1、一种基于混沌序列的图象加密算法易开祥 * 孙鑫 * 石教英 *（* 浙江大学 CAD k=0,1,2,3。这一序列称为该离散时间动力系统的一条轨迹。一类非常简单却被广泛研究的动力系统是 logistic 映射，其定义如下：)1(1kkxx（2）其中， 0 4 称为分枝参数， xk (0,1)定义同上。混沌动力系统的研究工作指出，当3.5699456 4 时，logistic 映射工作于混沌态。也就是说，由初始条件 x0 在 logistic映射的作用下所产生的序列 xk ; k=0,1,2,3是非周期的、不收敛的并对初始值非常敏感。另一类简单的映射是 Chebyshev 映射，以阶数为参数。k
2、 阶 Chebyshev 映射定义如下：)(cos11kkxnx（3）其中 xk 的定义区间是 (-1，1)。事实是通过简单的变量代换，logistic 映射同样可以在区间 (-1, 1)上定义。其形式如下: 21kkx （4）其中 0, 2。在 =2 的满射条件下 , logistic 映射与 Chebyshev 映射是拓扑共轭的，其所生成的序列的概率分布函数 PDF（probability density function）也是相同的: （5）elsxx0112对于公式（2）形式的 logistic 映射，如果=4, PDF 可以改写为：elsxx01)1(（6）通过(x)，我们可以很容易
3、地计算得到 logistic 映射所产生的混沌序列的一些很有意义的统计特性。例如，x 的时间平均即混沌序列轨迹点的均值是： 0)(1lim10dxxNxi（7）关于相关函数，独立选取两个初始值 x0 和 y0 ，则序列的互相关函数为： )()(,1li)(0)(dyxxyclNi lii（8）注意联合 pdf (x,y)= (x) *(y)。而序列的自相关函数 ACF （auto-correlation functions ）则等于 delta 函数 (l)。这正是我们所需要的。Logistic 序列的以上特性表明，尽管混沌动力系统具有确定性，其遍历统计特性等同于白噪声，其具有形式简单，初始条
4、件的敏感性和具备白噪声的统计特性等诸多特性。3.基于混沌序列的图象置乱算法3.1 算法原理在传统的迭代乘积密码系统中，排列算子的主要任务就是对明文数据块中的元素进行重排（也称为“置乱” ） ，使得密文块看起来是随机的。不过，这些排列算子通常是事先确定好的，而与密钥无关。这是一个明显的缺陷，使得某些迭代乘积密码系统特别容易受到差分密码分析的攻击，而基于密钥的排列的安全性能会有较大改善。在基于密钥的排列算法中，以密钥作为排列的参数，参数能够唯一地确定排列的性质。基于密钥的排列可以在频域或空间域进行。排列变换可以是局部的，或是全局的。空间域的排列加密算法实现较为简单，因为不需要使用一般频域算法所必须
5、的空域到频域的变换，计算量相对较少。不过，空间域的局部随机置乱效果不是很好。频域算法的优势是，在频域中每一点的变化对整个数据集合都会产生一定的影响。如图象数据经过 DCT 变换得到的 DCT 系数中如果有一个发生改变，就会通过 IDCT 逆运算体现在所有的象素点中。相对于空域算法，频域算法加密效率比较高。本文提出的算法正是基于以上理论。在该算法中，用户使用超级密钥来生成混沌序列，然后利用混沌序列产生相应的变换矩阵。设图象为 I，I 的大小为 n=MN，在 DCT 域进行操作： 将图象进行 DCT 变换，I D=DCT(I) 利用实值混沌序列改变 ID 值，得 IDS 将 IDS 进行排列变换，
6、得 IDST 将 IDST 与符号矩阵进行点乘，得 IDSTS 对 IDSTS 进行反变换，I E=DCT-1(IDSTS)完成图象加密。3.2 混沌序列生成从 logistic 映射或 Chebyshev 映射生成混沌序列的方法可以总结如下： 实数值序列，即 x k ; k=0,1,2,3，是混沌映射的轨迹点所形成的序列 二值序列，可以通过定义一个阈值函数，由上述的实数值混沌序列得到， 10)(xx （9）二值混沌序列即为( x k ); k=0,1,2,3 位序列：同样由实数值混沌序列得到。所不同的是，位序列是通过对x k ; k=0,1,2,3中的 xk 改写为 L-bit 的浮点数形式
7、得到的: )(xb)( )(xb0.| kLkik21（10 ）其中 bi(xk) 是|x k|的第 i 位。所需序列即为b i(xk); i=0,1,2, L ; k=0,1,2,3. 四值混沌序列：这种混沌序列的生成与二值混沌序列的生成非常类似。3.3 算法设计设原始图象为 I，I=M N。利用密钥值 x0，我们采用公式（ 4）生成实数值混沌序列xk，利用公式（2）生成实数值混沌序列 yk，在本算法中，我们不使用该序列的初始段部分。1. 符号矩阵的生成利用实数值混沌序列 xk，k=1,2,，通过定义一个阈值函数 Sign 而得到一个符号序列，再由该序列按行或列顺序构成符号矩阵 S，S= M
