1、2007-2008 高等数学下册期中考试试卷姓名： 班级： 成绩单号： 一、填空题（ ）451、4 分 与直线 及 都平行，且过原点的平面方程121zyx2xyt为 0xyz2、4 分 设 可微，则 各为,sin,arctn,fuvxyvyfuv,zxy211cos,fyfxfy3、4 分 设 ，则2xyue2u21xye4、4 分 设函数 在点 的所有方向导数中，最大的方向导xyz,0数是沿方向 1,405、4 分 曲面 在点 处的切平面方程为 ，1xyz3,2520xyz法线方程为 315二、（8 分）设 ，求 arctnxyz1,3dz解： ，221ydxyz1,324xyz三、（8 分
2、）设 具有连续的偏导数，且 ，方程 确定(,)fst 2(,)0fst(,)0yzfx了 是 的函数，试求z,xyzxy解： ，解出1220ddzffxx121fzdxfyd从而 zyzx四、8 分 求函数 在点 的梯度及沿梯度方向上函223uxyz01,2M数的方向导数解： ，则沿梯度方向上函数的方向导0,gradxyzgradu数为 0213Mu五、8 分 设直线 在平面 上，而平面 与曲面0:xybLaz相切于点 ，求 之值。2zxy1,25,a解： 由曲面得切平面法向量 1,25,41xy从而有切平面方程为 240z由直线 得：0:3xybLaz 3,(1)311yxbxbzyaza从
3、而 ；241,5sn 24050,2六、 8 分 计算二重积分 ，其中max,1Dyd:,Dxy解： 用 将区域划分为两个1xy12 2max, 1(1)DDDydxydxydxy2 1234()44lnx七、8 分 计算222010x xdydyd解：由积分限作出区域图，由图知化为极坐标计算容易原式2420 2cosDxydrdr八、8 分 计算 ，其中 为平面曲线 绕 z 轴旋转一2Ixyv20yx周的曲面与平面 所围的区域。8z解：由交线 知在 xoy 面上的投影域为2xyz 2:16Dxy用柱坐标计算 224801043rIdz九、 8 分 设由曲面 与 所围成的立体中每点的密度与2z
4、xy2zxy该点到 xoy 平面距离成正比，试求该立体的质量 M解：由交线 知在 xoy 面上的投影域为22zxy 2:1Dxy用柱坐标计算 221034rIzdvzd十、计算 ，其中22357xyxy22:0Rxy解：令 ，由对称性221:zR原式= 1 122 22357357xyzdxyxyzdx 225005sinRdrrR十一、 8 分 在曲线 上求一点 ，使曲面上过点的1xyz00,Mxyz切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积为最大解：令 00000111,/,122Fxyzn xyzxyzxyz 从而切平面为 ，四面体的体积为00zy006V问题等价为 在 条件下的最大值,fx
5、z10xyz令 ,Ly则由 推出，0,0,0222xyzzLxzLxyzxyz由约束条件 知1z19z由问题的实际意义与驻点的惟一性知， 就是我们要求的点。,十二、 附加题 5 分 计算积分 ，式中曲线 是 在2CxydsC2yax上的一段弧。02xa解：曲线 可以表示为C1cos,in,0xatyat222 220 021cos0sincoscos4C txydsatattdada 十三、 附加题 5 分 计算积分 ，其中 是球面 被锥面1dSz22xyzR所截的部分22Rxyz解：由交线 知曲面在 xoy 面上的投影域为22zxy 22:RDxy22222222,xy dzRzzSRRxyxy22222011 lnDdxdSdrdRzxyy 十四、 附加题 10 分 计算积分 ，其中 是抛物面3xyzS被平面 所截下的有限部分2zxy2z解：由交线 知曲面在 xoy 面上的投影域为2z 2:4Dxy2 22,11xyxyzzdSzdxyd由对称性知 3222zzSxyzS2222 20 0541131DxydSxyxydrdr
