印度与阿拉伯的数学.doc

1、1第 四 章 印 度 与 阿 拉 伯 数 学4.1 印 度 数 学19211922年 间 印 度 河 流 域 莫 亨 佐 达 罗 、 哈 拉 帕 等 古 代 城 市 遗 址 的 考古 挖 掘 ， 揭 示 了 一 个 悠 久 的 文 明 ， 史 称 “哈 拉 帕 文 化 ”或 “印 度 河 流 域 文 化 ” 这 一 文 明 的 创 造 者 是 印 度 土 著 居 民 达 罗 毗 荼 人 ， 其 历 史 可 以 追 溯 到 公 元 前3000年 左 右 大 约 到 了 公 元 前 2000年 纪 中 叶 ， 操 印 欧 语 的 游 牧 民 族 雅 利 安 人 入侵 印 度 ， 征 服 了 达 罗

2、 毗 荼 人 ， 印 度 土 著 文 化 从 此 衰 微 不 振 印 度 历 史 上 曾 出 现 过 强 盛 独 立 的 王 朝 ， 如 孔 雀 王 朝 (公 元 前 324一 前 185)、笈 多 王 朝 (320540)， 但 总 体 而 言 ， 整 个 古 代 与 中 世 纪 ， 富 庶 的 南 亚 次 大 陆 几 乎不 断 地 处 于 外 族 的 侵 扰 之 下 公 元 前 6世 纪 ， 波 斯 帝 国 将 印 度 变 为 它 的 辖 区 ； 公元 前 327年 ， 亚 历 山 大 大 帝 赶 走 了 波 斯 人 ， 却 在 这 里 建 立 了 马 其 顿 人 的 莫 尔 雅 帝 国

3、；大 月 氏 人 又 曾 将 印 度 并 入 贵 霜 帝 国 的 版 图 (1世 纪 一 3世 纪 ) 公 元 5世 纪 以 后 ，印 度 更 是 先 后 遭 受 匈 奴 人 、 阿 拉 伯 人 、 突 厥 人 和 蒙 古 人 的 侵 占 这 种 多 民 族 的 交 替入 侵 ， 使 古 代 的 印 度 文 化 包 括 印 度 数 学 不 可 避 免 地 呈 现 出 多 元 化 的 复 杂 背 景 如 果 说 希 腊 数 学 与 其 哲 学 密 切 相 关 ， 那 么 古 代 印 度 数 学 则 更 多 地 受 到 其 宗 教的 影 响 雅 利 安 人 建 立 的 婆 罗 门 教 (公 元 4

4、世 纪 后 改 革 为 印 度 教 )， 以 及 稍 后(公 元 前 6世 纪 )兴 起 的 佛 教 、 耆 那 教 等 ， 形 成 了 古 代 印 度 数 学 发 展 的 浓 厚 的 宗教 氛 围 印 度 数 学 的 发 展 可 以 划 分 为 3个 重 要 时 期 ， 首 先 是 雅 利 安 人 入 侵 以 前 的 达 罗 毗荼 人 时 期 (约 公 元 前 3000一 前 1400)， 史 称 河 谷 文 化 ； 随 后 是 吠 陀 时 期 (约 公 元 前10世 纪 一 前 3世 纪 )； 其 次 是 悉 檀 多 时 期 (5世 纪 一 12世 纪 )4.1.1古 代 绳 法 经 由

5、于 达 罗 毗 荼 人 的 象 形 文 字 至 今 不 能 解 读 ， 所 以 对 这 一 时 期 印 度 数 学 的 实 际 情况 了 解 得 很 少 印 度 数 学 最 早 有 可 考 文 字 记 录 的 是 吠 陀 时 代 ， 其 数 学 材 料 混 杂 在 婆罗 门 教 的 经 典 吠 陀 当 中 ， 年 代 很 不 确 定 吠 陀 即 梵 文 veda， 原 意 为 知 识 、 光明 ， 吠 陀 内 容 包 括 对 诸 神 的 颂 歌 、 巫 术 的 咒 语 和 祭 祀 的 法 规 等 ， 这 些 材 料 最 初由 祭 司 们 口 头 传 诵 ， 后 来 记 录 在 棕 榈 叶 或

6、树 皮 上 不 同 流 派 的 吠 陀 大 都 失 传 ，目 前 流 传 下 来 仅 有 7种 ， 这 些 吠 陀 中 关 于 庙 宇 、 祭 坛 的 设 计 与 测 量 的 部 分 测 绳 的 法 规 (Sulva strus)， 即 绳 法 经 ， 大 约 为 公 元 前 8世 纪 至 公 元 前2世 纪 的 作 品 其 中 有 一 些 几 何 内 容 和 建 筑 中 的 代 数 计 算 问 题 如 勾 股 定 理 、 矩 形 对角 线 的 性 质 、 相 似 直 线 形 的 性 质 ， 以 及 一 些 作 图 法 等 ， 在 作 一 个 正 方 形 与 已 知 圆 等积 的 问 题 中

