圆锥曲线复习题(学生版).doc

1、圆锥曲线复习题一、联立直线与曲线方程，直接利用韦达定理这种问题主要是联立直线与曲线方程，产生韦达定理，把条件转化为韦达定理的应用，从而解决问题。比如以下这几个条件都是转化为韦达定理的常见类型：以弦 AB 为直径的圆过原点(或某个定点)即 为直角(有时候会转化为锐角、钝角)等等，请同学注意总结补充。AOB1、已知定点 F（1，0） ，动点 P 在 y 轴上运动，过点 P 作 PM 交 x 轴于点 M，并延长 MP 到点 N，且（1）动点 N 的轨迹方程；（2）线 l 与动点 N 的轨迹交于 A，B 两点，若.|,PM，求直线 l 的斜率 k 的取值范围.304|64ABBA且解:（1）动点的轨迹

2、方程为 ).(2xy（2）直线 l 的斜率的取值范围是 . 1,2,2、如图、椭圆 的一个焦点是 F（1，0） ， O 为坐标原点.（）已知椭圆短轴的两21(0)xyab个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；）设过点 F 的直线 l 交椭圆于 A、 B 两点.若直线 l 绕点 F 任意转动，值有 ,求 a 的取值范围.22OAB解：()椭圆方程为21.43xy() a 的取值范围为（ ，+ ）.523、已知曲线 上任意一点 到两个定点 和 的距离之和为 4 （1）求曲线 的方程；P13,0F2, （2）设过 的直线 与曲线 交于 、 两点，且 （ 为坐标原点） ，求直线 的方0,2l

3、CD0OC l程解：（1）轨迹方程为 214xy（2）直线 的方程是 或 l2x4、已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，椭圆 上的点到焦点距离的最大值为 ，最小值CC3为 （）求椭圆 的标准方程；（）若直线 与椭圆 相交于 ， 两点（ 不是左1 :lykxmAB，右顶点） ，且以 为直径的圆过椭圆 的右顶点，求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标ABCl解： (I)由题意设椭圆的标准方程为 21.43x(II)直线 过定点，定点坐标为l (,0).75、在平面直角坐标系 中，经过点 且斜率为 的直线 与椭圆 有两个不同的交点xOy(02)， kl21xy和 （I）求 的取值范围；（II）

4、设椭圆与 轴正半轴、 轴正半轴的交点分别为 ，是否存PQkxyAB，在常数 ，使得向量 与 共线？如果存在，求 值；如果不存在，请说明理由PQABk解：（） 的取值范围为 k2、 （）解得 由（）知 或 ，故没有符合题意的常数 22kkk二、弦长、面积的问题这类问题比较明了，注意求面积的基本方法之一：面积分割，求面积的最值一般是建立有关变量k 的函数关系 ，通过研究函数的最值求面积的最值(利用均值不等式很常见)。kfs弦长公式： ， |)k(14)(k1)1| 221212212 axxxAB 其中 、ak1、已知椭圆 两焦点分别为 F1、 F2， P 是椭圆在第一象限弧上一点，并满足 ，过

5、P142yx 121FP作倾斜角互补的两条直线 PA、 PB 分别交椭圆于 A、 B 两点.（）求 P 点坐标；（）求证直线 AB 的斜率为定值；（）求 PAB 面积的最大值. 解：（）点 P 的坐标为 .)2,1(（） AB 的斜率 为定值.BABxyk（）三角形 PAB 面积的最大值为 。22、已知椭圆 C: =1(ab0)的离心率为 ,短轴一个端点到右焦点的距离为 .()求椭圆2ya36 3C 的方程;()设直线 l 与椭圆 C 交于 A、 B 两点，坐标原点 O 到直线 l 的距离为 ，求 AOB 面积的2最大值.解：（）椭圆方程为 213xy（） 面积取最大值 AOB max322S

6、AB3、已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， 过 的直线交椭圆于 两点，过 的直线交213xy1F21BD， 2F椭圆于 两点，且 ，垂足为 （）设 点的坐标为 ，证明： ；AC， ABDP0()xy， 013xy（）求四边形 的面积的最小值解：（）220013yx（）四边形 的面积的最小值为 ABCD9654、已知双曲线 C 的方程为21(0,)yxab，离心率 52e，顶点到渐近线的距离为 25。（1）求双曲线 C 的方程；(2)如图，P 是双曲线 C 上一点，A，B 两点在双曲线 C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若 1,23P，求 AOB面积的取值范围。解（）曲线 的方程是2y4

