1、A BCDABABL最初中数学路径最短问题专题复习一、具体内容包括：蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题；线段（之和）最短问题；二、原理：两点之间，线段最短；垂线段最短。 （构建“对称模型” 实现转化）主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）三、例题：例 1、如右图是一个棱长为 4 的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点 A 沿木块侧面爬到点 B 处，则它爬行的最短路径是 。如右图是一个长方体木块，已知 AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点 A 处，它要沿着木块侧面爬到点 D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。例 2
2、、如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。如图，直线 L 同侧有两点 A、B，已知 A、B 到直线 L 的垂直距离分别为 1 和 3，两点的水平距离为 3，要在直线 L 上找一个点 P，使 PA+PB 的和最小。请在图中找出点 P 的位置，并计算 PA+PB 的最小值。要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为 1Km 和 3Km，张村与李庄的水平距离为 3Km，则所用水管最短长度为 。四、练习题（巩固提高）（一）1、如图是一个长方体木块，已知 AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点 A 处
3、，它要沿着木块侧面爬到点 D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。张村李庄张村李庄A BCD图 (2)E BDA CP2、现要在如图所示的圆柱体侧面 A 点与 B 点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计） ，圆柱体高为 6cm，底面圆周长为 16cm，则所缠金丝带长度的最小值为 。3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从 A 点爬到点 B 处吃到食物，知圆柱体的高为 5 cm，底面圆的周长为 24cm，则蚂蚁爬行的最短路径为 。4、正方形 ABCD 的边长为 8，M 在 DC 上，且 DM2，N 是 AC 上的一动点，DNMN的最小值为 。第 4 题 第 5 题 第 6 题 5、在菱形
4、 ABCD 中，AB=2， BAD=60，点 E 是 AB 的中点，P 是对角线 AC 上的一个动点，则 PE+PB 的最小值为 。6、如图，在ABC 中，ACBC2，ACB 90，D 是 BC 边的中点，E 是 AB 边上一动点，则 ECED 的最小值为_ _。（二）8、如图，点 P 关于 OA、OB 的对称点分别为 C、D，连接 CD，交 OA 于 M，交 OB于 N，若 CD18cm，则 PMN 的周长为_。9、已知，如图 DE 是ABC 的边 AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交 BC 于 E，且AC5，BC 8，则AEC 的周长为_。10、已知，如图，在ABC 中，ABAC，BC
5、 边上的垂直平分线 DE 交 BC 于点 D，交 AC于点 E，AC8，ABE 的周长为 14，则 AB 的长 。11、如图，在锐角ABC 中，AB4 ，BAC45，BAC 的平分线交 BC 于点2D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是_12、在平面直角坐标系中，有 A（3，2） ，B（4 ，2）两点，现另取一点 C（1，n） ，当 n = 时， AC + BC 的值最小CDA BEFP第 11 题 第 14 题 第 15 题13、ABC 中，C = 90，AB = 10，AC=6,BC=8, 过 AB 边上一点 P 作 PEAC 于第 2 题AABAB第 1
6、 题 第 3 题E，PFBC 于 F，E、F 是垂足，则 EF 的最小值等于 14、如图，菱形 ABCD 中，AB=2, BAD=60，点 E、F、P 分别是 AB、BC、AC 上的动点，则 PE+PF 的最小值为_.15、如图，村庄 A、B 位于一条小河的两侧，若河岸 a、b 彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥 CD，问桥址应如何选择，才能使 A 村到 B 村的路程最近？（三）16、如图，已知AOB 内有一点 P，试分别在边 OA 和 OB 上各找一点 E、F ，使得PEF 的周长最小。试画出图形，并说明理由。17、如图，直线 l 是第一、三象限的角平分线实验与探究：（1）由图观察易知
7、A（0，2）关于直线 l 的对称点 A的坐标为（2，0） ，请在图中分别标明 B（ 5，3） 、C （2，5）关于直线 l 的对称点 B、C的位置，并写出他们的坐标：B 、C ；归纳与发现：（2）结合以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点 P（ a，b）关于第一、三象限的角平分线 l 的对称点 P的坐标为 ；运用与拓广：（3）已知两点 D（1，3） 、E（1，4） ，试在直线 l 上确定一点 Q，使点 Q 到 D、E 两点的距离之和最小，并求出 Q 点坐标18、几何模型：条件：如图，A、B 是直线 L 同旁的两个定点问题：在直线 L 上确定一点 P，使 PA+PB的值最小方法：作点 关于
8、直线 的对称点 ，连结 交 于点 ，则 的值最小（不lABlPAB必证明） 模型应用：（1）如图 1，正方形 的边长为 2， 为 的中点， 是 上一动点连结 ，BCDECBD由正方形对称性可知， 与 关于直线 对称连结 交 于 ，则 的最小CDPE值是_；（2）如图 2， 的半径为 2，点 在 上， ， ， 是O A、 、 O AB60O上一动点，求 的最小值；OBPAC（3）如图 3，AOB=45 ，P 是AOB 内一点，PO=10 ，Q、R 分别是 OA、OB 上的动点，求PQR 周长的最小值19、问题探究（1）如图，四边形 ABCD是正方形， 10ABcm， E为边 BC的中点， P为 BD上的一个动点，求 PE的最小值；（2）如图，若四边形 是菱形， ， 45， 为边 上的一个动点， 为 上的一个动点，求 PE的最小值；问题解决（3）如图，若四边形 ABCD 是矩形， c， 20cm， E为边 C上的一个动点， 为 上的一个动点，求 C的最小值；O ABPRQ图 3ABECBD图 1OABC图 2 PABPlA DB CA DB CEPACDB
