1、二 元 一 次 方 程 组 重 点 难 点本 节 重 点 内 容 是 二 元 一 次 方 程 组 的 概 念 以 及 如 何 用 代 入 法 和 加 减 法 解 二元 一 次 方 程 组 ， 难 点 是 根 据 方 程 的 具 体 形 式 选 择 合 适 的 解 法 。 典 型 例 题 例 1.下 列 各 方 程 中 ， 哪 个 是 二 元 一 次 方 程 ？ （ 1） 8x y=y； （ 2） xy=3； （ 3） 2x y=9； （ 4） 8x-3=2. 分 析 ： 此 题 判 断 的 根 据 是 二 元 一 次 方 程 的 定 义 . 由 于 方 程 （ 2） 中 含 未知 数 的 项
2、xy 的 次 数 是 2， 而 不 是 1， 所 以 xy=3 不 是 二 元 一 次 方 程 ；2x y=9 是 二 元 一 次 方 程 ； 又 因 为 方 程 （ 4） 中 的 不 是 整 式 ， 所 以 =2 也 不 是二 元 一 次 方 程 . 解 ： 方 程 8x y=y， 2x y=9 是 二 元 一 次 方 程 ； xy=3， 8x-3=2 不 是 二元 一 次 方 程 . 评 析 ： 判 定 某 个 方 程 是 不 是 二 元 一 次 方 程 ， 可 先 把 它 化 成 一 般 形 式 ， 再根 据 定 义 进 行 判 断 . 例 2.已 知 -1 是 方 程 组 的 解 ，
3、求 m+n 的 值 . 分 析 ： 因 为 是 方 程 组 的 解 ， 所 以 同 时 满 足 方 程 和 方 程 ， 将 分 别 代入 方 程 和 方 程 ， 可 得 由 和 可 求 出 m、 n 的 值 . 解 ： 因 为 是 方 程 组 的 解 ， 所 以 将 其 代 入 原 方 程 组 中 的 两 个 方 程 仍 成 立 ，即 解 得 所 以 m+n= 1+0= 1. 评 析 ： 应 该 仔 细 体 会 “已 知 方 程 组 的 解 是 ”这 类 已 知 条 件 的 用 法 ，并 加 深 理 解 方 程 组 的 解 的 意 义 . 例 3.写 出 二 元 一 次 方 程 4x+y=20
4、 的 所 有 正 整 数 解 . 分 析 ： 为 了 求 解 方 便 ， 先 将 原 方 程 变 形 为 y=20 4x， 由 于 题 中 所 要 求的 解 限 定 于 “正 整 数 解 ”， 所 以 x 和 y 的 值 都 必 须 是 正 整 数 . 解 ： 将 原 方 程 变 形 ， 得 y=20 4x， 因 为 x、 y 均 为 正 整 数 ， 所 以 x 只能 取 小 于 5 的 正 整 数 . 当 x=1 时 ， y=16； 当 x=2 时 ， y=12； 当 x=3 时 ， y=8； 当 x=4 时 ， y=4. 即 4x+y=20 的 所 有 正 整 数 解 是 ： ， ， ，
5、. 评 析 ： 对 “所 有 正 整 数 解 ”的 含 义 的 理 解 要 注 意 两 点 ： 一 要 正 确 ， 二 要不 重 不 漏 . “正 确 ”的 标 准 是 两 个 未 知 数 的 值 都 必 须 是 正 整 数 ， 且 适 合 此 方程 . 例 4.已 知 5 x+y 3 +（ x 2y） =0， 求 x 和 y 的 值 . 分 析 ： 根 据 绝 对 值 和 平 方 的 意 义 可 知 ， 5 x+y 3 0， （ x 2y） 0， 由 已 知 条 件 5 x+y 3 +（ x 2y） =0 可 得 即 从 而 可 求 出 x 和 y 的 值 . 解 ： 由 题 意 得 即 解
6、 得 . 评 析 ： 非 负 值 相 加 为 零 ， 有 且 只 有 它 们 同 时 为 零 . 例 5.用 代 入 法 解 方 程 组 ： 分 析 ： 选 择 其 中 一 个 方 程 ， 将 其 变 形 成 y=ax+b 或 x=ay+b 的 形 式 ， 代入 另 一 个 方 程 求 解 . 方 程 中 x、 y 系 数 相 对 较 小 ， 考 虑 到 x=3 y， 而y=， 显 然 在 下 面 计 算 中 x=3 y 代 入 方 程 计 算 简 捷 . 解 ： 由 得 ： x=3 y 把 代 入 得 ： 8（ 3 y） +3y+1=0 解 得 ： y=125 将 y=125 代 入 ， 得
7、 ： x= 47 所 以 这 个 方 程 组 的 解 为 评 析 ： 用 代 入 法 解 方 程 组 时 ， （ 1） 选 择 变 形 的 方 程 要 尽 可 能 较 简 单 ，表 示 的 代 数 式 也 应 尽 可 能 简 捷 . （ 2） 要 对 下 面 的 计 算 进 行 预 见 、 估 计 、 以选 择 较 好 的 方 法 . 例 6.用 加 减 消 元 法 解 方 程 组 分 析 ： 题 中 x、 y 系 数 不 相 同 ， 也 不 是 互 为 相 反 数 ； x 的 系 数 为 4 和6， y 的 系 数 为 3 和 4， 它 们 的 最 小 公 倍 数 均 为 12， 都 可 以
8、 变 为 12 或 12， 选 择 消 去 x， 还 是 消 去 y， 其 难 易 程 度 相 当 . 解 ： 3 得 ： 12x+9y=27 2 得 ： 12x 8y=10 得 ： 17y=17， 解 得 y=1 把 y=1 代 入 得 ： x= 所 以 原 方 程 组 的 解 为 评 析 ： 此 题 中 在 选 择 消 去 x， 还 是 消 去 y， 关 键 是 ： （ 1） 看 系 数 是 否有 倍 数 关 系 ， 如 一 个 为 2x， 一 个 为 6x， 可 把 含 2x 的 方 程 乘 以 3； （ 2） 在没 有 倍 数 、 系 数 的 条 件 下 ， 看 x、 y 系 数 的 最 小 公 倍 数 哪 一 个 较 小 ， 通 常 消最 小 公 倍 数 较 小 的 未 知 数 .