7、， 使 用 了 圆 周 率 的 以 下 近 似 值 ： ,03.)8629108291(42此 外 还 用 到 和 3 16049的 近 似 值 在 关 于 正 方 形 祭 坛 的 计 算0.3)(中 取1 414 215 686。12由 几 何 计 算 导 致 了 一 些 求 解 一 、 二 次 代 数 方 程 问 题 ， 印 度 人 用 算 术 方 法 给 出 了求 解 公 式 耆 那 教 的 经 典 由 宗 教 原 理 、 数 学 原 理 、 算 术 和 天 文 等 几 部 分 构 成 ， 流 传 下 来 的原 始 经 典 较 少 ， 不 过 有 一 些 公 元 前 5世 纪 一 2世

8、纪 的 注 释 其 中 出 现 了 许 多 计 算 公式 ， 如 圆 周 长 ， 弧 长 等 rC106hal4.1.2“巴 克 沙 利 手 稿 ”关 于 公 元 前 2世 纪 至 公 元 后 3世 纪 的 印 度 数 学 ； 可 参 考 资 料 也 很 少 ， 所 幸 于1881年 在 今 巴 基 斯 坦 西 北 地 区 一 座 叫 巴 克 沙 利 (Bakhashali)的 村 庄 ， 发 现 了 这一 时 期 的 书 写 在 桦 树 皮 上 的 所 谓 “巴 克 沙 利 手 稿 ” 其 数 学 内 容 十 分 丰 富 ， 涉 及到 分 数 、 平 方 根 、 数 列 、 收 支 与 利

9、润 计 算 、 比 例 算 法 、 级 数 求 和 、 代 数 方 程 等 ， 其代 数 方 程 包 括 一 次 方 程 、 联 立 方 程 组 、 二 次 方 程 特 别 值 得 注 意 的 是 手 稿 中 使 用 了一 些 数 学 符 号 ， 如 减 号 ， 状 如 今 天 的 加 号 ， “12-7”记 成 “12 7+” 巴 克 沙利 手 稿 中 出 现 了 完 整 的 十 进 制 数 码 ， 其 中 用 点 表 示 0：表 示 零 的 点 号 后 来 逐 渐 演 变 为 圆 圈 ， 即 现 在 通 用 的 “0”号 ， 这 一 过 程 至迟 于 公 元 9世 纪 已 完 成 。 有

10、一 块 公 元 876年 的 石 碑 ， 因 存 于 印 度 中 央 邦 西 北 地 区 的瓜 廖 尔 (GwMior)城 而 以 瓜 廖 尔 石 碑 著 称 ， 上 面 已 记 有 明 白 无 疑 的 数 “0” 瓜廖 尔 数 系 为 ：用 圆 圈 符 号 “0”表 示 零 ， 可 以 说 是 印 度 数 学 的 一 大 发 明 在 数 学 上 ， “0”的 意 义 是 多 方 面 的 ， 它 既 表 示 “无 ”的 概 念 ， 又 表 示 位 值 记 数 中 的 空 位 ， 而 且 是 数域 中 的 一 个 基 本 元 素 ， 可 以 与 其 他 数 一 起 运 算 “0”作 为 记 数

11、法 中 的 空 位 ， 在 位值 制 记 数 的 文 明 中 不 可 缺 少 ， 只 不 过 不 同 的 文 明 采 取 了 不 同 的 表 示 方 法 早 期 巴 比 伦楔 形 文 书 和 宋 元 以 前 的 中 国 筹 算 记 数 法 ， 都 是 留 出 空 位 而 没 有 符 号 后 来 (公 元 前3世 纪 )巴 比 伦 人 引 进 了 一 个 专 门 记 号 表 示 空 位 ， 玛 雅 20进 制 记 数 中 也 有 表 示 空 位 的零 号 (形 状 像 一 只 贝 壳 或 眼 睛 )， 但 无 论 是 巴 比 伦 还 是 玛 雅 的 零 号 都 仅 仅 用 来 表 示 空位 而

12、没 有 其 他 功 能 ， 更 不 被 看 作 是 一 个 单 独 的 数 印 度 人 起 初 也 是 用 空 位 表 示 零 ， 后记 成 点 号 ， 最 后 发 展 为 圈 号 到 公 元 11世 纪 ， 包 括 有 零 号 的 印 度 数 码 和 十 进 位 值 记数 法 臻 于 成 熟 ， 特 别 是 印 度 人 不 仅 把 “0”看 作 记 数 法 中 的 空 位 ， 而 且 也 视 其 为 可施 行 运 算 的 一 个 特 殊 的 数 婆 罗 摩 笈 多 、 马 哈 维 拉 和 婆 什 迦 罗 的 著 作 中 都 有 关 于 零 的运 算 的 记 述 印 度 数 码 在 公 元 8

