1、一类单自由度含间隙系统的优化模型摘要本文针对机械系统中的间隙问题，以一类单自由度含间隙弹性约束系统为研究对象，通过合理的假设，运用牛顿第二定律以及胡克定律，建立了一个合理反应振子在运动过程中加速度、速度和位移关系的常微分方程数学模型。对于该模型，我们运用四级四阶变步长 Runge-Kutta 法对其进行求解，由于常微分方程很难得出精确的数值解，所以我们用 MATLAB7.0 编程对模型的解析解进行仿真，并绘出了相应的相图。通过对相图的分析发现，单自由度间隙系统中存在倍周期分岔，并且随着激振频率的逐渐变化出现混沌现象。同时，随着振子激振频率的减少，系统出现逆倍化分岔序列，当激振频率 =1.184
2、 时，由系统的相图知，系统做稳定的单周期运动；当激振频率 =1.17 时，系统做双周期运动，以此类推，可看出系统的逆倍化分岔序列。如下图所示：(图 1. 时的速度 位移图)184.(图 2. 时的速度 位移图)17.关键词：间隙系统 牛顿第二定律 微分方程 倍周期分叉一、问题的提出(图 3 单自由度含间隙弹性约束系统的力学模型)如图 3 所示的系统为一类单自由度含间隙弹性约束系统，它是一种比较典型的分段线性系统，许多含间隙系统动力学的研究都最终划归为对该模型的研究。如图所示，质量为 的振子分别由刚度为 的线性弹簧和阻尼系数为 的线性M1KC阻尼器相联接，假设振子在简谐激振力 的作用下在光滑的水
3、平上运)sin(wTP动。这里取间隙的中点作为坐标原点，水平向右为正方向建立一维坐标系统。当振子位移为 (或 )时，将会与刚度为 的弹性约束 (或 )接触，经过一定时B2AD间改变速度方向后，又以新的初值运动，然后再与弹性约束 (或 )接触，如此往复。请对图 1 系统建立数学模型，具体要求如下：（1）数学建模 根据牛顿第二定律，对图 1 所示系统建立其数学模型。 对数学模型进行合理的假设，将模型简化（归一化）。（2）用数值计算方法（四阶四级 Runge-Kutta 法，见参考文献1）对其运动进行数值仿真，或用解析法(见参考文献2) 对其进行仿真，画出相图。（3）对可视化的计算结果（如相图、分岔
4、图、Poincar 映射图等）进行适当的分析。二、问题的分析对于问题一：题中振子在弹簧的弹力和阻力器的阻力作用下，在水平面内做简谐运动，因此，我们运用牛顿第二定律建立能够反应振子在全过程运动中加速度，速度，与位移关系的微分方程，然后根据合理的假设，将模型简化，最后得到微分方程的无量纲形式。对于问题二：我们运用四级四阶变步长 Runge-Kutta 法对问题一中的微分方程进行求解，由于常微分方程很难得到数值解，所以我们用 MATLAB 对微分方程的解析解进行仿真模拟，最后得到在不同频率下，振子的速度-位移图，并对可视化的计算结果（如相图、分岔图、Poincar 映射图等）进行适当的分析。三、符号
5、说明符号 符号的具体说明)sin(wTP简谐激振力1K线性弹簧的胡克系数C线性阻尼器的阻尼系数2线性弹簧的胡克系数B或从初速度开始到刚与刚度为 的弹性约束 (或 )接触前的位移2KADM振子的质量X振子运动的位移t振子运动的时间四、模型假设(1).振子在运动过程中不受空气阻力的影响。(2).弹簧为轻质弹簧，质量可忽略不计。(3).以 A-D 的中点为原点。(4).弹簧一旦开始运动，就不受外在因素的影响。(5).对可视化图形，可随机取部分样点，以得到最佳图形。五、模型的建立如图(4),将振子的运动可以分为四个区域(区、区、区和区)，下面分别对各个区域进行分析：D AyxBB图 (4)第区域：右侧
6、约束起作用阶段,可表示为：, (1)TXS,1BR|2 0)(2XK当振子向右运动到位移为B 时,与右侧的刚度为 的弹性约束 点接触,这时A弹簧 开始起作用,经过一定时间，当加速度的绝对值增加到最大时，速度减小2K为零，随后，速度方向改变,振子开始向左移动,其位移在不断减小, 速度的绝对值在不断增加,加速度的绝对值不断减小， 当振子的位移减小到B 时 ,右侧的约束已经脱离振子,不再起作用,系统运动的第一阶段结束。第区域, 无约束强迫振动阶段,可以表示为:(2)XRXST0|,22这时振子的运动不受振动系统右侧 的约束作用,仅在刚度为K1 的主簧和阻尼C2的作用下做单自由度强迫振动。第区域：无约
