1、2015 年马鞍山市高中毕业班第二次教学质量检测高三理科数学试题本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟考生注意事项：1答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、姓名、班级、座号、准考证号2答第卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号3答第卷时，必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题
2、区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效4考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交第 I 卷（选择题，共 50 分）一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用 2B 铅笔涂黑（1）已知集合 ，则 （ ）10xMMRA. B. x1xC. D. 或 或【答案】D【命题意图】本题考查集合的运算，容易题.（2）设 为虚数单位，则复数 的共轭复数是( )i 2i1A B. C Di 3i53i5【答案】B【命题意图】本题考查复数的概念及运算，容易题.（3）设 是公比为 的等比数列，则“ ”
3、是“ 为递减数列”的（ ）naq01qnaA. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D【命题意图】本题考查等比数列的性质及充要条件，容易题.（4） 的最大值为（ ）(3)6(3)aaA. B. C.D.929323【答案】A【命题意图】本题考查基本不等式，容易题.（5）已知 是圆 上的三点，若 ，则 与 的夹角为（ ）,BCO1()2AOBCAA. B. C. D. 306090120【答案】C【命题意图】本题考平面向量的线性运算与几何意义，容易题.（6）如图，网格纸上正方形小格的边长为 （表示 ） ，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零1
4、cm件由一个底面半径为 ，高为 的圆柱体毛坯切削得到，则零件的体积与原来毛坯体积的3cm6c比值为（ ）A. B. 1027172C. D. 349【答案】B【命题意图】本题考查几何体的三视图和几何体体积的计算，容易题.（7）执行如图所示的程序框图，输出的 的值为（ ）S是开始结束21S5?？i输出 S否1,Si5?i？ 5否是A. B. C. D. 6116【答案】C【命题意图】本题考查对循环结构和条件结构的理解，容易题.（8）定义运算 ，如 已知 ， ，则abeabfcdfcd2403512（ ）sinosiinA. B. C. D. 00101【答案】A【命题意图】本题考查三角函数的有关
5、概念、性质、变换，考查学生利用已有知识解决问题的能力，中等题.（9）已知 分别是双曲线 的左、右焦点，过点 与双曲线的一条渐近线平12F、 21(0,)xyab2F行的直线交双曲线另一条渐近线于点 ，若点 在以线段 为直径的圆内，则双曲线离心率M12的取值范围是（ ）A. B. C. D. (3,)(2,)(3,)(1,)【答案】D【命题意图】本题考查双曲线的方程与性质，中等题.（10）如图所示的图形是由一个半径为 的圆和两个半径为 的半圆组成，它们的圆心分别1是 动点 从 点出发沿着圆弧按 的路线运动（其中12,OPAAOBCADB五点共线） ，记点 运动的路程为 ，设 ， 与 的函数关系为
6、 ，,ABx21|yPyx()yfx则 的大致图象是（ ）()yfx第（6）题图1O2ABCDP第（10）题图A. 91 642Oyx B. xyO 2 4 619C. xyO 2 4 619D. 91 642Oyx【答案】A【命题意图】本题考查三角函数图象和转化与化归的数学思想，中等题第 II 卷（非选择题，共 100 分）二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分请在答题卡上答题（11）已知 是定义在 上周期为 的奇函数，当 时， ，则 ()fxR4(0,2x3()logxf(2015)f【答案】 .3【命题意图】本题考查函数的奇偶性与周期性，容易题.（12）以平面直角
7、坐标系的原点为极点，以 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线x（ 为参数， ）上的点到曲线 的最短距离是 7cosinxyR(cosin)4(,)R【答案】 2【命题意图】本题考查极坐标和参数方程，容易题.（13）已知 ，其中 ，则 532801(1)xaxax 0128,aR 1238aa 【答案】 .【命题意图】本题考查二项式定理，容易题.（14）已知实数 满足 ，则 的取值范围是 ,xy02cosinxy2xy【答案】 .3,【命题意图】本题考查线性规划，中等题. （15）甲、乙、丙三人参加一个掷硬币的游戏，每一局三人各掷硬币一次：当有一人掷得的结果与其他二人不同时，此人就出局且游戏终
8、止；否则就进入下一局，并且按相同的规则继续进行游戏；规定进行第十局时，无论结果如何都终止游戏已知每次掷硬币中正面向上与反面向上的概率都是 ，则下列结论中正确的是 （写出所有正确结论的编号） 12 第一局甲就出局的概率是 ；13 第一局有人出局的概率是 ；2 第三局才有人出局的概率是 ；364 若直到第九局才有人出局，则甲出局的概率是 ；13 该游戏在终止前，至少玩了六局的概率大于 0【答案】. 【命题意图】本题考查概率及其相关知识，较难题.三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（16）(本题满分 12 分) 设函数 ，其中向量 ， (fxab(2c