13、世 纪 传 入 阿 拉 伯 国 家 ， 后 又 通 过 阿 拉 伯 人 传 至 欧 洲 零 号 的 传播 则 要 晚 ， 不 过 至 迟 在 13世 纪 初 ， 斐 波 那 契 算 经 中 已 有 包 括 零 号 在 内 的 完 整印 度 数 码 的 介 绍 印 度 数 码 和 十 进 位 值 制 记 数 法 被 欧 洲 人 普 遍 接 受 之 后 ， 在 欧 洲 近 代科 学 的 进 步 中 扮 演 了 重 要 的 角 色 当 然 关 于 印 度 零 号 的 来 源 ， 学 术 界 尚 在 探 讨 ， 但 无论 如 何 ， 零 号 的 发 明 是 对 世 界 文 明 的 杰 出 贡 献 4.

14、1.3“悉 檀 多 时 期 的 印 度 数 学 ”悉 檀 多 (梵 文 siddhanta， 原 为 佛 教 因 明 术 语 ， 可 意 译 为 “宗 ”， 或 “体 系 ”)时 代 是 印 度 数 学 的 繁 荣 鼎 盛 时 期 ， 其 数 学 内 容 主 要 是 算 术 与 代 数 ， 出 现 了 一 些 著 名的 数 学 家 ， 如 阿 利 耶 波 多 (Aryabhata ， 476一 约 550)、 婆 罗 摩 笈 多(Brahmagupta， 598665)、 马 哈 维 拉 (Mahavira， 9世 纪 )和 婆 什 迦 罗(Bhaskara ， 1114一 约 1185)等

15、（ 一 ） 阿 耶 波 多阿 耶 波 多 是 现 今 所 知 有 确 切 生 年 的 最 早 的 印 度 数 学 家 ， 他 只 有 一 本 天 文 数 学 著作 阿 耶 波 多 历 数 书 (499)传 世 该 书 最 突 出 的 地 方 在 于 对 希 腊 三 角 学 的 改 进 和一 次 不 定 方 程 的 解 法 。 阿 耶 波 多 把 半 弦 与 全 弦 所 对 弧 的 一 半 相 对 应 (见 图 )3成 为 今 天 的 习 惯 ， 同 时 他 以 半 径 的 作 为 度 量 弧 的 单 位 ， 实 际 是 弧 度 制 度 量 的3481开 始 他 还 给 出 了 第 一 象 限

16、内 间 隔 为 345的 正 弦 差 值 表 印 度 第 个 正 弦 表 是 在年 代 距 阿 耶 波 多 不 远 的 天 文 著 作 苏 利 耶 历 数 全 书 (Srya Siddhnta,佚 名 ， 约5世 纪 )中 出 现 的 阿 耶 波 多 最 大 贡 献 是 建 立 了 丢 番 图 方 程 求 解 的 所 谓 “库 塔 卡 ”(kuttaka， 原意 “粉 碎 ”)方 法 ， 采 用 辗 转 相 除 法 的 演 算 程 序 ， 接 近 于 连 分 数 算 法 (二 )婆 罗 摩 笈 多婆 罗 摩 笈 多 的 两 部 天 文 著 作 婆 罗 摩 修 正 体 系 (628)和 肯 德

17、卡 迪 亚 格 (约 665)， 都 含 有 大 量 的 数 学 内 容 ， 其 代 数 成 就 十 分 可 贵 他 已 明 确 把 0作 为 一 个数 来 处 理 ， 婆 罗 摩 修 正 体 系 中 比 较 完 整 地 叙 述 了 零 的 运 算 法 则 ： “负 数 减 去零 是 负 数 ； 正 数 减 去 零 是 正 数 ； 零 减 去 零 什 么 也 没 有 ； 零 乘 负 数 、 正 数 或 零 都 是零 零 除 以 零 是 空 无 一 物 ， 正 数 或 负 数 除 以 零 是 一 个 以 零 为 分 母 的 分 数 ” 最 后 这 句 话 是 印 度 人 提 出 以 零 为 除

18、数 问 题 的 最 早 记 录 婆 罗 摩 笈 多 将 零 作 为 一 个 数进 行 运 算 的 思 想 ， 被 后 来 的 印 度 数 学 家 所 追 随 ， 9世 纪 马 哈 维 拉 和 施 里 德 哈 勒 都 接受 了 这 一 传 统 婆 罗 摩 笈 多 对 负 数 也 有 明 确 的 认 识 ， 提 出 了 正 负 数 的 乘 除 法 则 他 曾利 用 色 彩 名 称 来 作 为 未 知 数 的 符 号 ， 并 给 出 二 次 方 程 的 求 根 公 式 婆 罗 摩 笈 多 最 突 出的 贡 献 是 给 出 今 天 所 谓 佩 尔 (Pell)方 程 (a是 非 平 方 数 )的 一