7、x（） AOB面积范围是 8,3三、对称问题（涉及到弦的垂直平分线问题）这种问题主要是需要用到弦 AB 的垂直平分线 L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦 AB的中点坐标 M，结合弦 AB 与它的垂直平分线 L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线 L 的方程，然后解决相关问题，比如：求 L 在 x 轴 y 轴上的截距的取值范围，求 L 过某定点等等。有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦 AB 的中点问题，比如：弦与某定点 D 构成以 D 为顶点的等腰三角形（即 D 在 AB 的垂直平分线上） 、曲线上存在两点 AB 关于直线 m 对称等等。1、已知抛物线 y=-x2+3

8、 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点 A、B，则|AB|等于解： 14()32AB2、已知椭圆 的焦点在 轴上，长轴长为 ，离心率为 （）求椭圆 的标准方程；（）已知Ex432E点 和直线 ： ，线段 是椭圆 的一条弦且直线 垂直平分弦 ，求实数 的值(0,)lymABElABm解：（） ；214x（） 53O 1 xy3、倾斜角为 a 的直线经过抛物线 的焦点 F，且与抛物线交于 A、 B 两点。 （）求抛物线的焦点xy82F 的坐标及准线 l 的方程；（）若 a 为锐角，作线段 AB 的垂直平分线 m 交 x 轴于点 P，证明|FP|-|FP|cos2a 为定值，并求此定值。解：焦

9、点的坐标为（2，0）.准线 l 的方程为 。2x（）定值为 8。4、某学生在平面直角坐标系内画了一系列直线 ，和以原点 O 为圆心1()t 1t为半径的圆，他发现这些直线和对应同一 t 值的圆的交点形成的轨迹很熟悉，然后又取长度为 2 的线段 AB（不与 x 轴垂直） ，使 AB 的两端点在此轨迹上滑动，并记线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点 （1）求上述交点的轨迹方程；0(,)M（2）求 的取值范围0x解：（1）轨迹 E 的方程为 21yx（2） 的取值范围是 0x(1,)5、设 ， 两点在抛物线 上， 是 的垂直平分线。 （）当且仅当 取1Ay， 2Bxy， 2yxlAB12x何值时

10、，直线 经过抛物线的焦点 ？证明你的结论；（）当直线 的斜率为 2 时，求 在 轴上截距lFlly的取值范围。解：（）当且仅当 时， 经过抛物线的焦点 。120xlF（） 在 轴上截距的取值范围为ly932，6、设 、 分别是椭圆 的左、右焦点. （）若 P 是该椭圆上的一个动点，求1F22154xy+=的最大值和最小值； （）是否存在过点 A（5，0）的直线 l 与椭圆交于不同的两点 C、D，21P使得|F 2C|=|F2D|？若存在，求直线 l 的方程；若不存在，请说明理由. 解： ，即点 P 为椭圆短轴端点时， 有最小值 3；0x当 21PF当 ，即点 P 为椭圆长轴端点时， 有最大值

11、4 5（）不存在直线 ，使得|F 2C|=|F2D|综上所述，不存在直线 l，使得|F 2C|=|F2D| l7、椭圆 G： 的两个焦点为 F1、F 2，短轴两端点 B1、B 2，已知 F1、F 2、B 1、B 2四点)0(12bayx共圆，且点 N（0，3）到椭圆上的点最远距离为 （1）求此时椭圆 G 的方程；（2）设斜率为.5k（k0）的直线 m 与椭圆 G 相交于不同的两点 E、F，Q 为 EF 的中点，问 E、F 两点能否关于过点P（0， ） 、Q 的直线对称？若能，求出 k 的取值范围；若不能，请说明理由3解：（1）椭圆方程为 1632yx（2）当 时，E、F 两点关于点 P、Q 的

12、直线对称)94,0(),94(k上题用判别式大于零来构建不等式也是常见方式。8、已知椭圆 的左焦点为 F，O 为坐标原点。 （I）求过点 O、F，并且与椭圆的左准线 相21xy l切的圆的方程；（II）设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 轴交于点 G，求点 G 横坐标的取值范围。x解：（I）圆的方程为 2219()().4xy（II）点 G 横坐标的取值范围为 ,09、已知椭圆 12byax（ a）的两个焦点分别为)0(,)0,(21cFc，过点 )0,(2cE的直线与椭圆相交于点 A,B 两点，且|,/2121BA（求椭圆的离心率；（）直线

