1、精编八年级数学全等三角形辅助线技巧训练五个专题大全最新初二数学全等三角形辅助线技巧训练一全等三角形定义：经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。形状一样，大小也一样的两个三角形称为全等三角形。全等三角形的判定：边边边（SSS）边角边（SAS）角边角（ASA）角角边（AAS）斜边，直角边（HL）全等三角形的性质：1 全 等 三 角 形 的 对 应 角 相 等 、 对 应 边 相 等 。 2 全 等 三 角 形 的 对 应 边 上 的 高 ， 中 线 ， 角 平 分 线 对 应 相 等 。 3 全 等 三 角 形 周 长 ， 面 积 相 等 。 注意：1 使 用 判 定 定
2、 理 时 ， 是 否 为 夹 边 ， 夹 角 要 看 清 ， 没 有 边 边 角 （ SSA） 这 个 判 定 定 理 。2 书写三角形、线段和角的名称的时候注意对应点应在对应的位置上。常见辅助线写法：过点 A 作 BC 的平行线 AF 交 DE 于 F过点 A 作 BC 的垂线，垂足为 D延长 AB 至 C，使 BCAC在 AB 上截取 AC，使 ACDE作ABC 的平分线，交 AC 于 D取 AB 中点 C，连接 CD 交 EF 于 G 点图 3图 1 图 2例 1如 图 ， AB CD 1， AOC 60，证明：ACBD1。 OCDAB例 2(北京中考）如图，已知ABC请你在 BC 边上
3、分别取两点 D、E（BC 的中点除外） ，连接 AD、AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；请你根据使成立的相应条件，证明 ABACAD AE。例 3已知线段 OA、OB、OC、OD、OE、OF 。AOBBOCCOD DOEEOF 60。且 ADBECF2。求证：S OABS OCD S OEF 。3例 4如图 1，在四边形 ABCD 中，连接对角线 AC、BD ，如果12，那么34。仔细阅读以上材料，完成下面的问题。如图 2，设 P 为ABCD 内一点，PABPCB ，求证：PBAPDA。图 1 图 2集散思想：有些几何题，条件与结论比较分散，通过
4、添加适当的辅助线，将图形中分散，远离了的元素聚集到有关的图形上，使它们相对集中，便于比较，建立关系，从而找出问题的解决途径。平移只能用来作为作辅助线的思路，具体做辅助线的时候不能直接说将ABC 平移至DEF 。1在正方形 ABCD 中，E、F、G 、H 分别是 AB、BC 、CD 、 DA 边上的点，且 EGFH，求证：EGFH 。FDCBHGEA2如图所示，P 为平行四边形 ABCD 内一点，求证：以 AP、BP、CP、DP 为边可以构成一个四边形，并且所构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于 AB 和 BC。3如图，已知ABC 的面积为 16，BC 8，现将ABC 沿直线 BC 向右平移
5、a 个单位到DEF 的位置。当 a4 时，求ABC 所扫过的面积；连接 AE、AD，设 AB5，当ADE 是以 DE 为一腰的等腰三角形时，求 a 的值。4如图，AA=BB=CC=1，AOB =BOC=COA=60，求证：。34AOBBOCOASS A最新初二数学全等三角形辅助线技巧训练二例 1 如图，E、F 分别是正方形 ABCD 的边 BC、CD 上的点，且EAF45，AH EF，H 为垂足，求证：AHAB 。例 2ABC 中， ACB90 ，AC BC ，P 是ABC 内的一点，且 AP3，CP2，BP1，求BPC 的度数。例 3已知在ABC 中，AB AC， P 为三角形内一点，且AP
6、B APC ，求证：PBPC。有边相等或者有角度拼起来为特殊角的时候可以用旋转边相等时常见图形为正方形，等腰三角形和等边三角形等等角度能拼成的特殊角指的是 180，90 等等例 4已知ABC， 12，AB2 AC，ADBD 。求证：DCAC。例 5ABC 为等腰直角三角形， ABC90，ABAE， BAE30 ，求证：BECE。例 6在ABC 中，E、F 为 BC 边上的点，已知 CAEBAF，CEBF，求证：AC AB。出现轴对称的时候可以考虑翻折，尤其注意有角平分线，有角相等或者出现特殊角的一半的时候，翻折是常用添加辅助线的思想。强调：旋转和翻折只能是一种作辅助线的思路，具体做辅助线的时候
7、不能直接说将ABC 旋转或翻折至DEF。ONMDCBAED CBA1如图，O 是边长为 a 的正方形 ABCD 的中心，将一块半径足够长、圆心角为直角的扇形纸板的圆心方在 O 点处，并将纸板绕 O 点旋转，其半径分别交 AB、AD 于点 M、N，求证：正方形 ABCD 的边被纸板覆盖部分的总长度为定值 a。2 （山东）在梯形 ABCD 中，ABCD，A90，AB 2，BC3，CD 1，E 是AD 中点，试判断 EC 与 EB 的位置关系，并写出推理过程。AB C CBAECBAD D AB CFDE DEE E3如图，P 是等边ABC 内一点，若 AP3，PB 4，PC5，求APB 的度数。3
8、43PCBA4已知：在 RtABC 中，BAC=90，AB=AC，点 D、E 分别为线段 BC 上两动点，DAE=45。猜想 BD、DE、EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；当动点 E 在线段 BC 上，动点 D 运动在线段 CB 延长线上时，其它条件不变，中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明。D ECBA5如图，已知等腰直角三角线 ABC，BD 平分ABC ，CEBD，垂足为 E，求证：BD2CE。6如图，折叠长方形的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，如果 AB8，BC10，求EC 的长。 F(D)DECBA最新初二数学全等三角形辅助线技巧