19、种 特 殊 解221yax法 ， 名 为 “瓦 格 布 拉 蒂 ” 婆 罗 摩 笈 多 在 肯 德 卡 迪 亚 格 中 利 用 二 次 插 值 法 构 造 了 间 隔 为 15的 正 弦函 数 表 ， 给 出 下 面 的 插 值 公 式 ： )sin(2)sin(i2sin)sin( hxhxxh (其 中 与 分 别 表 示 一 、 二 阶 差 分 )， 婆15h)(,r,21罗 摩 笈 多 在 几 何 方 面 的 杰 出 成 果 是 获 得 了 边 长 为 的 四 边 形 的 面 积 公 式 ：dcba,.)(dpcbpaS /(p实 际 上 ， 这 一 公 式 仅 适 合 于 圆 内 接

20、 四 边 形 ， 婆 罗 摩 笈 多 并 未 认 识 到 这 一 点 后 来马 哈 维 拉 由 这 一 公 式 出 发 ， 将 三 角 形 视 为 有 一 边 为 0的 四 边 形 ， 从 而 获 得 海 伦 公式 12世 纪 的 婆 什 迦 罗 曾 经 对 婆 罗 摩 笈 多 的 四 边 形 公 式 提 出 过 质 疑 (三 )马 哈 维 拉7世 纪 以 后 ， 印 度 数 学 出 现 了 沉 寂 ， 到 9世 纪 才 又 呈 现 出 繁 荣 如 果 说 7世 纪以 前 印 度 的 数 学 成 就 总 是 与 天 文 学 交 织 在 一 起 ， 那 么 9世 纪 以 后 发 生 了 改 变

21、耆 那教 徒 马 哈 维 拉 的 计 算 方 法 纲 要 (The Ganita-Sra-Sangraha)可 以 说 是 一 部 系统 的 数 学 专 著 ， 全 书 有 9个 部 分 ： (1)算 术 术 语 ， (2)算 术 运 算 ， (3)分 数 运 算 ， (4)各种 计 算 问 题 ， (5)三 率 法 (即 比 例 )问 题 ， (6)混 合 运 算 ， (7)面 积 计 算 ， (8)土 方 工程 计 算 ， (9)测 影 计 算 基 本 是 对 以 往 数 学 内 容 的 总 结 和 推 广 ， 书 中 给 出 了 一 般 性 的组 合 数 公 式 ， 而 且 给 出 椭

22、圆 周 长 近 似 公 式 ： 因 其 有 很 多 问 题knC .1642bC和 方 法 与 中 国 九 章 算 术 相 同 或 相 近 ， 从 而 有 人 认 为 他 受 到 过 九 章 算 术 或中 国 其 他 算 书 的 影 响 。与 马 哈 维 拉 同 时 代 的 施 里 德 哈 勒 (Sridhara， 9世 纪 )撰 写 的 计 算 概 要 (Ganita-Sara)也 是 一 本 日 用 数 学 著 作 ， 内 容 基 本 与 马 哈 维 拉 的 计 算 方 法 纲 要 一 致 (四 )婆 什 迦 罗婆 什 迦 罗 是 印 度 古 代 和 中 世 纪 最 伟 大 的 数 学 家

23、 和 天 文 学 家 ， 长 期 在 乌 贾 因 负 责 天文 台 工 作 他 有 两 本 代 表 印 度 古 代 数 学 最 高 水 平 的 著 作 莉 拉 沃 蒂 (Llvat)和 算 法 本 源 ， 天 文 著 作 有 天 球 和 天 文 系 统 之 冠 关 于 莉 拉 沃 蒂 书 名 ， 有 一 个 美 丽 动 人 的 传 说 ： 莉 拉 沃 蒂 是 婆 什 迦 罗 女 儿 的 名 字 (Llvat， 原意 是 “美 丽 ”)， 占 星 家 预 言 她 终 身 不 能 结 婚 也 是 占 星 家 的 婆 什 迦 罗 为 女 儿 预 占 吉日 ， 他 把 一 个 底 部 有 孔 的 杯

24、子 放 入 水 中 ， 让 水 从 孔 中 慢 慢 渗 入 ， 杯 子 沉 没 之 时 ， 也就 是 他 女 儿 的 吉 日 来 临 之 际 女 儿 带 着 好 奇 观 看 这 只 待 沉 的 杯 子 ， 不 想 颈 项 上 一 颗 珍珠 落 入 杯 中 ， 正 好 堵 塞 了 漏 水 的 小 孔 ， 杯 子 停 止 了 继 续 下 沉 ， 这 样 注 定 莉 拉 沃 蒂 永 不能 出 嫁 婆 什 迦 罗 为 了 安 慰 女 儿 ， 把 他 所 写 的 算 书 以 她 的 名 字 命 名 ， 以 使 她 的 名 字 随同 这 本 书 一 起 流 芳 百 世 该 书 后 来 在 莫 卧 儿 帝

