1、2017-2018 学年高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设全集 U=x|x1 ，集合 A=x|x2，则UA=（ ）Ax|1x2 Bx|1 x2 Cx|x2 Dx|x2【解答】解：全集 U=x|x1 ，集合 A=x|x2，UA=x|1x2，故答案为：A2等差数列an中，a1=2 ，a5=a4+2 ，则 a3=（ ）A4 B10 C8 D6【解答】解：等差数列an中，a1=2，a5=a4+2 ， ，解得 a1=2，d=d=2，a3=2+22=6故选：D3已知向量 =（1，2）， =（m ，1），若
2、，则实数 m=（ ）A2 B2 C D【解答】解：向量 =（1，2）， =（m ，1）， ， =m+2=0，解得 m=2故选：A4已知 a0，b0，且 + =1，则 a+2b 的最小值是（ ）A32 B3+2 C2 D4【解答】解：a0，b0，且 + =1，则 a+2b=（a+2b） =3+ 3+2 =3+2 ，当且仅当 a= b=1+ 时取等号故选：B5若 x，y 满足约束条件 ，则 z=2xy 的最小值为（ ）A1 B1 C2 D2【解答】解：由约束条件 ，作出可行域如图联立 ，解得 A（ 1，3），化目标函数 z=2xy 为 y=2xz由图可知，当直线 y=2xz过 A 时，直线在 y
3、轴上的截距最小，z 有最小值为1故选：B6已知 tan（ +）=2，则 sin2=（ ）A B C D【解答】解：tan（ +）= =2，tan= ，sin2= = ，故选：A7下列说法中，正确的是（ ）A已知 a，b，m R，命题“若 am2bm2，则 ab”为假命题B“x 3”是“x2” 的必要不充分条件C命题“p 或 q”为真命题，p 为真，则命题 q 为假命题D命题“x0R，x02 x00”的否定是：“ xR，x2 x0”【解答】解：对于 A，若 am2bm2，则 ab，故错；对于 B，满足 x3，一定满足 x2，故错；对于 C，“p 或 q”为真命题，p 为真，则命题 q 为真命题，
4、故错；对于 D，含有量词的命题的否定，先换量词，再否定结论，故正确；故选：D8秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 n，x 的值分别为 4，3，则输出v 的值为（ ）A20 B61 C183 D548【解答】解：初始值 n=4，x=3，程序运行过程如下表所示：v=1i=3 v=13+3=6i=2 v=63+2=20i=1 v=203+1=61i=0 v=613+0=183i=1 跳出循环，输出 v 的值为 183故选：C9将函数 y=
5、sin（x+ ）cos（x+ ）的图象沿 x 轴向右平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则 的取值不可能是（ ）A B C D【解答】解：y=sin（x+ ）cos（x+ ）= sin（2x+），将函数 y 的图象向右平移 个单位后得到 f（x ）= sin（2x +），f（x ）为偶函数， +=k+ ，kZ，=k+ ，kZ，故选：C10已知数列an的前 n 项和为 Sn，若 Sn=1+2an（n2），且 a1=2，则 S20（ ）A2191 B221 2 C219+1 D221+2【解答】解：Sn=1+2an（n2），且 a1=2，n2 时，an=Sn Sn1=1+2an（1+2an1），
6、化为：an=2an1，数列an 是等比数列，公比与首项都为 2S20= =2212故选：B11已知函数 f（x）是奇函数，当 x0，f （x）=x2+x，若不等式 f（x）x 2logax（a0 且 a1）对x（0， 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）A（0， B ，1） C（0， D ， （1，+）【解答】解：函数 f（x）是奇函数，当 x0，f （x）=x2+xf（ x）=f （ x），设 x0，则x 0，f（ x）=x2 x，f（x）=x2+x ，不等式 f（x）x2logax（a0，a 1）对x（0， 恒成立，x2+x x2logax（a 0，a1）对x（0， 恒成立，x2loga
