1、 中考数学专题复习- 几何最值问题解题策略【专题分析】最值问题是初中数学的重要内容,无论是代数问题还是几何问题都有最值问题,在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论(如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等)以及用一次函数和二次函数的性质来求最值问题. 【知识归纳】1.在求几何图形中的周长或线段长度最值时,解决此类问题的方法一般是先将要求线段(要求的量) 用未知数 x 表示出来,建立函数模型(一般所表示的式子为一次函数解析式或二次函数解析式),常用勾股定理或三角形相似求得函数关系式,再用函数的增减性或最值来求解即可. 2.利用对称的性质求两条线段
2、之和最小值的问题,解决此类问题的方法为:如图,要求直线 l 上一动点 P 到点 A,B 距离之和的最小值,先作点 A 关于直线 l 的对称点A,连接 AB,则 AB 与直线 l 的交点即为 P 点,根据对称性可知此时 AB 的长即为PA+PB 的最小值,求出 AB 的值即可.【题型解析】题型 1: 三角形中最值问题例题：（2017 山东枣庄）如图，直线 y= x+4 与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点B，点 C、D 分别为线段 AB、OB 的中点，点 P 为 OA 上一动点，PC+PD 值最小时点 P 的坐标为（ ）A （3，0） B （6，0） C （ ，0） D （ ，0）【考点】F8
3、：一次函数图象上点的坐标特征；PA：轴对称 最短路线问题【分析】 （方法一）根据一次函数解析式求出点 A、B 的坐标，再由中点坐标公式求出点 C、D 的坐标，根据对称的性质找出点 D的坐标，结合点 C、D 的坐标求出直线 CD的解析式，令 y=0 即可求出 x 的值，从而得出点 P 的坐标（方法二）根据一次函数解析式求出点 A、B 的坐标，再由中点坐标公式求出点 C、 D 的坐标，根据对称的性质找出点 D的坐标，根据三角形中位线定理即可得出点 P 为线段 CD的中点，由此即可得出点 P 的坐标【解答】解：（方法一）作点 D 关于 x 轴的对称点 D，连接 CD交 x 轴于点P，此时 PC+PD
4、 值最小，如图所示令 y= x+4 中 x=0，则 y=4，点 B 的坐标为（0，4） ；令 y= x+4 中 y=0，则 x+4=0，解得：x= 6，点 A 的坐标为（6，0） 点 C、D 分别为线段 AB、OB 的中点，点 C（ 3，2） ，点 D（0 ，2） 点 D和点 D 关于 x 轴对称，点 D的坐标为（0，2） 设直线 CD的解析式为 y=kx+b，直线 CD过点 C（ 3，2 ） ，D（0，2） ，有 ，解得： ，直线 CD的解析式为 y= x2令 y= x2 中 y=0，则 0= x2，解得：x= ，点 P 的坐标为（ ，0 ） 故选 C（方法二）连接 CD，作点 D 关于 x
5、 轴的对称点 D，连接 CD交 x 轴于点 P，此时 PC+PD 值最小，如图所示令 y= x+4 中 x=0，则 y=4，点 B 的坐标为（0，4） ；令 y= x+4 中 y=0，则 x+4=0，解得：x= 6，点 A 的坐标为（6，0） 点 C、D 分别为线段 AB、OB 的中点，点 C（ 3，2） ，点 D（0 ，2） ，CDx 轴，点 D和点 D 关于 x 轴对称，点 D的坐标为（0，2） ，点 O 为线段 DD的中点又OPCD，点 P 为线段 CD的中点，点 P 的坐标为（ ，0 ） 故选 C方法指导：出现最值问题,可转化为轴对称知识所涉及的最短路径问题是我们解答此类问题的常见方法
6、.题型 2: 四边形中最值问题例题: （2017 贵州安顺）如图所示，正方形 ABCD 的边长为 6，ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为 6 【考点】PA：轴对称最短路线问题；KK：等边三角形的性质；LE：正方形的性质【分析】由于点 B 与 D 关于 AC 对称，所以连接 BD，与 AC 的交点即为 P点此时 PD+PE=BE 最小，而 BE 是等边ABE 的边， BE=AB，由正方形ABCD 的边长为 6，可求出 AB 的长，从而得出结果【解答】解：设 BE 与 AC 交于点 P，连接 BD，点 B 与
