1、三角形“四心”向量形式的充要条件应用(修正稿)衡阳县三中 刘仲生湖南祁东育贤中学 周友良 421600在学习了平面向量一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下：一知识点总结1）O 是 ABC的重心 0OCB;若 O 是 的重心，则 ABCAS31S故 0;为 的重心.1()3PGABPCGB2）O 是 的垂心 OACO ;若 O 是 (非直角三角形)的垂心，则 tanBAtaSSOBACB ： 故 0nttan3）O 是 的外心 |C|(或22OC)若 O 是 ABC的外心则 2sin:BiA2sinsiAs
2、inBOsiSSAO ：故 0C2in2si 4）O 是内心 BC的充要条件是 0)|CB|A(O)|BC|A(O)|A( 引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记 ,的单位向量为 321e,，则刚才 O 是 BC内心的充要条件可以写成 0)e(OC)e(B)e(OA322131 O 是 C内心的充要条件也可以是 cBbAa若 O 是 的内心，则 aSSOCBO： 故 0Csinsisin0cbAa 或 ;的内心;|BPCAPAB向量 所在直线过 的内心(是 的角平分线所在直()(|A线)；二范例(一)将平面向量与三角形内心结合考查例 1O 是平面上的一定点， A,B,C 是平面上不共线的三个点
3、，动点 P 满足， 则 P)(ACBP,0点的轨迹一定通过 的（ ）（A）外心（B）内心（C）重心（ D）垂心解析：因为 是向量 的单位向量设与 方向上的单位向量分别为 ， 又 ，则原式可化为 21e和 APO，由菱形的基本性质知 AP 平分 ，那么在 中，AP 平分)(21eAPBACB，则知选 B.BC点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生” ，首先 是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。(二)将平面向
4、量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例 2 H 是ABC 所在平面内任一点， 点 H 是ABCACHBA 的垂心.由 ,HCBBA 00)(同理 ， .故 H 是ABC 的垂心. （反之亦然（证略） ）HCACB1eC 2eCP例 3.(湖南)P 是ABC 所在平面上一点，若 ，则 P 是ABCACPBA的（D ）A外心 B内心 C重心 D垂心解析:由 .0 PCP得即 ,0)(ABA即则 CB,同 理所以 P 为 的垂心. 故选 D.点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在
5、直线垂直” 等相关知识巧妙结合。(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例 4 G 是ABC 所在平面内一点， =0GCBA点 G 是ABC 的重心.证明 作图如右，图中 GECB连结 BE 和 CE，则 CE=GB，BE=GC BGCE 为平行四边形 D 是 BC 的中点，AD 为 BC 边上的中线.将 代入 =0，GECBA得 =0 ，故 G 是ABC 的重AD2心.（反之亦然（证略） ）例 5 P 是ABC 所在平面内任一点.G 是ABC 的重心 .)(31PCBAPG证明 CGPBA)(3CBAG 是ABC 的重心 =0 =0，即CBP由此可得 .（反之亦然（证略） ）)(31
6、PBAP例 6 若 为 内一点， ，则 是 的（ ）OC0OCOABCA内心 B外心 C垂心 D重心AB CEDO解析：由 得 ，如图以 OB、OC 为相邻两边构作平行四边形，0OOA则 ，由平行四边形性质知 ， ，同理可证其它两边上的这BCD12E2OE个性质，所以是重心，选 D。点评：本题需要扎实的平面几何知识，平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质：重心是三角形中线的内分点，所分这比为 。本题在解题的过程中将平面向量的有关运算1与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合。(四)将平面向量与三角形外心结合考查例 7 若 为 内一点， ，则 是 的（ ）OABCOBC
7、OABA内心 B外心 C垂心 D重心解析：由向量模的定义知 到 的三顶点距离相等。故 是 的外心 ，选 B。AC点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。(五)将平面向量与三角形四心结合考查例 8已知向量 ， ， 满足条件1OP23+ + =0，| |=| |=| |=1，1OP23P求证 P 1P2P3 是正三角形.（数学第一册（下） ，复习参考题五 B 组第 6 题）证明 由已知 + =- ，两边平方得 = ，231OP21同理 = = ，23O1| |=| |=| |= ，从而P 1P2P3 是正三角形.1P反之，若点 O 是正三角形 P1P2P3 的中心，