25、国 的 帝 王 阿 克 巴 (Akbar， 15561605在 位 )的 授 意 下 ， 由 菲 济 (Fyzi)译 成 波 斯 文 这 个 传 说 来 源 于 菲 济 的 记 载 莉 拉 沃 蒂 共 有 13章 ： 第 1章 给 出 算 学 中 的 名 词 术 语 ； 第 2章 是 关 于 整 数 、 分数 的 运 算 ， 包 括 加 、 减 、 乘 、 除 、 平 方 、 开 平 方 、 立 方 、 开 立 方 等 ； 第 3章 论 各 种计 算 法 则 和 技 巧 ； 第 4章 关 于 利 率 等 方 面 的 应 用 题 ； 第 5 章 数 列 计 算 问 题 ， 主 要 是等 差 数

26、列 和 等 比 数 列 ； 第 6章 关 于 平 面 图 形 的 度 量 计 算 ； 第 7至 10章 关 于 立 体 几 何的 度 量 计 算 ； 第 11章 为 测 量 问 题 ； 第 12章 是 代 数 问 题 ， 包 括 不 定 方 程 ； 第 13章 是一 些 组 合 问 题 该 书 中 很 多 数 学 问 题 是 用 歌 谣 的 形 式 给 出 算 法 本 源 则 主 要是 算 术 和 代 数 著 作 ， 其 中 包 括 有 零 的 运 算 法 则 的 完 整 论 述 ， 特 别 是 对 零 作 除 数 的 问 题给 出 了 有 意 义 的 解 释 ， 认 为 分 母 为 零 的

27、分 数 “表 示 一 个 无 限 大 量 ”婆 什 迦 罗 和 其 他 印 度 数 学 家 一 样 ， 对 不 定 方 程 持 有 特 别 的 兴 趣 ， 除 对 “库 塔卡 ”问 题 外 ， 他 把 婆 罗 摩 笈 多 关 于 佩 尔 方 程 的 特 殊 解 法 改 造 成 一 般 性 的 解 法 。婆 什 迦 罗 能 够 熟 地 使 用 诸 如 和 差 与 半 角 等 三 角 公 式 ， 在 解 二 次 方 程 中 能 够 认 识 并广 泛 使 用 无 理 数 ， 讨 论 了 形 如 和 的 无 理 数 的 平 方 根 badc由 于 印 度 屡 被 其 他 民 族 征 服 ， 使 印 度

28、 古 代 天 文 数 学 受 外 来 文 化 影 响 较 深 ， 除 希 腊天 文 数 学 外 ， 也 不 排 除 中 国 文 化 的 影 响 ， 然 而 印 度 数 学 始 终 保 持 东 方 数 学 以 计 算 为 中心 的 实 用 化 特 点 。 与 算 术 和 代 数 相 比 ， 印 度 人 在 几 何 方 面 的 工 作 则 显 得 薄 弱 4.2 阿 拉 伯 数 学“阿 拉 伯 数 学 ”并 非 单 指 阿 拉 伯 国 家 的 数 学 ， 而 是 指 815世 纪 阿 拉 伯 帝 国 统治 下 整 个 中 亚 和 西 亚 地 区 的 数 学 ， 包 括 希 腊 人 、 波 斯 人

29、和 基 督 徒 等 所 写 的 阿 拉 伯 文 数学 著 作 穆 斯 林 在 穆 罕 默 德 (Mohammed)的 鼓 舞 下 ， 在 他 死 后 (632)不 到 半 个 世 纪 的 时 间内 征 服 了 从 印 度 到 西 班 牙 ， 乃 至 北 非 和 南 意 大 利 的 大 片 土 地 ， 到 7世 纪 初 ， 阿 拉 伯半 岛 基 本 统 一 。 755年 阿 拉 伯 帝 国 分 裂 为 两 个 独 立 王 国 东 部 王 国 阿 拔 斯 王 朝 ，762年 迁 都 巴 格 达 西 部 王 国 ， 则 定 都 西 班 牙 的 哥 尔 多 华 。 909年 ， 在 北 非 突 尼 斯

30、又 建 立 一 个 新 的 哈 里 发 国 家 （ 哈 里 发 ， 阿 拉 伯 语 音 译 词 。 继 承 人 。 特 指 伊 斯 兰 教 创 立人 穆 罕 默 德 的 继 承 人 。 中 世 纪 政 教 合 一 的 阿 拉 伯 国 家 和 奥 斯 曼 帝 国 的 国 家 元 首 也 称 哈里 发 ） ， 973年 迁 都 埃 及 开 罗 在 世 界 文 明 史 上 ， 阿 拉 伯 人 在 保 存 和 传 播 希 腊 、 印 度 甚 至 中 国 的 文 化 ， 最 终 为 近代 欧 洲 的 文 艺 复 兴 准 备 学 术 前 提 方 面 作 出 了 巨 大 贡 献 阿 拉 伯 建 国 后 ，