13、AB 的斜率；（）设点 C 与点 A 关于坐标原点对称，直线 BF2上有一点 H(m,n)( 0)在 CAF1的外接圆上，求 mn的值。解 （1）离心率 3ace（2） 2k.(3)5mn.10、已知，椭圆 C 以过点 A（1， 32） ，两个焦点为（1，0） （1，0） 。（1） 求椭圆 C 的方程；（2） E,F 是椭圆 C 上的两个动点，如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，证明直线 EF 的斜率为定值，并求出这个定值。xyl GABF O（）解椭圆方程为 2143xy （）直线 EF 的斜率为定值，其值为 。 四、分比问题这类问题主要是研究过一个定点 P 作直线与曲线产生两

14、个交点 AB，进而研究 P 分两个交点 AB 所成的比例关系。往往是两种形式出现，一种是以比例： ，一种是向量： ，有时候是|BPABA求直线方程，有时候是求分比 的值或取值范围等等，这种问题主要是抓住分比 与坐标的关系，判断在联立方程时应该消去 ，以减少运算量，然后把问题转化到韦达定理)(21yx、 yx、的应用上。1、如图， 和 两点分别在射线 OS、OT 上移动，且)3,(mA)3,(nB，O 为坐标原点，动点 P 满足 .2BOBA（）求 的值；（）求 P 点的轨迹 C 的方程，并说明它表示怎样的曲线？（）若直线 l 过点 E（2，0）交（）中曲线 C 于 M、N 两点，且，求 l 的

15、方程.NME3解：（） 41mn（）P 点的轨迹方程为 )0(132xyx它表示以坐标原点为中心，焦点在 轴上，且实轴长为 2，焦距为 4 的双曲线 的右支。)0(132xyx（）直线 l 存在，其方程为： 或 2、给定抛物线 C: ,F 是 C 的焦点，过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点，记 O 为坐标原点xy42（1）求 的值；（2）设 = ，当三角形 OAB 的面积 S2， ，求 的取值范围.OABAB5解：（1） -3.（2） .532533、设直线 与椭圆 相交于 A、B 两个不)1(:xkyl )0(2ayx同的点，与 x 轴相交于点 C，记 O 为坐标原点.（I）

16、证明： ；2231ka（II）若 的面积取得最大值时的椭圆方程.OABCA求,（I） （II）椭圆方程是 .532yx4、已知圆 为圆上一动点，点 P 在 AM 上，MAxC),01(,8)1(:2定 点点 N 在 CM 上，且满足 的轨迹为曲线 E.I）求曲NP点线 E 的方程；II）若过定点 F（0，2）的直线交曲线 E 于不同的两点G、H（点 G 在点 F、H 之间） ，且满足 ，求 的取值范围.FHG解：（1）曲线 E 的方程为 .12yx（2） 135、已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 的焦点，离心率x 214yx为 .（1）求椭圆 C 的标准方

17、程；（2）过椭圆 C 的右焦点作直线 交椭圆 C 于 、 两点，交 轴2 lABy于 点， 若 ， ，求证： .M1AF2MB120解：椭圆 C 的方程为 25xy（2）证明： 6、已知点 的坐标分别是 ， ，直线 相交于点 M，且它们的斜率之积,AB(0,1)(,AB为 （1）求点 M 轨迹 的方程；（2）若过点 的直线 与（1）中的轨迹 交于不同的两点 、2C20DlCE（ 在 、 之间） ，试求 与 面积之比的取值范围（ 为坐标原点） FEDOEFO解：（1） （ ） ， 21xy0x（2） OBE 与 OBF 面积之比的取值范围是 132,37、已知椭圆 的方程为 双曲线 的两条E),

18、0(12bayx 2byax渐近线为 和 ，过椭圆 的右焦点 作直线 ，使得 于点 ，又 与1l2FllCl交于点 ， 与椭圆 的两个交点从上到下依次为 （如图）.1lPlEBA,(1)当直线 的倾斜角为 ，双曲线的焦距为 8 时，求椭圆的方程；130(2)设 ，证明： 为常数. BFA2,21解：（1）椭圆 的方程是: . 214xy（2） 为常数. 1208、给定抛物线 C：y 2=4x，F 是 C 的焦点，过点 F 的直线 L 与 C 相交于 A、B 两点。 （）设 L 的斜率为1，求 与 的夹角的余弦值；（）设 ，若 4,9，求 L 在 y 轴上截距的变化范围.OAB AB答案：(1)

