1、南京市 20152016 学年度第一学期高一数学期末试卷一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 3 分，共 42 分1函数 f (x) 的定义域是 2集合0 ， 1的子集的个数为 3求值：log 345log 35 4已知角 的终边经过点 P(2，1)，则 sin 的值为 5已知扇形的半径为 3cm，圆心角为 2 弧度，则扇形的面积为 cm26函数 f (x)cos ( x )，x 0， 的值域是 3 27三个数 a0.3 2，blog 20.3，c2 0.3 之间的大小关系是 （用 a，b，c 表示，并用“”连结） 8将函数 y sin2x 的图象向右平移 个单位长度，所得图象的函数解析式
2、是 69如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB3，AD 2，且 ， ，则 BE EC DF 12FC AE BF 10已知函数 f (x) log 2x 的零点为 x0，若 x0 (k，k1)，其中 k 为整数，则 k 3x A BCDEF（第 9 题）11已知函数 f (x) 其中 e 为自然对数的底数，则 f f( ) ex， x 0，ln x， x 0， ) 1212已知定义在实数集 R 上的偶函数 f(x)在区间0， )上是单调增函数，且 f (lgx)f (1)，则 x 的取值范围是 13若函数 f (x)m4 x 32x1 2 的图象与 x 轴有交点，则实数 m 的取值范围是 14
3、若函数 f (x)sin(x ) (0) 在区间0，2上取得最大值 1 和最小值1 的 x3的值均唯一，则 的取值范围是 二、解答题：本大题共 6 小题，共 58 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分 8 分）已知 sin x ，其中 0x 45 2（1）求 cos x 的值；（2）求 的值16 （本小题满分 10 分）已知向量 a(2，1)，b(3，2)，c(3，4) （1）求 a (bc )；（2）若(ab)c，求实数的值17 （本小题满分 10 分）经市场调查，某商品在过去 20 天的日销售量和日销售价格均为销售时间 t(天) 的函数，日
4、销售量 (单位：件) 近似地满足：f (t )t30(1t20，t N*)，日销售价格(单位：元)近似地满足：g(t ) 2t + 40， 1 t 10， t N*，15， 11 t 20， t N* )（1）写出该商品的日销售额 S 关于时间 t 的函数关系；（2）当 t 等于多少时，日销售额 S 最大？并求出最大值18 （本小题满分 10 分）已知函数 f (x)Asin( x )（A 0， 0，0 2 ）的部分图象如图所示，且 f (0)f ( )56（1）求函数 f (x)的最小正周期；（2）求 f (x)的解析式，并写出它的单调增区间 19 （本小题满分 10 分）已知| a | ，
5、| b | ，ab5，cx a(1x) b10 5（1）当 b c 时，求实数 x 的值； （2）当| c |取最小值时，求向量 a 与 c 的夹角的余弦值20 （本小题满分 10 分）对于定义在0， )上的函数 f (x)，若函数 y=f (x)(axb)满足：在区间0， )上单调递减；存在常数 p，使其值域为(0，p，则称函数 g (x)axb 为 f (x)的“渐近函数” （1）证明：函数 g(x)x1 是函数 f (x) ，x 0， )的渐近函数，x2 2x 3x 1并求此时实数 p 的值；（2）若函数 f (x) ，x 0， )的渐近函数是 g (x)ax ，求实数 a 的值，x2
6、1并说明理由参考答案一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 3 分，共 42 分1 (3， ) 24 32 4 5 9 6 ，1 127bac 8 ysin(2x ) 9 4 102 11 3 1212( ，10)11013 (0， ) 14 ， )712 1312 6 56yxO2（第 18 题） 二、解答题：本大题共 6 小题，共 58 分15解（1）因为 sin 2x cos 2 x1，所以 cos 2x1sin 2 x1( )2 2 分45 925又因为 0x ，故 cos x0，所以 cos x 4 分 2 35（2）原式 7 分 8 分cosxcosx ( sinx) cosxc