31、东 西 两 个 帝 国的 哈 里 发 都 十 分 重 视 科 学 与 艺 术 事 业 ， 他 们 曾 经 从 拜 占 庭 帝 国 收 买 大 量 希 腊 人 手 稿 ，他 们 还 邀 请 各 地 科 学 家 到 他 们 的 首 都 从 事 科 学 研 究 ， 巴 格 达 成 为 当 时 的 科 学 文 化 中 心 ，阿 拔 斯 王 朝 在 那 里 设 立 的 “智 慧 宫 ”， 吸 引 了 大 批 学 者 ， 他 们 掀 起 了 著 名 的 翻 译 运5动 在 曼 苏 尔 哈 里 发 时 期 ， 婆 罗 摩 笈 多 等 印 度 天 算 家 的 著 作 在 766年 左 右 已 传 入 巴格 达

32、 ， 并 译 成 阿 拉 伯 文 ， 8世 纪 末 到 9世 纪 初 的 兰 希 哈 里 发 时 期 ， 包 括 几 何 原 本 和 大 汇 编 在 内 的 希 腊 天 文 数 学 经 典 先 后 被 译 成 阿 拉 伯 文 9世 纪 最 著 名 翻 译 家伊 本 科 拉 (Tabit ibn Qorra， 836901)翻 译 了 欧 几 里 得 、 阿 波 罗 尼 奥 斯 、 阿 基米 德 、 托 勒 玫 、 狄 奥 多 修 斯 等 人 的 著 作 到 10世 纪 丢 番 图 、 海 伦 等 人 著 作 也 被 译 成阿 拉 伯 文 ， 阿 拉 伯 学 者 们 在 广 泛 吸 收 古 希

33、腊 、 印 度 与 中 国 的 数 学 成 果 的 基 础 上 ， 也 加上 了 他 们 自 己 的 创 造 ， 使 阿 拉 伯 数 学 取 得 了 对 文 艺 复 兴 以 后 欧 洲 数 学 的 进 步 有 深 刻 影响 的 发 展 4.2.1 阿 拉 伯 的 代 数(一 )花 拉 子 米 (代 数 学 )阿 拉 伯 数 学 的 突 出 成 就 首 先 表 现 在 代 数 学 方 面 花 拉 子 米 (Mohammed ibn Ms-Khowarizmi， 约 783-850)是 中 世 纪 对 欧 洲 数 学 影 响 最 大 的 阿 拉 伯 数 学 家 ， 他的 还 原 与 对 消 计 算

34、 概 要 (约 820年 前 后 )一 书 在 12世 纪 被 译 成 拉 丁 文 ， 在 欧 洲 产生 巨 大 影 响 阿 拉 伯 语 “al-jabr”， 意 为 还 原 移 项 ； “wal-muqabala”即 对 消 之意 传 入 欧 洲 后 ， 到 14世 纪 “al-jabr”演 变 为 拉 丁 语 “algebra”， 也 就 成 了 今天 的 英 文 “algebra”(代 数 )， 因 此 花 拉 子 米 的 上 述 著 作 通 常 就 称 为 代 数 学 代 数 学 所 讨 论 的 数 学 问 题 本 身 大 都 比 丢 番 图 和 印 度 人 的 问 题 简 单 ， 但

35、 它 探讨 一 般 性 解 法 ， 因 而 远 比 丢 番 图 的 著 作 接 近 于 近 代 初 等 代 数 。 书 中 用 代 数 方 式 处 理 了线 性 方 程 组 与 二 次 方 程 ， 第 一 次 给 出 了 一 元 二 次 方 程 的 一 般 代 数 解 法 及 几 何 证 明 ， 同时 又 引 进 了 移 项 、 同 类 项 合 并 等 代 数 运 算 等 等 ， 这 一 切 为 作 为 “解 方 程 的 科 学 ”的 代 数 学 开 拓 了 道 路 代 数 学 约 1140年 被 英 国 人 罗 伯 特 (Robert of Chester)译成 拉 丁 文 ， 作 为 标

36、准 的 数 学 课 本 在 欧 洲 使 用 了 数 百 年 ， 引 导 了 16世 纪 意 大 利 代 数方 程 求 解 方 面 的 突 破 . 代 数 学 首 先 指 出 ， 该 书 的 数 学 问 题 都 是 由 根 (x)、 平 方 ( )和 数 (常 数 )2这 三 者 组 成 接 着 分 六 章 叙 述 6种 类 型 的 一 、 二 次 方 程 求 解 问 题 第 1章 讨 论 “平方 等 于 根 ”的 方 程 ， 即 型 方 程 ； 第 2章 讨 论 “平 方 等 于 数 ”的 方 程 ， 即bxa2型 方 程 ； 第 3章 讨 论 “根 等 于 数 ”的 方 程 ， 即 一 次