7、 D 关于 AC 对称，PD=PB，PD+PE=PB+PE=BE 最小即 P 在 AC 与 BE 的交点上时， PD+PE 最小，为 BE 的长度；正方形 ABCD 的边长为 6，AB=6又ABE 是等边三角形，BE=AB=6故所求最小值为 6故答案为：6方法指导：本题借助不等式“a 2+b22ab”通过代换转化来求平行四边形面积的最值,体现了转化思想和整体思想的运用.题型 3:圆中最值问题例题：（2017 浙江衢州）如图，在直角坐标系中，A 的圆心 A 的坐标为（1，0） ，半径为 1，点 P 为直线 y= x+3 上的动点，过点 P 作A 的切线，切点为 Q，则切线长 PQ 的最小值是 2
8、 【考点】MC ：切线的性质； F5：一次函数的性质【分析】连接 AP，PQ ，当 AP 最小时，PQ 最小，当 AP直线 y= x+3 时，PQ 最小，根据两点间的距离公式得到 AP=3，根据勾股定理即可得到结论【解答】解：连接 AP，PQ，当 AP 最小时，PQ 最小，当 AP直线 y= x+3 时，PQ 最小，A 的坐标为（1，0） ，y= x+3 可化为 3x+4y12=0，AP= =3，PQ= =2 方法指导: 此题综合性强,解题方法很多,考查范围较广 ,与初中数学很多内容有关,如勾股定理、圆周角定理及推论、垂径定理、相似、三角函数、二次函数、垂线段的性质、二次根式的计算与化简等.考
9、查了多种数学思想,如建模思想、化归思想等.此题难度中等,有一定的灵活性,考生不易拿满分.【提升训练】1. （ 2017 江苏盐城）如图，在边长为 1 的小正方形网格中，将 ABC 绕某点旋转到ABC 的位置，则点 B 运动的最短路径长为 【考点】O4：轨迹；R2：旋转的性质【分析】如图作线段 AA、CC的垂直平分线相交于点 P，点 P 即为旋转中心，观察图象可知，旋转角为 90（逆时针旋转）时 B 运动的路径长最短【解答】解：如图作线段 AA、CC的垂直平分线相交于点 P，点 P 即为旋转中心，观察图象可知，旋转角为 90（逆时针旋转）时 B 运动的路径长最短，PB= ，B 运动的最短路径长为
10、= = ，故答案为 2. （2017新疆）如图，在边长为 6cm 的正方形 ABCD 中，点 E、F 、G 、H 分别从点 A、B、C 、D 同时出发，均以 1cm/s 的速度向点 B、C、D 、A 匀速运动，当点 E 到达点 B 时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为 3 s 时，四边形 EFGH 的面积最小，其最小值是 18 cm 2【考点】H7：二次函数的最值；LE：正方形的性质【分析】设运动时间为 t（0t6） ，则 AE=t，AH=6t ，由四边形 EFGH 的面积=正方形 ABCD 的面积4 个 AEH 的面积，即可得出 S 四边形 EFGH 关于 t 的函数关系式，配
11、方后即可得出结论【解答】解：设运动时间为 t（0t6） ，则 AE=t，AH=6t ，根据题意得：S 四边形 EFGH=S 正方形 ABCD4SAEH=664 t（6t ）=2t212t+36=2（t3） 2+18，当 t=3 时，四边形 EFGH 的面积取最小值，最小值为 18故答案为：3；18【点评】本题考查了二次函数的最值、三角形以及正方形的面积，通过分割图形求面积法找出 S 四边形 EFGH 关于 t 的函数关系式是解题的关键3. (2017 湖北宜昌)正方形 ABCD 的边长为 1，点 O 是 BC 边上的一个动点（与B，C 不重合） ，以 O 为顶点在 BC 所在直线的上方作MON