7、x2，（ ）2loga（ ）2，loga = loga ，当 a1 时， ，解得 a ，此时无解，当 0a1 时， ，解得 a ，此时 a 1，综上所述 a 的取值范围为 ，1）故选：B12已知定义在 R 上的函数 y=f（x）满足：函数 y=f（x+1）的图象关于直线 x=1 对称，且当 x（， 0）时，f（x）+xf（x）0 成立（f（x）是函数 f（x）的导函数），若a=0.76f（0.76）， b=log 6f（log 6），c=60.6f（60.6），则 a，b，c 的大小关系是（ ）Aabc Bba c Cc ab Dacb【解答】解：定义在 R 上的函数 y=f（x）满足：函数
8、y=f（x+1）的图象关于直线 x=1 对称，可知函数是偶函数，2-1-c-n-j-y当 x（，0 ）时，f（x）+xf（x）0 成立（f（x）是函数 f（x）的导函数），可知函数 y=xf（x）是增函数，x0 时是减函数；0.76（0，1），60.6 （2，4），log 6log1.56（4，6）所以 acb故选：D二.填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在机读卡上相应的位置.）13已知复数 z 满足 z= ，则|z|= 【解答】解：z= = ， 故答案为： 14已知曲线 y= lnx 的一条切线的斜率为 ，则切点的坐标为 【解答】解：由 y= lnx 得 y
9、= 设斜率为 的切线的切点为（x0，y0），（x00）则 ，解得：x0=1，y0= 故答案为 15在边长为 3 的等边三角形 ABC 中， =2 ，2 + =3 ，则| |= 【解答】解：如图，以 BC 边所在直线为 x 轴，以 BC 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 D（ ，0），B （ ，0），C （ ），A （0， ），设 E（x，y），则由 2 + =3 ，得（6，0）+ （ ）=（ ，3y），即 ，解得 E（1， ）， ，则 故答案为： 16函数 f（x）= 且对于方程 f（x）2 af（x）+a2 3=0有 7 个实数根，则实数 a 的取值范围是 【解答】解：函数 f（
10、x）= 的图象如下图所示：由图可得：当 t（，0）时，方程 f（x）=t 有一个根，当 t=0 时，方程 f（x）=t 有两个根，当 t（0，1时，方程 f（x） =t 有三个根，当 t（1，2）时，方程 f（x）=t 有四个根，当 t（2，+ ）时，方程 f（x）=t 有两个根，若方程 f（x）2af（x）+a2 3=0 有 7 个实数根，则方程 t2at+a23=0 有两个实数根，一个在区间（0，1上，一个在区间（ 1，2）上，令 g（t）=t2at+a2 3，解得： 故答案为： 三、解答题：（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知函数 f（x
11、）=2cos（ x）cos （x+ ）+ （）求函数 f（x）的最小正周期和单调递减区间；（）求函数 f（x）在区间0， 上的值域【解答】解：（） f（x）=2cos（ x）cos（x+ ）+ =sinxcosx sin2x+ =sin（2x+ ） T= = 由 2k+ 2x+ 2k+ ，可得单调递减区间为k+ ，k+ （kZ） （）x0， ，2x+ ， 当 2x+ = ，即 x= 时， f（x）max=1当 2x+ = m 即 x= 时，f（x）min= f（x）值域为 ，118已知数列an是公差不为 0 的等差数列，Sn 为数列an的前 n 项和，S5=20，a1，a3，a7 成等比数列（
12、1）求数列an的通项公式；（2）若 bn+1=bn+an，且 b1=1，求数列 的前 n 项和 Tn【解答】解：（1）由题可知， ，得 a1=2d因为 S5=20，所以 a3=4，所以 a1=2，d=1所以 an=n+1（2）由（1）可知，bn+1 bn=n+1，所以：b2b1=2，b3b2=3 ，b4 b3=4，bn bn1=n由累加法可得： ，所以 所以 Tn=2 + + =2 = 19如图，在ABC 中，AB=2 ， cos2B+5cosB =0，且点 D 在线段 BC 上（1）若ADC= ，求 AD 的长；（2）若 BD=2DC， =4 ，求ABD 的面积【解答】解：（1）由 ，可得
13、3cos2B+5cosB2=0，所以 或 cosB=2（舍去） 所以 因为 ，所以 由正弦定理可得： ，所以 （2）由 BD=2DC，得 ，所以 因为 ，AB=2，所以 由余弦定理 AC2=AB2+BC22ABBCcosB 可得 BC=6 或 （舍去） 所以：BD=4，所以 20已知 f（x）=x2 ax+lnx， aR（1）当 a=3 时，求函数 f（x ）的极小值；（2）令 g（x）=x2 f（x），是否存在实数 a，当 x1， e（e 是自然对数的底数）时，函数 g（x）取得最小值为 1若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由【解答】解：（1）由题可知，f（x）=x2 3x+lnx，所