7、osx sinx 3716解（1）因为 bc (3，2) (3，4)(6，2)， 2 分所以 a(bc )(2，1)(6，2)12210 5 分（2）因为 ab(2，1)(3，2)(23，12 )，又(ab)/c ，所以 4(23 3(12 )， 8 分 解得 10 分111817解（1）由题意知，Sf (t)g(t) (2t 40)( t 30)， 1 t 10， t N*，15( t 30)， 11 t 20， t N* ) 4 分（2）当 1t10，t N*时，S(2t40)( t30) 2 t220t 12002 ( t5) 21250因此，当 t5 时，S 最大值为 1250； 7
8、分当 11t20，t N*时，S15( t 30) 15t 450 为减函数，因此，当 t11 时，S 最大值为 285 9 分综上，S 的最大值为 1250 答：当 t 5 时，日销售额 S 最大，最大值为 1250 元 10 分18解（1）由题意知，函数图象的一条对称轴为 x ， 2 分512则 ， 即 T 所以函数的最小正周期是 4T4 512 6 4分（2）由图可知，A2，因为 T ，所以 2 62T分又 f( ) 2，所以 2 sin( )2，即 sin( )1，512 56 56因此 2k ，即 2k ，kZ56 2 43因为 0 2 ，所以 所以函数的解析式为 f (x)2sin
9、(2x ) 8 分23 23由 2k 2x 2 k ，kZ，解得 k xk ，kZ， 2 23 2 712 12所以函数的单调增区间为k ， k ， kZ 10 分712 1219解（1）bc bxa(1x) bx ba(1x) b 2x(5) (1x)50，解得 x 4 分12（2）| c | 2x a(1 x) b2x 2a22x(1x) ab(1x )2 b 210x 210 x(1x)5(x1) 225x 220 x5 25(x )2125所以，当 x 时，| c | 2 有最小值 1，即| c |有最小值 1 7 分25此时，c a b25 35又 aca （ a b） a2 ab
10、10 (5)125 35 25 35 25 35设向量 a，c 的夹角为 ，则 cos 10 分ac| a | c |20解（1）由题意知，f (x) x1 x1 x2 2x 3x 1 x2 2x 3 (x 1)2x 12x 1易知，函数 y 在0， )上单调递减，且值域为(0，22x 1所以，函数 g(x)x1 是函数 f (x) ， x 0， )的渐近函数，x2 2x 3x 1此时 p2 3 分（2）当 a1 时，考察函数 y ax，x2 1令 y0，得 ax ，两边平方得 x21a 2x2，所以 x2 ，x2 11a2 1因为 x0，所以 x ，即 x 时，函数 y ax 的值为 0x2
11、 1因此，函数 y ax 的值域不是(0 ，px2 1所以 g(x)ax 不是函数 f (x) 的渐近函数 5 分x2 1当 a1 时，考察函数 y x，x2 1由于 x ，下面考察 t xx2 1 x2 1任取 x1，x 2 0， )，且 x1x 2，则 t1t 2 x 1 x 2 x 1x 2 x 1x 2 (x 1x 2)( 1)0， 所以函数 t x 在0， )上单调递增，x2 1又当 x 无限增大时， t 的值也无限增大，所以 t 的取值范围是 1， )因为函数 y 在(0， ）单调递减，1t从而函数 y x 在0 ， ）单调递减，且值域为(0，1 x2 1所以 g(x)x 是 f
12、(x) 的渐近函数 8 分x2 1当 0a1 时，方法（一）y ax( x )(1a)xx2 1 x2 1因为 x (0，1，所以 y(1a)xx2 1假设 yax 是 f (x) 的渐近函数，x2 1则 y ax 的值域为(0 ，p，故 y 的最大值为 px2 1设(1 a)xp，则 x ，当 x 时，必有 yp，矛盾p1 a p1 a所以，此时 g(x)ax 不是函数 f (x)的渐近函数 9 分方法（二）记 F(x) ax，则 F(0)1，x2 1由 ax1，即 ax1，解得 x 0，即 F(0)F ( )，x2 1 x2 12a1 a2 2a1 a2所以函数 y ax 在0 ， )上不单调，x2 1所以 g(x)ax 不是函数 f (x)的渐近函数 9 分若 a0，则函数 y ax 在0 ， )上单调递增，不合题意 x2 1综上可知，当且仅当 a1 时，g(x) x 是函数 f (x) 的渐近函数x2 1 10 分