8、 N。（11）101)(kkxSign因此，该符号序列也具有混沌特性。2. 置换矩阵的生成利用实数值混沌序列，生成相应的置换矩阵 P，P= M N。对 P 来说，其任一元素 Pij1,2, M N，且 Pij = Pkl，当且仅当 i=k，j=l。3. 置换规则 p我们采用幻方的非线性置换（轮换）方法。将图象 I= M N 与置换矩阵 P= M N 的元素按行列作一一对应。将 P 中元素值为 1 的元素移到元素值为 2 的位置，将 2 移到 3 的位置，将 MN 移到 1 的位置，由此得到一个轮换 p,P 变成 P1， 记 P1=p(P)。由于 I 与P 是一一对应，随着 P 转换为 P1，也
9、将 I 转换为 I1。4. 加密算法实现0输入参数*.原始图象文件名 InImage*.结果图象文件名 OutImage*.密钥(x0，n)11.1 由密钥值 x0，生成实数值混沌序列 xk 和 yk，k=1,2,1.2 生成符号矩阵 S1.3 生成置换矩阵 P1.4 将图象 I 进行 DCT 变换，然后利用 yk 改变部分 DTC 系数值，得 ID1.5 for(Index = 1;Index = n;Index+)1.5.1 将 ID 按置换规则 p 进行置换，I DT1.5.2 将 IDT 与符号矩阵 S 进行点乘 5. 解密算法实现用户必须输入正确的密钥（混沌序列初始值 x0 和迭代次
10、数 n） ，将加密算法逆向运算，即可获得解密图象。4.实验结果与结论采用本文方法对多幅图象进行试验，图 1 为该算法在 DCT 域（b）图的密钥为x0=0.60773,n=1， （c ）图的密钥为 x0=0.60773,n=4）对 lena 图象的加密结果。本算法对图象的加密是在 DCT 域中进行的，其特点是：首先在 DCT 域利用实数值混沌序列对其 DCT(a) (b) (c) *U 0 0 0 0 0 0 (e) (f) (g)图 1 (a)为 lean 原图(128128)，(b),(c)分别为加密图象，(e),(f),(g)为相应直方图0 3 4 5 6 7 8 9 Al0 0 0 0
11、 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 .Y 0 0 0 0 0 0 (h) （i） （j）图 2 解密结果 （h）(x0=0.60772,n=1)为图 1 中(b)的解密（i）(x0=0.60772,n=1) （j ）(x0=0.60772,n=4) 为图 1 中(c)的解密系数进行比例变换，极大地破坏图象的质量，完成第一次加密；其次对其进行非线性排列变换，进行第二次加密；最后通过符号矩阵而随机改变其 DCT 系数的符号，从而达到图象加密效果。上述三层加密既可进行局部加密，也可进行全局加密，其迭代次数可作为密钥的一部分。若不知密钥，就无法生成相应的比例矩阵，变换矩阵和符号矩阵，而且由于
12、混沌序列对初始值非常敏感，即使密钥值有微小的变化也会得到完全不同的解密结果（图 2） ，从而也就无法对图象进行解密。大量的实验证明，本算法具有加密速度快，加密效果好等的特点。对于生成的混沌序列，最好不选用初始段部分序列，这样能加强加密效果。参考文献1. Hui Xiang,et al Digital Watermarking Systems with Chaotic Sequences, Electronic Imaging99, Security and Watermarking of Multimedia Contents, SPIE Vol. 3657, pp.449-457,1999.
13、12. C. Shi and B. Bhargava, “A Fast MPEG Video Encryption Algorithm,“ In Proc. of ACM Multimedia98, Electronic Proceeding, 1998,.3. Josef Scharinger, “Fast Encryption of Image Data Using Chaotic Kolmogorov Flows,“ SPIE Vol. 3022, pp.278-289, 19974. 吴昊升 等. 图象的排列变换. 计算机学报 1998 21(6):514-5195. 丁玮 等. 数字图象变换及信息隐藏与伪装技术. 计算机学报 1998 21(9):838-8436. 李宇寰 组合数学. 北京:北京师范学院出版社. 1998