7、束强迫振动阶段,可以表示为:(3)0|,24 XBRXST振子运动到坐标原点时，继续往左运动，此时位移为负值，仍做单自由度强迫振动，当振子到达-B位置是，此阶段运动结束。第区域，左侧约束起作用阶段,可表示为示为:(4)TXS,3BR|2 0)(2XK当振子接触到D点时，与刚度为 的弹簧开始接触，此时在弹簧 和阻尼C1 1K及左侧弹簧 作用下运动。振子速度越来越小，加速度绝对值越来越大，一段2K时间后，加速度绝对值增加到最大，速度减小为零，随后速度改变方向，当位移增加到-B时，左侧弹簧 的约束已经脱离振子,不再起作用,系统运动的第四阶段2K结束，再次进入第三阶段，如此反复。由以上分析,根据牛顿第
8、二定理,可以建立系统的运动微分方程:(5)sin()(TPXCM其中; （6） X)(4321,ST（7）421 12 ,)( XKBT六、模型的求解本文基于四阶伦格-库塔法对此模型进行数值仿真，其格式如下： )2,(,)2,()(61343121 432KhyxfKhyxfKKyiiiiiiiii用 matlab 编程可以求解绘出不同频率下的混沌图，以下是几幅具有代表性的相图：(a) 1.184(b) =1.17(c) =1.163(d) =1.15七、模型的评价与推广7.1 模型的评价7.1.1 优点1.本模型以经典力学中的牛顿第二定律为理论基础，通俗易懂，并且采用大学物理和高等数学中的相
9、关知识，便于大家理解。2.本模型没有繁琐的表达式，仅用一个微分方程就建立了，同时，很便于用计算机语言进行求解和系统仿真。3.本模型直观的给出了一类含间隙系统的分岔与混沌的形成过程，加深了我们对间隙问题的理解。7.1.2 缺点1.本模型在建立的过程中，忽略了空气阻力和水平面摩擦力的影响，而实际中这两者都是无法避免的，所以需要对模型的结果进行一定的误差分析。2.在用计算机对模型解析解进行仿真时，发现可视化结果具有很大的波动性，需要对样点进行一定的处理才能得到很可观的图形。7.2 模型的推广本模型的建立不仅加深了我们对间隙问题的认识，而且对机械系统在工作时如何避免出现混沌状态及降低噪音，减少摩擦和机
10、器磨损，改善工作环境等都据有很强的指导意义，此外，还需相关部门投入一定资金，便于我们对间隙问题的进一步研究。八、参考文献1 姜启源.数学模型（第三版）北京.高等教育出版社.20032 曾建军.MATLAB 语言与数学建模 安徽.安徽大学出版社 .20063 王少杰.大学物理 (第三版) 上海.同济大学出版社.20054 胡启迪.高等数学（第五版） 北京.高等教育出版社.2002九、附录附录一：时：1.84wfunction v=my_fun(t,x)v=zeros(2,1);v(1)=x(2);if (x(1)0.01); v(2)=-0.4*x(2)-x(1)-30*(x(1)-0.01)+
11、sin(1.184*t); elseif (x(1)-0.01 v(2)=-0.4*x(2)-x(1)-30*(x(1)-0.01)+sin(1.17*t); elseif x(1)-0.01 v(2)=-0.4*x(2)-x(1)-30*(x(1)-0.01)+sin(1.163*t); elseif x(1)-0.01 v(2)=-0.4*x(2)-x(1)-30*(x(1)-0.01)+sin(1.15*t); elseif x(1)-0.01sin(1.184*t+pi/4)-31*x(1)+0.3-0.4*x(2)elseif (x(1)-0.01sin(1.184*t+pi/4)-x(1)-0.4*x(2)elsev1=x(2);sin(1.184*t+pi/4)-31*x(1)-0.3-0.4*x(2)endt,x=ode45(my_fun,0:0.01:100,0;0)plot(x(:,1),x(:,2),-);时速度位移图184.
