1、第二十一讲 容斥原理（包含与排除）【知识梳理】容斥原理（包含与排除原理）：（用|A|表示集合 A 中元素的个数，如 A=1，2，3，则|A|=3）原理一（二量重叠）：给定两个集合 A 和 B，要计算 AB 中元素的个数，可以分成两步进行： 第一步：先求出A+B（或者说把 A，B 的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步：减去AB（即“排除”加了两次的元素）总结为公式：|AB|=A+B-AB原理二（三量重叠）：给定三个集合 A，B，C。要计算 ABC 中元素的个数，可以分三步进行：第一步：先求A+B+C； 第二步：减去AB，BC，CA；第三步：再加上ABC。21 世纪教育网版权所有即有以下公
2、式：ABC=A+B+C-AB-BC- |CA|+|ABC 【典例精讲 1】实验小学三年级一班统计考试成绩，数学得 90 分上的有 35 人；语文得 90 分以上的有 31 人；两科中至少有一科在 90 分以上的有 38 人。问两科都在 90 分以上的有多少人？www.21-cn-思路分析：设 A=数学成绩 90 分以上的学生，B=语文成绩 90 分以上的学生，那么，集合 AB 表示两科中至少有一科在 90 分以上的学生，由题意知，A=35，B=31，AB=38，现要求两科均在 90 分以上的学生人数，即求AB，由容斥原理即可解决。【来源：21世纪教育网】解答：设 A=数学成绩 90 分以上的学
3、生，B=语文成绩 90 分以上的学生，AB=A+B-AB=35+31-38=28答：两科都在 90 分以上的有 28 人.小结：解决这类问题关键要弄清楚重叠部分是多少。【举一反三】1. 六一班有学生 46 人,其中会骑自行车的 17 人,会游泳的 14 人,既会骑车又会游泳的 4 人,问两样都不会的有多少人？21世纪*教育网2. 两张长 4 厘米，宽 2 厘米的长方形纸摆放成如图所示形状，把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？3. 在 1 至 1000 的自然数中，不能被 5 或 7 整除的数有多少个？【典例精讲 2】希望小学六年级的课外小组分为音乐、下象棋、书法三个小组，参加音乐小组的有
4、23 人，参加下象棋小组的有 27 人，参加书法小组的有 18 人；同时参加音乐、下象棋两个小组的有 4 人，同时参加音乐、书法小组的有 7 人，同时参加下象棋、书法小组的有 5 人；三个小组都参加的有 2 人。问：这个年级参加课外小组共有多少人？21cnjycom思路分析：用原理二（三量重叠）解决。解答：设 A=音乐小组的同学，B=下象棋小组的同学，C=书法小组的同学，AB=音乐、下象棋小组的同学，AC=参加音乐、书法小组的同学，BC=参加下象棋、书法小组的同学，ABC=三个小组都参加的同学由题意知：A=23，B=27，C=18AB=4，AC=7，BC=5，ABC=2根据容斥原理二得：ABC
5、=A+B+C-AB-AC|-BC|+|ABC=23+27+18-（4+5+7）+2=54（人）小结：解决这类问题要清楚哪些是两类都做的，哪些是三类都做的。【举一反三】4. 某个班的全体学生进行短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4 名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到了优秀。这部分学生达到优秀的项目、人数如下表：21 教育网求这个班的学生人数。5. 在 11000 这 1000 个自然数中，不能被 2、3、5 中任何一个数整除的数有多少个？ 答案及解析：1.【解析】利用容斥原理求出至少会一种的人数，再用总人数减去这些人数就可以了。【答案】：所求人数=全班人数-(会骑车人
6、数+会游泳人数-既会骑车又会游泳人数)=46-(17+14-4)=19(人)21cnjy答：两样都不会的有 19 人 。2.【解析】：两个长方形如图摆放时出现了重叠，重叠部分恰好是边长为 2 厘米的正方形，如果利用两个 42 的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了，所以，被覆盖面积=长方形面积之和-重叠部分。【答案】： 42222=12（平方米）答：覆盖面积有 12 平方厘米。3.【解析】利用容斥原理计算出至少能被 5 或 7 整除的数的个数，再用总个数相减即可。【答案】：能被 5 整除的数共有 10005=20
7、0（个）；能被 7 整除的数共有 10007=142（个）6（个）；同时能被 5 和 7 整除的数共有 100035=28（个）20（个）。所以，能被 5 或 7 整除的数一共有（即重复了的共有）：20014228=314（个）；不能被 5 或 7 整除的数一共有 1000314=686（个）。4.【解析】要把一项优秀的、两项或者三项优秀计算出来，最后再把都没有获得优秀的加起来就可以了。 【答案】：只有篮球一项达到优秀的有 1565+2=6（人）；只有游泳一项达到优秀的有 1866+2=8（人）；只有短跑一项达到优秀的有 17652=8（人）。获得两项或者三项优秀的有 66+522=13（人）
8、。另有 4 人一项都没获优秀。所以，这个班学生人数是 136884=39（人）。5.【解析】：根据容斥原理分类解决即可。【答案】：被 2 整除,即 两个两个地数有多少组,10002=500 （表示除后取整数部分）被 3 整除的有 333 个，被 5 整除的有 200 个，被 2 和 3 同时整除的有 166 个，被 2 和 5 同时整除的有 100 个，被 3 和 5 同时整除的有 66 个，被 2、3 和 5 同时整除的有 33 个，以上条件中不重复的数有 500+333+200-166-100-66+33=734（个），所以,不能被 2、3、5 任何一个数整除的个数为 1000-734=266 个。
