛物线的准线上下面证明证明：由抛物线 x2=y，得其焦点坐标为 F（0， ） 设 A（x1，x12） ，B（x2 ，x22 ） ，直线 l：y=kx+ 代入抛物线 x2=y 得：x2 kx =0x1x2= 又抛物线方程为：
12、y=x2，求导得 y=2x，抛物线过点 A 的切线的斜率为 2x1，切线方程为 yx12=2x1（xx1 ）抛物线过点 B 的切线的斜率为 2x2，切线方程为 yx22=2x2（x x2）由得：y= P 的轨迹方程是 y= ，即 N 在抛物线的准线上；根据抛物线的定义知：NF=NP， 是一个定值 1故答案为：116在 ABC 中，a、b、c 是角 A、B、C 的对边，则下列结论正确的序号是 若 a、b 、c 成等差数列，则 B= ； 若 c=4，b=2 ，B= ，则ABC 有两解； 21*cnjy*com若 B= ，b=1，ac=2 ，则 a+c=2+ ； 若（2cb）cosA=acosB，则
13、 A= 【解答】解：对于，由 a、b、c 成等差数列，得 a+c=2b，即 a2+c2+2ac=4b2，cosB= = ，当 b2ac 时，B ，故错误；对于，若 c=4，b=2 ，B= ，则 sinC= ，又 cb，ABC 有两解，故 正确；对于，B= ，b=1，ac=2 ，b2=1=a2+c22accosB=a2+c26，则 a2+c2=7， ，则 a+c=2+ ，故 正确；对于，若（2cb）cosA=acosB，则 2sinCcosAsinBcosA=sinAcosB，2sinCcosA=sinC，则 cosA= ，A= ，故错误正确的命题是故答案为：三、解答题17已知向量 =（2sin
14、 ，2sin ） ， =（cos ， sin ） （）求函数 f（x）= + 的最小正周期；（）若 = ，g（）=tan2 ， + 且 +k（k Z） ，数列an满足 a1= ，an+12= ang（an） （n16 且 nN*） ，令 bn= ，求数列bn的通项公式及前 n 项和 Sn【解答】解：（I ）f （x ）= + =2sin cos +2 （ sin ）+ = += f（x）的最小正周期为 T= =4（II） = =2cos，= = =tan，g（ ）=tan2= = ， + 且 +k（k Z） ，数列an满足 a1= ，an+12= ang（an ） （n 16 且 n N*）
15、，an+12= an = ，取倒数可得： =1，即 bn+1bn=1b1=16数列bn的通项公式 bn=16（n1 ）=17n， （n16 且 n N*） ，前 n 项和 Sn= = ， （n16 且 nN* ） 18 近年来，手机已经成为人们日常生活中不可缺少的产品，手机的功能也日趋完善，已延伸到了各个领域，如拍照，聊天，阅读，缴费，购物，理财，娱乐，办公等等，手机的价格差距也很大，为分析人们购买手机的消费情况，现对某小区随机抽取了 200 人进行手机价格的调查，统计如下：年龄 价格5000 元及以上 3000 元 4999 元 1000 元 2999 元 1000 元以下45 岁及以下 1
16、2 28 66 445 岁以上 3 17 46 24（）完成关于人们使用手机的价格和年龄的 22 列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下，认为人们使用手机的价格和年龄有关？（）从样本中手机价格在 5000 元及以上的人群中选择 3 人调查其收入状况，设 3 人中年龄在 45 岁及以下的人数为随机变量 X，求随机变量 X 的分布列及数学期望附 K2=P（K2k）0.05 0.025 0.010 0.001k 3.841 5.024 6.635 10.828【考点】离散型随机变量及其分布列；独立性检验的应用【分析】 （1）分别计算出年龄在 45 岁上下的人数，求出 K2 的值
17、，判断在犯错概率不超过0.025 的前提下认为“人们使用手机的价格和年龄有关”；（2 ）先确定 X 的取值，分别求其概率，求出分布列和数学期望【解答】解：（1）关于人们使用手机的价格和年龄的 22 列联表如下：3000 元及以上 3000 元以下 总计 45 岁及以下 40 70 11045 岁以上 20 70 90总计 60 140 200根据 22 列联中的数据可得 K2= 4.714 5.024，在犯错概率不超过 0.025 的前提下，不能认为“人们使用手机的价格和年龄有关”；（2 ）由表可知手机价格在 5000 元及其以上的人数为 15，从中选择 3 人，年龄在 45 岁及以下的人数
18、X 的可能取值为： 0，1，2，3 ，P（X=0）= = ，P（X=1）= = ，P（X=2）= = ，P（X=3）= = ，X 的分布列为：X 0 1 2 3 PE（ X）=0 +1 +2 +3 =19如图，四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是边长为 4 的菱形，ABC=60，SA 平面ABCD，且 SA=4，M 在棱 SA 上，且 AM=1，N 在棱 SD 上且 SN=2ND（）求证：CN面 BDM；（）求直线 SD 与平面 BDM 所成的角的正弦值【解答】证明：（I ）底面 ABCD 是边长为 4 的菱形，ABC=60，AHBC ，又 BCAD，ADAH取 BC 的中点 H，以 A
