1、第六章 弯曲应力2018/7/22 1一、纯弯曲时梁横截面上的正应力2018/7/22 2火车车轮轴 LaaF F弯曲应力 /纯弯曲时梁横截面上的正应力2018/7/22 3FFa(-)M-图纯弯曲 梁弯曲变形时，横截面上只有弯矩而无剪力（ ）。横力弯曲 梁弯曲变形时，横截面上既有弯矩又有剪力（ ）。纯弯曲横力弯曲横力弯曲LaaFF(+)(-)-F弯曲应力 /纯弯曲时梁横截面上的正应力2018/7/22 41. 实验观察实验观察长度保持不变的纵向纤维凸边伸长凹边 缩短中性层弯曲应力 /纯弯曲时梁横截面上的正应力2018/7/22 5（ 2）变形后的横向线仍与纵向弧线垂直。 纯弯曲变形特征：纯弯
2、曲变形特征：（ 3）各纵向线段弯成弧线，且部分纵向线段伸长，部分纵向线段缩短。 （ 1）各横向线相对转过了一个角度 , 仍保持为直线。 (1)平面截面假设 横截面变形后保持为平面，只是绕某个轴旋转了一角度。假设：假设：（ 2）纵向纤维假设 梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维之间无挤压。中性层与横截面的交线 中性轴弯曲应力 /纯弯曲时梁横截面上的正应力2018/7/22 62.理论分析 （ 1）变形分布规律M M NA C D x y A B Compression Tension No Stress Neutral Axis 中性轴 dxy变形后变形后M M A B C D y do 曲率
3、中心:中性层的曲率半径，y:任意纵向纤维至 中性层的距离中性层弯曲应力 /纯弯曲时梁横截面上的正应力2018/7/22 7所以纵向纤维 CD的应变为 : 横截面上距中性轴为 y 处的轴向变形规律。曲率 则 曲率 则当与 实验结果相符。(a)纵向纤维 CD: 变形前 变形后 弯曲应力 /纯弯曲时梁横截面上的正应力2018/7/22 8（ 2）应力分布规律在线弹性范围内，应用胡克定律(b)对 一定材料， E=C； 对 一定截面 ， 横截面上某点处的应力与此点距中性轴的距离 y成比例。 Mx y y NA Neutral Axis 弯曲应力 /纯弯曲时梁横截面上的正应力2018/7/22 9x z
4、y y dA M Area, A （ 3）由静力平衡方程确定中性轴的位置及应力计算公式由 得将 (b)式代入，得因此 z轴通过截面形心 ，即 中性轴通过形心，并垂直于载荷作用面 。=0弯曲应力 /纯弯曲时梁横截面上的正应力2018/7/22 10z y x y y NANeutral Axis Centroid 因此 z轴通过截面形心 ，即 中性轴通过形心，并垂直于载荷作用面 。弯曲应力 /纯弯曲时梁横截面上的正应力2018/7/22 11静力平衡条件 自动满足。考虑平衡条件y 、 z轴为截面的形心主惯性轴(d)x z y ydA M Area, A ?问题问题 :对于实心截面，若截面无对称轴
5、对于实心截面，若截面无对称轴，要使梁产生平面弯曲，外力作，要使梁产生平面弯曲，外力作用必须满足什么条件用必须满足什么条件 ?弯曲应力 /纯弯曲时梁横截面上的正应力2018/7/22 12对于实心截面，若截面无对称轴，要使梁产生平面弯曲，亦必须满足 。即 y、 z轴为截面的形心主惯性轴。 所以只要外力作用在形心主惯性平面内同样可产生平面弯曲。x z y y dA M Area, A 弯曲应力 /纯弯曲时梁横截面上的正应力2018/7/22 13考虑平衡条件为截面对中性轴的惯性矩。(e)x z y ydA M Area, A 弯曲应力 /纯弯曲时梁横截面上的正应力2018/7/22 14可得 挠曲
6、轴的曲率方程 ：为常数，挠取轴是一条圆弧线 抗弯刚度 。正应力的计算公式为横截面上最大正应力为 截面的 抗弯截面系数， 反映了截面的几何形状、尺寸对强度的影响。弯曲应力 /纯弯曲时梁横截面上的正应力2018/7/22 15例 6-1 火车车轮轴承受轮载为 F=20 kN，已知轴的直径为 d = 55 mm, 试求轴中心处的最大弯曲应力。在轴中心处的最大弯曲应力相同的条件下，将实心轴改成空心轴，空心轴内外径比为0.6。 求空心轴和实心轴的重量比。L=800a=100 aFFzdd1 zD 由此可见，载荷相同、由此可见，载荷相同、max要求相等的条件下，要求相等的条件下，采用空心轴节省材料。采用空