9、训练三一、倍长中线法例 1AD 是ABC 中 BC 边上的中线，若 AB 2，AC 4，则 AD 的取值范围是_。DCBA例 2已知在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，延长 BE 交 AC 于F，AF EF，求证：AC BE。 ABCDEF中点的妙用例 3如图 1，ABC 与BDE 均为等腰直角三角形，BAAC，ED BD，点 D 在 AB 边上。连接EC，取 EC 中点 F，连接 AF，DF，猜测 AF，DF 的数量关系和位置关系，并加以证明。FDEACB图 1如图 2，将BDE 旋转至如图位置，使 E 在 AB 延长线上，D 在 CB 延长线上，其他条件不变，则
10、中 AF，DF 的数量关系和位置关系是否发生变化，并加以证明。 FDACBE图 2例 4已知四边形 ABCD 中，E，F，G ，H 分别为 AB，BC ，CD，DA 的中点，求证 EFGH 为平行四边形。 HGFDEACB例 5如图，已知四边形 ABCD 中，AB CD，M 、 N 分别为 BC、 AD 中点，延长 MN 与 AB、 CD延长线交于 E、 F，求证BEM CFMEFACDMB例 6已知ABD 和ACE 都是直角三角形，且ABD ACE=90，连接 DE，设 M 为 DE 的中点。求证：MB MC；设BAD CAE ，固定 RtABD，让 RtACE 移至图示位置，此时 MB M
11、C 是否成立？请证明你的结论。EACDMB EACDMB出现中点的时候一般有以下作辅助线的方法倍长中线法构造中位线如果是直角三角形，经常还会构造斜边上的中线例 7如图，已知ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，点 M 为 EC 中点，求证BMD 为等腰直角三角形。 AMCEDB1在ABC 中，AB 12，AC 30，求 BC 边上的中线 AD 的范围。AB CD2在ABC 中，D 为 BC 边上的点，已知BAD CAD，BD CD，求证：AB AC。AB CD3如图，在ABC 中，ADBC ，M 是 BC 中点，B 2C ，如图，求证：DM AB12D A B C 4已知ABC 中，AC=7，
12、BC 4，D 为 AB 中点，E 为边 AC 上一点，且，求 CE 的长。102AEDC9BA EDC5在任意五边形 ABCDE 中，M,N,P,Q 分别为 AB、CD、BC、DE 的中点，K、L、分别为 MN、 PQ 的中点，求证： 平行且等于 。KL14AE6如图，已知ABC 中，AB AC，CE 是 AB 边上的中线，延长 AB 到 D，使 BD AB， 那么 CE 是 CD 的几分之几？ ABEDC7四边形 ABCD 四边中点分别为 E、 F、 G、 H，当四边形 ABCD 满足 时，EFGH为菱形；当四边形 ABCD 满足 时，EFGH 为矩形；当四边形 ABCD 满足 时，EFGH
13、 为正方形。最新初二数学全等三角形辅助线技巧训练四例 1在ABC 中，B=2C，BAC 的平分线 AD 交 BC 与 D。求证：AB BD AC。 DCBA例 2ABCD 是正方形，P 为 BC 上任意一点，PAD 的平分线交 CD 于 Q，求证：DQ AP BP。 PQDCBA截长补短法例 3已知ABC，ABC=90 ，以 AB、AC 为边向外做正方形 ABDE 和 ACFG，延长 BA 交 EG于 H，则 BC 2AH。GHFEDCBA例 4AD 是ABC 的角平分线， BEAD 交 AD 的延长线于 E，EF/AC 交 AB 于 F。求证：AF FB。 EABCDF补形法例 5如图，六边
14、形 ABCDEF 的六个内角都相等，已知 BC CD 11，DE AB 3，求 DC EF 的值。 ABCDEF例 6如图所示：BCAB，AD AC，BD 平分ABC，求证：A C 180。 AB CD1如图，在 ABC 中，AB BD AC，BAC 的平分线 AD 交 BC 与 D，求证：B 2CAB CD已知ABC，以 AB、AC 为边向外作正方形 ABGF、ACDE，M 是 BC 中点，连接 AM求证：EF2AM 且 AMEF。3在ABC 中，AB AC， A 100，BE 评分B 交 AC 与 E，如图，求证：AE BE BCABEC4在ABC 中，D、E 为 AB、AC 中点，DE
15、与B 的平分线交与 F，如图所示。求证：AFBFFAB CD E5在ABC 中，MB 、 NC 分别是三角形的外角 ABE 、ACF 的角平分线，AMBM，ANCN，垂足分别是 M，N。求证：MNBC，MN (AB AC BC)12AB CM NFE6在ABC 中，MB 、 NC 分别是三角形的内角 ABC 、ACB 的角平分线，AMBM，ANCN，垂足分别是 M，N。求证：MNBC，MN (AB AC BC)12MAB CM最新初二数学全等三角形辅助线技巧训练五例 1在四边形 ABCD 中，已知 AB BC CD，ABC 70，BCD 170，求BAD 的度数。DCBA例 2如图，ABC 中，AB AC， AD BC，A 20，求DCA 的度数。 AB CD巧构等边例 3任意ABC，试在ABC 内找一点 P，使得 PA PB PC 的值最小 AB C例 4(2000 北京初二数学竞赛） ，在等腰 ABC 中，延长边 AB 到点 D，延长边 CA 到点 E，连接DE，恰有 AD BC CE DE。求证：BAC 100。 ED CBA
