1、第四讲4.4 二阶常系数线性方程与振动现象(4 学时)教学目的: 本节主要讨论二阶常系数线性方程与振动问题.教学要求: 了解二阶常系数线性方程与振动现象 .教学重点: 二阶常系数线性方程的各种振动问题 .教学难点: 振动现象的物理背景的理解教学方法: 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。教学手段: 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。教学过程:本节主要是具体求解在 4.1 节提出的，描述弹簧振动的方程(4.1)2()dxmcftt并且研究其解的物理意义.如果 ，即假定没有外力 ，这时得到方程()0ft()ft(4.1)20dxmct而称弹簧的振动为阻尼自由振动.如果 且 ，即假定没有外
2、力且忽略阻力，这时得到方程()0ft(4.1)20dxmc而称弹簧的振动为无阻尼自由振动或简谐运动. 下面我们分别求解方程(4.1)， 以及 ，并阐明在各种情况下解的物理意(4.1)(.)义。4.4.1 简谐振动无阻尼自由振动.令 , 方程 变为2ckm(4.1)20dxk这是一个二阶常系数齐次方程。特征方程为 ，特征根是 ，它的通20k1,2ik解为 12cosinxCktt其中 是任意常数.12,C为了阐明上式的物理意义，像三角学中常做的那样，我们把上式改写成如下形式： 212121cossinCCxktkt 或记为(4.46)sin()xAkt其中 212121,sin,cosCCCA由
3、此可见，物体在平衡位置附近作简谐振动(图 4-3)图 4-3量 A 称为振幅，幅角 称为振动的位相(或简称位相)，位相在 t = 0 时所取之kt值，即 ，称为初位相， 是固有振动频率， 为周期. 易见，cm2mTkck 仅与弹簧的刚度和物体的质量有关.因为 ，则周期还可以表为 .ApmgcA2Tg将(4.50)对 t 微分，可以得物体运动的速度 cos()dxvktt为了确定振幅及初位相，必须给出初始条件.例如，假设在初始时刻 t = 0 时，物体的位置是 x = x0，速度是 v = v0.这时有x0 = Asin , v0 = Akcos从而 200,arctnvkxAxkv4.4.2
4、阻尼自由振动如果令 ，则方程(4.1)2,cknm(4.47)220dxkxtt的形式.它是一个二阶常系数线性齐次方程.它的特征方程是 ，特征根220nk是(4.48)21,2nk现在分三种情况讨论.(1) n2k 20，这时对应于介质阻尼相对不太大的情形. 如果令 ，则(4.48)为221kn1,21nik的形式. 这时，方程(4.47) 的通解为121(cosin)ntxeCktt用类似(4.46)的方法可将它化为（4.49）1sin()txAek如果初始条件为：当 t = 0 时 x = x0, v v0.为了确定出相应的 A 及 ，先来计算111cos()sin()nt tdvkeek
5、t将 t=0 代入 x 及 v 的表达式中，可得x0A sin ， 01cosinvAk把第二个方程的两端除以第一个方程相应的两端，得 01cotvknx从而 ，于是 0101cot,tanvxkvx10arctnkvx因为 101022220tansi1()()kxvnkxvn则 221000()sinkxvnA(4.49)式表明，这时所发生的是阻尼振动，实际上，振幅 Ae-nt 是时间 t 的递减函数，且当 t +时， Ae-nt 0(图 4-4).图 4-4振动的“周期”由式子 21Tkn振动频率 较简谐振动的频率要小( )，它也与物体的初始状态无21kn1k关.(2) n2k 2 = 0,这时通解为(4.50)12()ntxeCt此时运动不具振动性质，且当 t +时，x 0(图 4-5).图 4-5(3) n2k 2 0，这时对应于介质阻尼相对较大的情形. 令 n2k 2 =h2，特征根为.1,2()nh因为 hn，故这时两个特征根均为负，通解为 ()()12nhtnhtxCe易见，此时运动不是周期的，因而不具振动性质，且当 t+时，x0.作业： 习题 4.4 page208 1,2,3