14、以 令 f（x）=0，得 或 x=1令 f（x）0，解得：0x ，或 x1，令 f（x）0，解得： x1，所以 f（x）在 ，（1 ，+ ）单调递增，在 上单调递减 所以 f（x）的极小值是 f（1）=2（2）由题知，g（x）=axlnx，所以 当 a0 时，g（x）在1 ，e上单调递减，g（x）min=g（e）=ae 1=1，解得： （舍去） 当 时，g（x）在1，e 上单调递减，g（x）min=g（e）=ae1=1，解得： （舍去） 当 时，g（x）在 上单调递减，在 上单调递增，解得：a=1（舍去） 当 a1 时，g（x）在1 ，e上单调递增，g（x）min=g（1）=a=1，解得：a=
15、1综合所述：当 a=1 时，g（x）在1，e上有最小值 121已知函数 f（x）= ax3bex（aR ，bR），且 f（x）在 x=0 处的切线与 xy+3=0 垂直（1）若函数 f（x）在 ，1存在单调递增区间，求实数 a 的取值范围；（2）若 f（x）有两个极值点 x1，x2，且 x1x2，求 a 的取值范围；（3）在第二问的前提下，证明： f（x1） 1【解答】解：因为 f（x）=ax2bex ，所以 f（0）= b=1，所以 b=1（1）由前可知，f（x）=ax2ex根据题意：f（x）0 在 上有解，即 ax2ex0 在 上有解 即 在 上有解，令 ，故只需所以 ，所以，当 时，g（
16、x）0，所以 g（x）在上单调递减，所以 g（x）min=g（1）=e，所以 ae（2）令 h（x）=f（x），则 h（x）=ax2ex，所以 h（x） =2axex由题可知，h（x）=0 有两个根 x1，x2，即 2axex=0 有两个根 x1，x2，又 x=0 显然不是该方程的根，所以方程 有两个根，设 （x ）= ，则 （x）= ，当 x0 时，（x）0，（x）单调递减；当 0x1 时，（x）0， （x）单调递减；当 x1 时，（x）0， （x）单调递增故要使方程 2a= 有两个根，只需 2a（1）=e，即 a ，所以 a 的取值范围是（ ，+），（3）由（2）得：0x11x2且由 h（
17、x1）=0 ，得 2ax1 =0，所以 a= ，x1（ 0，1）所以 f（x1）=h（x1）=a = （ 1），x1（0，1），令 r（t）=et （ 1），（0t1），则 r（t ）=et （ ）0，r（t）在（0，1）上单调递减，所以 r（1）r（t）r （0），即 f（x1）1请考生在 22、23 二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号选修 44：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），在以原点为极点，X 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 sin（ ）= （1）求 C 的普通方程和 l 的
18、倾斜角；（2）若 l 和 C 交于 A，B 两点，且 Q（2，3），求|QA|+|QB| 【解答】解：（1）曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），普通方程是 =1 由 sin（ ）= ，得 sincos=1 所以：xy+1=0，即直线 l 的倾斜角为：45 （2）联立直线与椭圆的方程，解得 A（0，1），B（ ， ） 所以|QA|=2，|QB|= 所以|QA|+|QB|= 选修 4-5：不等式选讲23设不等式2|x 1|x+2|0 的解集为 M，a、bM，（1）证明：| a+ b| ；（2）比较|1 4ab|与 2|ab|的大小，并说明理由【解答】解：（1）记 f（x） =|x1|x+2|= ，由2 2x10 解得 x ，则 M=（ ， ）a、bM ， ，所以| a+ b| |a|+ |b| + = （2）由（1）得 a2 ，b2 因为|1 4ab|24|ab|2=（18ab+16a2b2） 4（a22ab+b2）=（4a2 1）（4b2 1）0，所以|1 4ab|24|a b|2，故|1 4ab|2|a b|