7、心轴节省材料。Fa(-)M-图弯曲应力 /纯弯曲时梁横截面上的正应力2018/7/22 16“凡梁之大小，各随其广分为三凡梁之大小，各随其广分为三分，以二分为厚。分，以二分为厚。 ” 宋宋 李诫李诫 营造法式营造法式 讨论： 从圆木中锯出的矩形截面梁，矩形的高 :宽 =？才能最有效利用材料？ bh弯曲应力 /纯弯曲时梁横截面上的正应力2018/7/22 17纯弯曲时横截面上应力计算公式：纯弯曲时横截面上应力计算公式： 挠曲轴的曲率方程：挠曲轴的曲率方程：适用范围：(1) 平面弯曲； （ 2） 纯 弯曲；(3)小变形 在弹性变形范围内；(4)梁材料均匀。弯曲应力 /纯弯曲时梁横截面上的正应力20
8、18/7/22 18复合材料梁横截面上的应力分布复合材料梁横截面上的应力分布讨论讨论E2E1M M（平面截面假设仍然适用）A2A1弯曲应力 /纯弯曲时梁横截面上的正应力2018/7/22 19矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面系数：zz竖放：bhhb平放：若 hb, 则 。弯曲应力 /纯弯曲时梁横截面上的正应力2018/7/22 20zdd zD弯曲应力 /纯弯曲时梁横截面上的正应力2018/7/22 21二、横力弯曲时梁的正应力 正 应力强度条件纯弯曲横力弯曲横力弯曲LaaFFF(+)(-)-FFa(-)M-图纯弯曲时推得的正应力公式纯弯曲时推得的正应力公式是否适用于一般情形（横力是否
9、适用于一般情形（横力弯曲）？弯曲）？2018/7/22 22横力弯曲横截面翘曲平面假设不成立l/h 比较大时，误差很小， 能满足工程需要由 纯弯曲 推导得到的结果可推广到 横力弯曲 的梁：(b) 对 R/h5的小曲率梁，可使用直梁公式。(a) 横力弯曲的细长梁，即梁的宽高比 :L/h5时，其误差不大；Rh弯曲应力 /横力弯曲时梁的正应力 正 应力强度条件2018/7/22 23非纯弯曲时的挠曲轴的曲率方程为：正应力计算公式为弯曲应力 /横力弯曲时梁的正应力 正 应力强度条件2018/7/22 24弯曲正应力强度条件：可 解决三方面问题：（ 1） 强度校核 ，即已知 检验梁是否安全；（ 2） 设
10、计截面 ，即已知 可由 确定截面的尺寸；（ 3） 求许可载荷 ，即已知 可由 确定。弯曲应力 /横力弯曲时梁的正应力 正 应力强度条件2018/7/22 25例 6-2简易吊车， F=68 kN，作用在梁的中间截面上 , l = 9.5 m, 40c 型工字钢 的自重为 q， =140MPa, 校核安全性 .l=9.5mA BqF Fl/4 ql2/8弯曲应力 /横力弯曲时梁的正应力 正 应力强度条件2018/7/22 26A B2m 1m3mP=20kNEC Dq=10kN/m20030200yCz约束力： 30例 6-3 铸铁梁的截面为 T字形，受力如图。已知材料许用拉应力为 ，许用压应力
11、为 。试校核梁的正应力强度。梁的截面倒置，情况又如何？弯曲应力 /横力弯曲时梁的正应力 正 应力强度条件2018/7/22 2720030200ycz解： （ 1）确定中性轴的位置弯曲应力 /横力弯曲时梁的正应力 正 应力强度条件2018/7/22 28A B2m 1m3mP=20kNC Dq=10kN/m（ 2）绘剪力图、弯矩图约束力：(+)(-)(-)20kN10kN10kN(+)(-)10kN.m20kN.m由 、 知：弯曲应力 /横力弯曲时梁的正应力 正 应力强度条件2018/7/22 29（ 3）正应力强度校核对于 A截面：z20030200ycz弯曲应力 /横力弯曲时梁的正应力 正 应力强度条件2018/7/22 30