37、方 程 ； 第 4、 5、 6bax2 ba章 是 关 于 三 项 二 次 方 程 求 解 问 题 ， 分 别 讨 论 三 种 类 型 的 二 次 方 程 ：qpxqp222,都 给 出 了 相 应 的 求 根 公 式 这 六 种 方 程 的 系 数 都 是 正 数 ， 可 统 一 为 以 下 一 般 形 式.0x这 样 ， 花 拉 子 米 相 当 于 获 得 一 般 的 求 根 公 式 .2qp每 一 问 题 求 出 正 根 x后 ， 花 拉 子 米 又 求 出 根 的 平 方 。 他 明 确 指 出 ， 二 次 方2x程 可 能 有 两 个 正 根 ， 也 可 能 有 负 根 ， 但 他

38、不 取 负 根 与 零 根 在 以 上 六 章 内 容 之 后 ， 花 拉 子 米 又 以 几 何 方 式 证 明 上 述 各 种 解 法 的 合 理 性 。 花 拉 子 米 还 指 出 ， 任 何 二 次 方 程 都 可 以 通 过 “还 原 ”与 “对 消 ”(即 移 项 与合 并 同 类 项 )的 步 骤 化 成 他 所 讨 论 的 六 种 类 型 方 程 由 此 可 见 ， 代 数 学 关于 方 程 的 讨 论 已 超 越 传 统 的 算 术 方 式 ， 具 有 明 显 的 代 数 特 征 ， 不 过 ， 在 使 用 代 数 符号 方 面 ， 相 对 丢 番 图 和 印 度 人 的 工

39、 作 有 了 退 步 ， 花 拉 子 米 用 几 何 方 式 证 明 代 数 解 法的 传 统 被 阿 拉 伯 其 他 数 学 家 所 继 承 这 种 几 何 证 明 方 式 的 来 源 今 天 尚 不 清 楚 ， 它 似乎 来 源 于 希 腊 人 的 传 统 ， 但 更 接 近 于 中 国 古 代 的 “出 入 相 补 ”特 别 是 宋 元 数 学中 的 “条 段 法 ”。花 拉 子 米 的 另 一 本 书 印 度 计 算 法 (Algoritmi de numero indorum)也是 数 学 史 上 十 分 有 价 值 的 数 学 著 作 ， 其 中 系 统 介 绍 了 印 度 数 码

40、 和 十 进 制 记 数 法 ， 以及 相 应 的 计 算 方 法 尽 管 在 8世 纪 印 度 数 码 和 记 数 法 随 印 度 天 文 表 传 入 阿 拉 伯 ， 但并 未 引 起 人 们 的 广 泛 注 意 ， 正 是 花 拉 子 米 的 这 本 书 使 它 们 在 阿 拉 伯 世 界 流 行 起 来 ，更 值 得 称 道 的 是 ， 它 后 来 被 译 成 拉 丁 文 在 欧 洲 传 播 ， 所 以 欧 洲 一 直 称 这 种 数 码 为 阿拉 伯 数 码 该 书 书 名 全 译 应 为 “花 拉 子 米 的 印 度 计 算 法 ”， 其 中 Algoritmi是 花 拉 子 米 的

41、拉 丁 译 名 ， 现 代 术 语 “算 法 ”(Algorithm)即 源 于 此 花 拉 子 米 的 数 学 工 作 为 艾 布 卡 米 勒 (Abu Kamil， 约 850930)所 继 承 ， 此 人被 称 作 “埃 及 的 计 算 家 ”， 可 能 是 埃 及 人 他 的 计 算 技 巧 珍 本 的 传 播 和 影 响 仅次 于 花 拉 子 米 的 代 数 学 ， 许 多 数 学 问 题 也 采 自 于 花 拉 子 米 的 书 ， 他 把 埃 及 、 巴比 伦 式 的 实 用 代 数 与 希 腊 式 理 论 几 何 结 合 起 来 ， 常 常 用 几 何 图 示 法 证 明 代 数

42、 解 法 的 合理 性 其 另 一 著 作 论 五 边 形 和 十 边 形 包 括 几 何 和 代 数 两 方 面 的 内 容 ， 关 于 四 次方 程 解 法 和 处 理 无 理 系 数 二 次 方 程 是 其 主 要 特 色 。（ 三 ） 奥 马 海 亚 姆 与 三 次 方 程波 斯 人 奥 马 海 亚 姆 (Omar Khayyam， 1048?1131)是 11世 纪 最 著 名 且 最 富 成就 的 数 学 家 、 天 文 学 家 和 诗 人 ， 他 曾 得 到 塞 尔 柱 统 治 者 马 利 克 沙 (Malik-shah， 10551092)的 重 用 ， 受 命 在 伊 斯 法