19、 (2)413),cos(.34,34五、求轨迹方程问题1、 （1）一动圆与圆 外切，同时与圆2650xy内切，求动圆圆心 的轨迹方程，并说明它是什2690xyM么样的曲线。（2）双曲线 有动点 ， 是曲线的两个焦点，求21yP12,F的重心 的轨迹方程。1PFM解：动圆圆心的轨迹方程是 ，轨迹是椭圆2367x（2）重心 的轨迹方程为： 。291(0)y2、已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x轴上,离心率为 23,两个焦点分别为 1F和 2,椭圆 G 上一点到 1F和 2的距离之和为 12.圆 kC: 01422yky)(Rk的圆心为点 kA.(1)求椭圆 G 的方程(2)求 21Ak的

20、面积(3)问是否存在圆 kC包围椭圆 G?请说明理由.解：（1）椭圆 G 的方程为：21369xy. (2 ) 621FAS（3） 不论 K 为何值圆 kC都不能包围椭圆 G.3、在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 到点 F（3，0）的距离的 4 倍与它到直线 x=2 的距离的 3 倍之和记为 d，当 P 点运动时，d 恒等于xy1O2P点 P 的横坐标与 18 之和（）求点 P 的轨迹 C；（）设过点 F 的直线 l 与轨迹 C 相交于 M，N 两点，求线段MN 长度的最大值。解：（）点 P 的轨迹 C 是椭圆21:367xy在直线 x=2 的右侧部分与抛物线 2:1yx在直线 x=2 的

21、左侧部分（包括它与直线 x=2 的交点）所组成的曲线，参见图 1（）线段 MN 长度的最大值为 0.六、定点、定值问题1、已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，椭圆 上的点到焦点距离的最大值为 ，最小值为 CxC31（）求椭圆 的标准方程；（）若直线 与椭圆 相交于 ， 两点（ 不是左右顶点） ，且以 为直径的圆过椭圆 的右:lykxmCAB， ABC顶点，求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标解： (I)21.43(II)定点坐标为 (,0).72、已知抛物线 x24y 的焦点为 F，A、B 是抛物线上的两动点，且 （0） 过 A、B 两点分别作抛物线的切AF FB线，设其交点为 （）证

22、明 为定值；FMAB（）设ABM 的面积为 S，写出 Sf ()的表达式，并求 S 的最小值解：() 其值为 0 () S 取得最小值 43、如题图，倾斜角为 a 的直线经过抛物线 的焦点 F，且与抛物线交于 A、B 两点。xy82（）求抛物线的焦点 F 的坐标及准线 l 的方程；（）若 a 为锐角，作线段 AB 的垂直平分线 m 交 x 轴于点 P，证明|FP|-|FP|cos2a 为定值，并求此定值。解：（）焦点的坐标为（2，0）.准线 l 的方程为 。2x（）故 。82cos|aFP4、已知椭圆的中心为坐标原点 O，焦点在 轴上，斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直线交椭圆于 A、B 两

23、点，x与 共线.OAB(3,1)a（1）求椭圆的离心率；（2）设 M 为椭圆上任意一点，且 ，证明 为定值.(,)MAOBR2解：离心率为 6.3cea（II） 为定值，定值为 125、如图，M 是抛物线上 y2=x 上的一点，动弦 ME、MF 分别交 x 轴于 A、B 两点，且 MA=MB. （1）若 M 为定点，证明：直线 EF 的斜率为定值；（2）若 M 为动点，且EMF=90，求EMF 的重心 G 的轨迹解：（1） (定值)002200114()()2EFFkyy kk yx所以直线 EF 的斜率为定值（2） 1().9273y6、已知双曲线 的右焦点为 ，过点 的动直线与双曲线相交于

24、xyF两点，点 的坐标是 AB， C(10)，（I）证明 ， 为常数；（II）若动点 满足 （其中 为坐标原点） ，求点 的MABCO M轨迹方程解： （I） 为常数 CAB1（II）点 的轨迹方程是 24xy yAxoB,02pFNx7、在平面直角坐标系 中，过定点 作直线与抛物线 （xOy(0)Cp， 2xpy）相交于 两点0pAB，（I）若点 是点 关于坐标原点 的对称点，求 面积的最小值；NCANB（II）是否存在垂直于 轴的直线 ，使得 被以 为直径的圆截得的弦长恒yll为定值？若存在，求出 的方程；若不存在，说明理由 （此题不要求在答题卡l上画图）解法 1：（） 2min()ABN