12、=90（1）当 OM 经过点 A 时，请直接填空：ON 不可能 （可能，不可能）过 D 点；（图 1 仅供分析）如图 2，在 ON 上截取 OE=OA，过 E 点作 EF 垂直于直线 BC，垂足为点 F，作 EH CD 于 H，求证：四边形 EFCH 为正方形（2）当 OM 不过点 A 时，设 OM 交边 AB 于 G，且 OG=1在 ON 上存在点P，过 P 点作 PK 垂直于直线 BC，垂足为点 K，使得 SPKO=4SOBG，连接 GP，求四边形 PKBG 的最大面积【考点】LO ：四边形综合题【分析】 （1）若 ON 过点 D 时，则在OAD 中不满足勾股定理，可知不可能过 D 点；由
13、条件可先判业四边形 EFCH 为矩形，再证明OFEABO，可证得结论；（2）由条件可证明PKOOBG，利用相似三角形的性质可求得 OP=2，可求得POG 面积为定值及 PKO 和 OBG 的关系，只要 CGB 的面积有最大值时，则四边形 PKBG 的面积就最大，设 OB=a，BG=b，由勾股定理可用 b 表示出 a，则可用 a 表示出CBG 的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值，则可求得四边形 PKBG 面积的最大值【解答】解：（1）若 ON 过点 D，则 OAAB，ODCD，OA 2AD 2，OD 2AD 2，OA 2+OD22AD 2AD2，AOD90 ，这与MON=90矛盾，ON 不
14、可能过 D 点，故答案为：不可能；EH CD，EFBC ，EHC= EFC=90，且 HCF=90，四边形 EFCH 为矩形，MON=90，EOF=90AOB，在正方形 ABCD 中，BAO=90AOB，EOF=BAO，在OFE 和ABO 中OFEABO（AAS） ，EF=OB，OF=AB，又 OF=CF+OC=AB=BC=BO+OC=EF+OC，CF=EF，四边形 EFCH 为正方形；（2）POK=OGB， PKO= OBG，PKOOBG ，S PKO=4SOBG， =（ ） 2=4，OP=2 ，S POG= OGOP= 12=1，设 OB=a，BG=b ，则 a2+b2=OG2=1，b=
15、，S OBG= ab= a = = ，当 a2= 时，OBG 有最大值 ，此时 SPKO=4SOBG=1，四边形 PKBG 的最大面积为 1+1+ = 4. （ 2017 甘肃张掖）如图，已知二次函数 y=ax2+bx+4 的图象与 x 轴交于点B（2，0） ，点 C（8，0） ，与 y 轴交于点 A（1）求二次函数 y=ax2+bx+4 的表达式；（2）连接 AC，AB，若点 N 在线段 BC 上运动（不与点 B，C 重合） ，过点 N作 NMAC ，交 AB 于点 M，当AMN 面积最大时，求 N 点的坐标；（3）连接 OM，在（2）的结论下，求 OM 与 AC 的数量关系【考点】HF：二
16、次函数综合题【分析】 （1）由 B、C 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可设 N（n，0） ，则可用 n 表示出ABN 的面积，由 NMAC ，可求得，则可用 n 表示出AMN 的面积，再利用二次函数的性质可求得其面积最大时 n 的值，即可求得 N 点的坐标；（3）由 N 点坐标可求得 M 点为 AB 的中点，由直角三角形的性质可得OM= AB，在 RtAOB 和 RtAOC 中，可分别求得 AB 和 AC 的长，可求得AB 与 AC 的关系，从而可得到 OM 和 AC 的数量关系【解答】解：（1）将点 B，点 C 的坐标分别代入 y=ax2+bx+4 可得 ，解得，二次函数的
17、表达式为 y= x2+ x+4；（2）设点 N 的坐标为（n，0） （2n8） ，则 BN=n+2，CN=8 nB（ 2，0） ，C （8，0） ，BC=10，在 y= x2+ x+4 中令 x=0，可解得 y=4，点 A（0，4） ，OA=4，S ABN= BNOA= （n+2 ）4=2（n+2） ，MNAC ， ， = = ， ， 0，当 n=3 时，即 N（3，0 ）时， AMN 的面积最大；（3）当 N（3，0）时，N 为 BC 边中点，MNAC ，M 为 AB 边中点，OM= AB，AB= = =2 ，AC= = =4 ，AB= AC，OM= AC5. （2017 江苏盐城） 【探索