9、os,3)ax(cos,2in)bx()求函数 的最小正周期和在 上的单调递增区间； 学科网)0() 中，角 的对边分别为 ，且 ，求 的取值范围ABC , ,22aa()fC【命题意图】本题考查平面向量、三角函数等等相关知识，考查学生运算能力和运用知识的能力，容易题.解： () 2)cos3in2si()1,6fxxT函 数 的 最 小 正 周 期由 及22()6kxkZ0,x得 在 0，上单调递增区间为 6 分()f 2,63() ，22abca1os2C9 分03，()2sin()1,6fC由 56max6f当 时 ，当 C= 时，3in()212 分()2,fC（17）(本题满分 12
10、 分) 某程序每运行一次都随机产生一个五位的二进制数 ，其中 的各位数字中，12345AaaA，且 为 0 和 1 的概率分别是 和 记 ，当程序运行一次时：1a(2,345)k 14351i（）求 的概率；（）求 的分布列和数学期望【命题意图】本题考查随机变量的分布列与期望等基础知识，考查学生应用知识解决问题的能力，容易题.解：（）已知 ，要使 ， 只须后四位数字中出现 2 个 0 和 2 个 11a3 5 分224354()()6PC（） 的取值可以是 1，2，3，4，5， 6 分， ， ，04(1)(61342()()56PC2243154()()6PC， ，348)25PC481的分布
11、列是1 2 3 4 5P 25615654261082568126 10 分 12 分140832562E（另解：记 ，则 ， ， ）345aa13(4,)B314E（18） （本小题满分 12 分）如图，三棱锥 中，三条侧棱 两两垂直，且长度均为 ， 分别是 的OABC,OAC4,EF,ABC中点，过 作平面 ，平面 与侧棱 相交于 ，与侧棱 的延长线分别交于点 ，且EF1,OBC113OA()求证： ；1()求二面角 的余弦值1OABC【命题意图】本题考查空间线面的位置关系，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力，中等题() 证明：，11,EFABCEFBCAA为 中 点 面面面； 6
12、分1111=OBC 面 面面 面()以 为坐标原点， 分别为 正半轴，建立空间直角坐标系，,BCA,xyz则 , , , , , ，40)()(04)1(3)(20)E(,2)F二面角 即为二面角 ，1A由 垂直知 ，故 的法向量可以取 ，,OB1O面 1O面 (0,1)m1A1B1COFE设 的法向量 ，则有1FAE面 (,)nxyz，(,)2010,2nxyz令 得 ， ，1() 16cos,=|mn所以二面角 的余弦值为 12 分1OABC6注：若学生第（）问给出正确的几何解法，请给分（19） （本题满分 13 分）已知函数 ， ()fxa()lngx（）若函数 有极值 ，求实数 的值；
13、Ff1a（）若函数 在区间 上为增函数，求实数 的取值范围()si(1)(Ggx(0,)a【命题意图】本题考查导数与不等式的应用，考查学生运算能力、推理思维能力和解决具体问题的能力，中等题.（） ， ，()lnFxa()()Fxa当 时， ， 在 上单减，无极值，000,当 时， 在 上单减，在 上单增，()1,)1(,)由题， ，故 ； 6 分1lnFa2ae（） ， ，()si()lGxx1()cos()Gxx由题， 对 恒成立， 8 分1co0,时， ，故 对 恒成立，(0,1)xs()xcos()ax(0,1)x记 ，则 ，01co()h2sin 0co()xh故 在 上单减，又 ，所
14、以 13 分()x,1()1a（20） （本小题满分 13 分）如图，椭圆 与抛物线 有公共的焦点 点 为椭圆 与抛物21:(0)yxCab2:4CxyFA1C线 准线的交点之一，过 向抛物线 引切线 ，切点为 ，且点 都在 轴的右侧2 A2AB,By（）证明： ；FB（）证明：直线 是椭圆 的切线1C ABxFO【命题意图】本题考查椭圆、抛物线的方程与性质，考查利用导数求曲线切线的方法，考查学生运算能力、分析问题的能力，较难题.（）由题，抛物线 的准线为 ，2C1y代入椭圆 得点 ，21:1()yxaa2(,)aA抛物线 即 ， ，242xy设点 ，则切线 ，20(,)4xB200:()4x
15、AByx将点 代入上式，得： ，1,aA2011)ax即 ，即 ，200()xxa0()x由于点 在 轴的右侧，所以点 ，,By2,Ba从而 ，22 211(,)(,)()10aFA a故 ； 7 分（）由（）得直线 ，即 ，2:()AByax2yx，2 22222()11()1yxxaa整理得： ，即 ，22()()0a2()0x该方程有两个等根 ，故直线 是椭圆 的切线 13 分AB1C注：本题若有学生利用抛物线、椭圆的光学性质完成正确解答，请酌情给分（21） （本小题满分 13 分）已知数列 中， ，且 na1*1()2nnakbN（）若 ， ，求 的通项公式；0kbn（）若 ， ，求证
16、：当 时， 312nna【命题意图】本题考查数列与不等式的综合运用，考查数学归纳法证明数列不等式，考查学生应用知识解决问题的能力，较难题.（）当 ， 时， ， ，0k1b*nN12na由累乘法得： ； 5 分(1)12(1)32 21 1 nnn nna （）法一：当 ， 时， ， ， ，k0b*()2213a29()4a当 时，由 知不等式成立；3n31924na假设 时， ，那么：()k1kk，1 21()()22kk kkaa 要证 ，只需证 ，1()33kkk 121()kk即证 ，而 ，故 时不等式仍然成立，0012kkkkCC n综上，当 时， 13 分3n2nna（）法二：当 ， 时， ，由于 ，1k0b*1()2naN1a所以 ，且 ， ，*1()naN213294于是 时有： ，21na当 时， ，即 ，311nna1nna于是： ，4354()()()n 34122n令 ， ，3122nS 232nS相减得： ，3423421 11()()42nnn nn 所以 13 分311nnnaS