19、 为原点，以 AD，AH ，AS 为坐标轴建立空间直角坐标系 Axyz，如图所示：则 D（4 ，0，0） ，M（0，0，1） ，S （0，0，4 ） ，B（2，2 ，0） ，C（2 ，2 ，0） =（2，2 ，0） ， =（4 ，0，4 ） ， =（6 ，2 ，0） ， =（4 ，0，1） ， = =（ ，0 ， ） ， = =（ ，2 ， ） ，设平面 BDM 的法向量为 =（ x，y，z） ，则 ， ，令 x=1 得 =（1 ， ，4） = 2 + =0又CN平面 BDM，CN平面 BDM（II） =4+0+16=12，| |= =4 ，| |= =2 ，cos = = 直线 SD 与平面
20、 BDM 所成的角的正弦值为 20若 F1，F2 是椭圆 C： + =1（0m9）的两个焦点，椭圆上存在一点 P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段 PF1 相切于该线段的中点 M（）求椭圆 C 的方程；（）过点（0， ）的直线 l 与椭圆 C 交于两点 A、B，线段 AB 的中垂线 l1 交 x 轴于点N，R 是线段 AN 的中点，求直线 l1 与直线 BR 的交点 E 的轨迹方程【解答】解：（）0m 9 ，a=3 ，b= ，不妨设椭圆的下焦点 F1，设线段 PF1 的中点为：M；2-1-c-n-j-y由题意，OMPF1，又 OM=b，OM 是PF1F2 的中位线，|PF2|=2b，由椭圆定义，
21、|PF1|=2a2b=6 2b =3b，在 Rt OMF1 中： ，c2=b2+（3 b）2，又 c2=a2b2=9b2 ，b2+（3b ）2=9 b2 交点 b=0（舍去）或 b=2，m=b2=4椭圆 C 的方程： + =1（）由（）椭圆 C 的方程： + =1上焦点坐标（0， ） 直线 l 的斜率 k 必存在设 A（x1，y1） B（x2，y2） ，弦 AB 的中点 Q（x0，y0 ） ，由 ，可得 4（y1+y2 ） （y1y2 ）=9 （x1+x2 ） （x1x2 ） ，k= = = （y00）（1 ）当 x00 时，k=kAB= k= = 9x02+4y024 y0=0，又 l1：y
22、 y0= ，N（ ） ，连结 BN，则 E 为ABN 的重心，设 E（x，y ） ，则 ， 代入 9x02+4y024 y0=0 可得：48x2+3y2 2 ， （y0 ） （2 ）当 x0=0 时，l：y= ， N（0，0） ，E（0 ， ）也适合上式，综上所述，点 E 的轨迹方程为：48x2+3y2 2 ， （y 0 ） 21已知函数 f（x ）=ax2lnx，aR （1 ）当 a=1 时，求函数 f（x）在点 （1，f（1） ）处的切线方程；（2 ）是否存在实数 a，使 f（x）的最小值为 ，若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由；（3 ）当 x（ 0，+ ）时，求证： e2x32
23、x2（x+1）lnx【解答】解：（1）当 a=1 时，f（x）=x2lnx 的导数为 f（x）=2x ，函数 f（ x）在点（1，f（1） ）处的切线斜率为 21=1，切点为（1，1 ） ，可得切线方程为 y1=x1，即 xy=0；（2 ） f（x）的定义域为（ 0，+） ，f（x）的导数为 f（x）= ，当 a0 时，f（x）0 ，f （x）在（0 ，+）为减函数，无最小值；当 a0 时，在（ 0， ）上， f（x）0 ；在（ ， +）上，f （x）0 所以当 x= 处取得极小值，也为最小值 ln ，令 ln = ，解得 a= e2，则存在实数 a= e2，使 f（x）的最小值为 ；（3 ）
24、证明：由（2）得当 x0 时， e2x2lnx ，可令 g（x）= +1，则 g（x）= ，当 0xe 时，g （x ）0；当 xe 时，g（x）0则 x=e 处，g（x）取得最大值 g（e）=1+ ，且 1+ 1+ = ，则 e2x2lnx +1，即 e2x32x2（x+1）lnx四、选修题22在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C： + =1，以平面直角坐标系 xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l： （cos2sin）=6（）写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的参数方程；（）在曲线 C 上求一点 P，使点 P 到直线 l 的距离
25、最大，并求出此最大值【解答】解：（I ）直线 l：（cos2sin ）=6 ，由互化公式可得直角坐标方程：x2y6=021 教育名师原创作品由曲线 C： + =1，可得 C 的参数方程： （ 为参数） （II）设点 P ，0，） 则点 P 到直线 l 的距离 d= =2 ，当且仅当=1 时取等号此时点 P ，dmax=2 23已知函数 f（x ）=|x |2x+1|（）求 f（x）的值域；（）若 f（x）的最大值时 a，已知 x，y ，z 均为正实数，且 x+y+z=a，求证： + +1【解答】 （）解：函数 f（x）=|x |2x+1|= ，函数的图象如图所示，则函数的值域为（，1 ；（）证明：由题意 x，y ，z 均为正实数，x+y+z=1 ，由柯西不等式可得（x+y+z） （ + + ）（y+z+z ）2=1， + + 1