18、发现】如图，是一张直角三角形纸片，B=60，小明想从中剪出一个以B 为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线 DE、EF 剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为 【拓展应用】如图，在ABC 中，BC=a，BC 边上的高 AD=h，矩形 PQMN 的顶点 P、N分别在边 AB、AC 上，顶点 Q、M 在边 BC 上，则矩形 PQMN 面积的最大值为 （用含 a，h 的代数式表示）【灵活应用】如图，有一块“ 缺角矩形 ”ABCDE，AB=32 ，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（B
19、 为所剪出矩形的内角） ，求该矩形的面积【实际应用】如图，现有一块四边形的木板余料 ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm ，且 tanB=tanC= ，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点 M、N 在边 BC 上且面积最大的矩形 PQMN，求该矩形的面积【考点】LO ：四边形综合题【分析】 【探索发现】：由中位线知 EF= BC、ED= AB、由 =可得；【拓展应用】：由APNABC 知 = ，可得 PN=a PQ，设 PQ=x，由S 矩形 PQMN=PQPN （x ） 2+ ，据此可得；【灵活应用】：添加如图 1 辅助线，取 BF 中点 I，FG 的中点 K，由矩形性
20、质知 AE=EH20、CD=DH=16，分别证AEFHED、 CDGHDE 得AF=DH=16、CG=HE=20，从而判断出中位线 IK 的两端点在线段 AB 和 DE 上，利用【探索发现】结论解答即可；【实际应用】：延长 BA、CD 交于点 E，过点 E 作 EHBC 于点 H，由tanB=tanC 知 EB=EC、BH=CH=54，EH= BH=72，继而求得 BE=CE=90，可判断中位线 PQ 的两端点在线段 AB、CD 上，利用【拓展应用】结论解答可得【解答】解：【探索发现】EF、 ED 为ABC 中位线，ED AB，EFBC ，EF= BC，ED= AB，又B=90，四边形 FED
21、B 是矩形，则 = = = ，故答案为： ；【拓展应用】PNBC，APNABC ， = ，即 = ，PN=a PQ，设 PQ=x，则 S 矩形 PQMN=PQPN=x（a x）= x2+ax= （x ） 2+ ，当 PQ= 时， S 矩形 PQMN 最大值为 ，故答案为： ；【灵活应用】如图 1，延长 BA、DE 交于点 F，延长 BC、ED 交于点 G，延长 AE、CD 交于点 H，取 BF 中点 I，FG 的中点 K，由题意知四边形 ABCH 是矩形，AB=32，BC=40，AE=20 ，CD=16 ，EH=20、DH=16，AE=EH、CD=DH，在AEF 和HED 中， ，AEFHED
22、（ASA） ，AF=DH=16，同理CDG HDE，CG=HE=20 ，BI= =24，BI=24 32 ，中位线 IK 的两端点在线段 AB 和 DE 上，过点 K 作 KLBC 于点 L，由【探索发现】知矩形的最大面积为 BGBF= （40+20）（32+16）=720，答：该矩形的面积为 720；【实际应用】如图 2，延长 BA、CD 交于点 E，过点 E 作 EHBC 于点 H，tanB=tanC= ，B=C，EB=EC，BC=108cm ，且 EHBC，BH=CH= BC=54cm，tanB= = ，EH= BH= 54=72cm，在 RtBHE 中，BE= =90cm，AB=50cm，AE=40cm，BE 的中点 Q 在线段 AB 上，CD=60cm，ED=30cm，CE 的中点 P 在线段 CD 上，中位线 PQ 的两端点在线段 AB、CD 上，由【拓展应用】知，矩形 PQMN 的最大面积为 BCEH=1944cm2，答：该矩形的面积为 1944cm2