25、Sp（） 为定值，故满足条件的直线 存在，其方程为 ，PQpl2py8、如题 21 图倾斜角为 的直线经过抛物线 的焦点 ，28yxF且与抛物线交于 两点AB、（）求抛物线的焦点 的坐标及准线 的方程；Fl（）若 为锐角，作线段 的垂直平分线交 轴于点 ，证明 为定值，mxPcos2P并求此定值解：（I）焦点的坐标为 ，(0)，准线的方程为 2x（II） =8cosFP9、已知动圆过定点 ，且与直线 相切，其中 .,02p2px0p（I）求动圆圆心 的轨迹的方程；C（II）设 A、B 是轨迹 上异于原点 的两个不同点，直线 和 的倾斜角分别为 和 ，当 变化且OOAB,为定值 时，证明直线 恒

26、过定点，并求出该定点的坐标.(0)AB解：（I）轨迹方程为 ；2(0)ypxP（II）直线 恒过定点AB,七、最值和取值范围问题1、设 mR,在平面直角坐标系中,已知向量 (,1)amxy,向量 (,1)bxy, ab,动点 (,)Mxy的轨迹为 E.（1）求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;（2）已知 41,证明:存在圆心在原点的圆 ,使得该圆的任意一条切线与轨迹 E 恒有两个交点 A,B,且 O(O 为NOACByxABxyNCO坐标原点),并求出该圆的方程 ;(3)已知 41m,设直线 l与圆 C: 22xyR(1R2)相切于 A1,且 l与轨迹 E 只有一个公共点 B1,

27、当 R 为何值时,|A 1B1|取得最大值?并求最大值.解：（1） 2xy.当 m=0 时,方程表示两直线 ,方程为 1y;当 时, 方程表示的是圆当 0且 1时,方程表示的是椭圆; 当 时,方程表示的是双曲线.(2).圆 245xy(3)当 (1,)R时|A 1B1|取得最大值,最大值为 1.2、已知直线 20xy经过椭圆2:1(0)xyCab的左顶点 A和上顶点 D，椭圆 C的右顶点为 ，点 S和椭圆 上位于 x轴上方的动点，直线， ,ASB与直线 1:3l分别交于 MN两点（I）求椭圆 的方程；（）求线段 MN 的长度的最小值；（）当线段 MN 的长度最小时，在椭圆 C上是否存在这样的点

28、 T，使得 SB的面积为 15？若存在，确定点 T的个数，若不存在，说明理由解：（I）椭圆 C的方程为214xy（）线段 MN的长度取最小值 83（）得 32t或 5t3、已知点 , 是抛物线 上的两个动点, 是坐标原点,向量 , 满足1()Axy2()B120)x2(0)ypxOAOB.设圆 的方程为OC21212()()xyxy(I) 证明线段 是圆 的直径;AB(II)当圆 C 的圆心到直线 X-2Y=0 的距离的最小值为 时，求 p 的值25解：(I)证明(II) .2p八、证明问题1、 （1）如图，椭圆 1（ab0）与过点 A（ 2，0）B(0,1) 的直线有且只有一个公共点 T，且

29、椭圆的离心率yx2e= .23()求椭圆方程；()设 F 、F 分别为椭圆的左、右焦点， M 为线段 AF 的中点，求证：ATM=AF T。12 1 1解 (1)椭圆方程为 214xy2、直线 过抛物线 的焦点，且与抛物线相交于 A 两点.l )0(2pxy ),(),(21yxB和（1 ）求证： ;（2 ）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦 CD，直线 l 不是 CD 的垂直平分线.14九、知识交汇问题1、已知 A、B 分别是椭圆 的左右两个焦点，O 为坐标原点，点 P ）在椭圆上，线段 PB 与 y 轴12byax 2,1(的交点 M 为线段 PB 的中点。（1）求椭圆的标准方程；（2）点 C 是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于 ABC，求 的值。siniABC解：（1）椭圆的标准方程为 =1 2yx（2） siniABC2、已知曲线 C：xy=1 ，过 C 上一点 作一斜率为 的直线交曲线 C 于另一点),(nyxA21nxk，点列 的横坐标构成数列 ，其中 ),(11nnyxA,321(n 71（1）求 与 的关系式；（2）求证： 是等比数列；n1 31nx（3）求证： 。)1,()()1()(321 nNxn解：（1） 12nnx