43、 罕 (今 伊 朗 境 内 )天 文 台 负 责 历 法 改 革 工作 ， 制 定 了 精 密 的 哲 拉 里 历 他 在 代 数 学 方 面 的 成 就 集 中 反 映 于 他 的 还 原 与 对消 问 题 的 论 证 (简 称 代 数 学 )一 书 中 ， 其 中 有 开 平 方 、 开 立 方 算 法 ， 但 该 书 对代 数 学 发 展 最 杰 出 的 贡 献 是 用 圆 锥 曲 线 解 三 次 方 程 希 腊 人 门 奈 赫 莫 斯 (Menaechmus， 约 公 元 前 360)为 解 决 倍 立 方 体 问 题 而 发 现 了圆 锥 曲 线 ， 实 际 上 它 与 三 次 方

44、程 相 联 系 阿 基 米 德 在 解 用 平 面 截 球 ， 使 所23x截 得 的 两 部 分 体 积 比 为 定 值 的 问 题 时 ， 导 致 一 个 三 次 方 程 ： 他 利.)(22bcxa用 两 条 圆 锥 曲 线 和 的 交 点 来 求 解 阿 基 米 德 的 传 统 启 发 了 阿by)(y拉 伯 数 学 家 ， 一 些 人 也 采 取 这 种 方 式 解 三 次 代 数 方 程 奥 马 海 亚 姆 首 先 将 不 高 于三 次 的 代 数 方 程 分 为 25类 (系 数 为 正 数 )， 找 到 14类 三 次 方 程 ， 对 每 类 三 次 方 程 给 出相 应 一

45、种 几 何 解 法 。 例 如 解 ， 首 先 将 其 化 为 (这 里ax3 dcx23， 按 照 希 腊 人 的 数 学 传 统 ， 是 线 段 ， 正 方 形 ， 为 长 方 体 )，bdca2, b,2方 程 的 解 就 是 抛 物 线 与 半 圆 交 点 横 坐 标 x 他x23cy2 )(首 先 画 出 正 焦 弦 为 c的 抛 物 线 ， 再 画 出 直 径 为 d的 半 圆 (如 图 )过 它 们 的 交 点 作 垂 线 PS， 则 QS长 度 就 是 方 程 的 解 这 一 创 造 ， 使 代 数 与 几 何 的 联 系更 加 密 切 可 惜 在 1851年 以 前 ， 欧

46、洲 人 并 不 了 解 奥 马 海 亚 姆 的 这 种 解 析 几 何 方法 在 求 高 次 方 程 的 数 值 解 上 ， 晚 期 的 纳 西 尔 丁 (Nasir-Eddin， 12011274)和 阿 尔 卡 西 (A1-Kashi， ?一 1429)都 给 出 了 开 高 次 方 的 一 般 性 算 法 阿 尔 卡西 是 蒙 古 帖 木 儿 时 代 撤 马 尔 罕 天 文 台 负 责 人 ， 他 在 算 术 之 钥 中 还 给 出 了 用 于开 方 的 二 项 式 系 数 表 ， 与 11世 纪 中 国 贾 宪 的 “开 方 作 法 本 源 图 ”十 分 相 似 算术 之 钥 中 还

47、有 “契 丹 算 法 ”(即 盈 不 足 术 ， 当 时 的 历 史 学 家 称 中 国 为 契 丹 al-Khataayn)和 “百 鸡 问 题 ”， 后 来 传 入 欧 洲 阿 拉 伯 人 代 数 学 的 确 切 来 源 并 不 清 楚 ，除 印 度 、 亚 历 山 大 里 亚 的 希 腊 数 学 外 ， 应 当 还 有 中 国 数 学 的 影 响 在 使 用 数 学 符 号 方 面 ， 与 丢 番 图 相 比 阿 拉 伯 人 退 步 了 ， 阿 拉 伯 数 学 家 没 有 继 承丢 番 图 的 做 法 ， 始 终 用 语 言 叙 述 他 们 的 解 法 74.2.2 阿 拉 伯 的 三

48、角 学 与 几 何 学由 于 数 理 天 文 学 的 需 要 ， 阿 拉 伯 人 继 承 并 推 进 了 希 腊 的 三 角 术 ， 其 学 术 主 要 来源 于 印 度 的 苏 利 耶 历 数 全 书 等 天 文 历 表 ， 以 及 希 腊 托 勒 玫 的 大 汇 编 、 梅尼 劳 斯 的 球 面 论 (Sphaerica)等 古 典 著 作 由 于 天 文 计 算 的 需 要 ， 阿 拉 伯 天 文 学 家 都 致 力 于 高 精 度 三 角 函 数 表 的 编制 9世 纪 的 海 拜 什 哈 西 卜 (Al-Hasib， 764?870?)在 印 度 人 的 基 础 上 制 定 间 隔为 15， 的 60进 制 正 弦 表 ， 并 且 还 编 制 了 间 隔 为 1 的 正 切 表 艾 布 瓦 法 (Abul-Wafa,940-997?)在 哈 西 卜 的 基 础 上 又 进 一 步 编 制 出 间 隔 为 10的