8、则显然有 + + =0 且| |=|1O2P31OP|=| |.23即 O 是ABC 所在平面内一点，+ + =0 且| |=| |=| | 点 O 是正P 1P2P3的中心.1P231OP23例 9在ABC 中，已知 Q、G、H 分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q 、G、H 三点A B(x1,0)C(x2,y2)yxHQGDEF共线，且 QG:GH=1:2。【证明】：以 A 为原点，AB 所在的直线为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B（x 1,0） 、C(x 2,y2)，D、E、F 分别为 AB、BC、AC 的中点，则有：2,0)(,(,)2xyD（ 、 、由题设可
9、设 ,1324)QH（ 、12(,3xyG21224 3)(,)xyAHF，1(,BCxy21244()0Axyxy212323()()0QFCxyAy1212122433()(,),xxxyQHy（212212212311()(,),( 3 , (, )61 =3 xGxxyxyQH2 2（6即 ，故 Q、 G、 H 三点共线，且 QG： GH=1：2【注】：本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理，都相当麻烦，而借用向量的坐标形式，将向量的运算完全化为代数运算，这样就将“形”和“数”紧密地结合在一起，从而，很多对称、共线、共点、垂直等问题的证明，都可转化为熟练的代数运算的论证。
10、例 10若 O、 H 分别是ABC 的外心和垂心.求证 .CBA证明 若ABC 的垂心为 H，外心为 O，如图.连 BO 并延长交外接圆于 D，连结 AD，CD. ， .又垂心为 H， ， ，ABDCBCAAHAHCD，CHAD，四边形 AHCD 为平行四边形， ，故 .OH O著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”外心、重心、垂心的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线“欧拉线” ；（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的 2 倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.例 11 设 O、G、H 分
11、别是锐角ABC 的外心、重心、垂心 .求证 31证明 按重心定理 G 是ABC 的重心 )(31OCBAOG按垂心定理 CBAOH由此可得 .31电子邮箱周友良 ,手机号码 13187209109；衡阳县三中 刘仲生湖南祁东育贤中学 周友良 421600补充练习1已知 A、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形 ABC 的重心，动点 P 满足= ( + +2 ),则点 P 一定为三角形 ABC 的 （ B ）P321A.AB 边中线的中点 B.AB 边中线的三等分点（非重心）C.重心 D.AB 边的中点1. B 取 AB 边的中点 M，则 ，由 = ( + +2 )OBA2312OAC可
12、得 3 ， ，即点 P 为三角形中 AB 边上的中线的COP2P3一个三等分点，且点 P 不过重心，故选 B.2在同一个平面上有 及一点满足关系式： AB2OA2B22A ，则为 的 2OC2ABAC（ D ） 外心 内心 C 重心 D 垂心2已知ABC 的三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P 满足： ，则 P 为0ABC的 AB（ C ） 外心 内心 C 重心 D 垂心3已知 O 是平面上一 定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足：，则 P 的轨迹一定通过ABC 的 )(P（ C ） 外心 内心 C 重心 D 垂心4已知ABC，P 为三角形所在平面上的动点，且动点 P 满
13、足：，则 P 点为三角形的 （ D 0AB） 外心 内心 C 重心 D 垂心5已知ABC，P 为三角形所在平面上的一点，且点 P 满足：，则 P 点为三角形的 0abc（ B ） 外心 内心 C 重心 D 垂心6在三角形 ABC 中，动点 P 满足： ，则 P 点轨迹一定通过CAB22ABC 的： （ B ） 外心 内心 C 重心 D 垂心7.已知非零向量 与 满足( + ) =0 且 = , 则ABC 为( )AB AC AB |AB |AC |AC | BC AB |AB |AC |AC |12A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形解析：非零向量与满
14、足( )=0，即角 A 的平分线垂直于 BC， AB=AC，又|= ，A= ，所以ABC 为等边三角形，选 DcosA|BC12 38. 的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为 H， ，则 )(OCBAmO实数 m = 19.点 O 是 三 角 形 ABC 所 在 平 面 内 的 一 点 ， 满 足 ， 则 点 OBAAB CMNG图 1图是 的 （ B ）AC（A）三个内角的角平分线的交点 （B）三条边的垂直平分线的交点（C）三条中线的交点 （D）三条高的交点10. 如图 1，已知点 G 是 的重心，过 G 作直ABC线与 AB，AC 两边分别交于 M，N 两点，且 ，xA，则 。ANyC3xy证 点 G 是 的重心，知 O，BGBC得 O，有 。()()A1()3A又 M，N，G 三点共线（A 不在直线 MN 上） ，于是存在 ，使得 ，,()MN且有 = ，xByC1()3B得 ，于是得 。1x
