1、 弧坐标,2)在轨迹上任选一点作为坐标原点；,3)一般以点的运动方向作为正向。,3.自然法：,称为 以弧坐标表示的点的运动方程,或,定义,动点M的位置,弧长 s,：用动点沿已知轨迹的运动方程来确定其位置,已知点的运动轨迹,或 称为 点沿已知轨迹的运动方程,1)以运动轨迹为坐标轴；,的方法 称为 自然法,时间,关于密切面的两个概念：, 曲线上的, 曲线在密切面内的弯曲程度，称为曲线的曲率。,当P点无限接近于, 密切面, 自然轴系,用1/r 表示,r 称为曲率半径,P 点时，过这两点的切,线所组成的平面，称为,P 点的密切面。,位于密切面内的平面曲线。,在动点附近,无穷小邻域内的一段弧长，,可以看
2、作是,P空间曲线上的动点；,：通过P点, 法线 法面内的, 副法线B 法面内, 主法线N 法面, 构成了自然坐标系的单位矢量, 法面,(无数条),自然轴系,坐标原点为P点,直线,与密切面的交线,与主法线垂直的法线,密切面,法面,P空间曲线上的动点,与切线T垂直的平面,的直角坐标系,从切面,自然轴系的特点：,跟随动点在,边，曲率中心在主法线,上；,轨迹上运动。,为变矢量, 正向指向弧坐标正向；, 正向由 确定。, 正向指向曲线内凹的一, 点的速度和加速度在自然轴系上的投影,速度：,加速度：,其中：,加速度：,其中：,当 很小时，,所以：,得到：,曲率 1/r,即 主法线方向。,at,an,在密切
3、面内，且垂直于 ，,例2 汽车以匀速度v = 10 m/s 过拱桥，桥面曲线,解：,特别提醒：,= 0,y = 4 f x(L x)/ L2, h = 1m,求：车到桥最高点时的加速度。,的正压力与摩擦力。,如车辆快速下隧道会产生怎样情况?,a = an 法向加速度会产生“离心力”，,因此，驾驶员要特别注意安全。,(曲线平坦),从而减少轮子,用建立运动方程的方法,1.分析点的运动轨迹，建立适当的坐标系；,2.根据已知的运动学条件和约束几何关系，,3.应用所选择的坐标类型的相应公式，,运动方程,求解点的运动学问题的解题步骤：,在任意时刻的坐标表示为时间的函数；,速度和加速度。,将动点,计算动点的
4、,方法,杆AB绕A轴以j = 5t（j 以rad计、t以s计）的规律转动，其上一小环M将杆AB和半径为R（以m计）的固定大圆环套在一起。若以直角坐标Oxy为参考系，则小环M的运动方程为_。,x = Rcos(10t ) y = Rsin(10t ),2j,若以O1为原点，逆时针为正向，则用自然法表示的点M的运动方程为_。,运动方程的建立：,例3 车床在车削园柱时的匀角速度为，螺距为h。求：车刀端部P在动坐标系中的速度v、加速度a。,P在动坐标系中,解：,x = Rcos,y = Rsin,vx = R sin t,vy = R cos t,ax = R 2 cos t,ay = R 2 sin t,P,P点沿 z 轴直线运动,P点的 x、y 坐标,= Rcos t,= Rsin t,P,螺距,
