1、电信提高0901班 刘博晓,简单规划模型,数学规划模型简介,数学规划模型是运筹学的一个重要分支目的是为求得可行的最优解起源于工业生产组织管理的决策问题现广泛应用于最优化设计、工农业生产、国防建设、交通运输、决策管理与规划等领域。,1,2,整 数 规 划 (Integer Programming),分支定界法,整数规划的模型,01 整数规划的隐枚举法,现有一批某种型号的圆钢长8米，需要截取2.5米长的毛坯100根，长1.3米的毛坯200根。问如何才能既满足需要，又能使总的用料最少？,设变量为 第 j 种方法的所有 原料件数,例1,取整,例2 某公司计划用集装箱拖运A、B两种货物，每箱的体积、重量
2、、可获利润及拖运所受的限制如下表：,问两种货物各运多少箱可获得最大利润?,解：,一般形式,目前，常用的求解整数规划的方法有：分支定界法；对于特别的01规划问题采用隐枚举法和匈牙利法。,整 数 规 划 (Integer Programming),分支定界法,整数规划的模型求解方法,01 整数规划的隐枚举法,（一）、基本思路 （以求最大值为例）,考虑整数问题：,1、先不考虑整数约束，解( ILP )的松弛问题( LP )，可能得到以下情况之一：.若( LP )没有可行解，则( ILP )也没有可行解，停止计算。.若( LP )有最优解，并符合( ILP )的整数条件，则( LP )的最优解即为(
3、ILP )的最优解，停止计算。.若( LP )有最优解，但不符合( ILP )的整数条件，转入下一步。为讨论方便，设( LP )的最优解为：,2、分枝：在( LP )的最优解 X(0)中，任选一个不符合整数条件的变量，例如xr= （不为整数），以 表示不超过 的最大整数。构造两个约束条件xr 和xr 1从而把原问题分划为两个子问题，即分枝。然后将这两个约束条件分别加入问题( ILP ) ，形成两个子问题( ILP1)和( ILP2 ) ，再解这两个问题的松弛问题( LP1)和( LP2) 。,3、比较与剪枝 ：解子问题1、2，得值 得解 。若 且 为整数解，则解决问题，即对B1、B2剪枝；否则
4、将B1问题再划分为两个LP子问题，解出两子问题最优解后再决定是否划分B2。对 同样处理，直至分枝均剪枝，即可得ILP最优解。,剪枝:无可行解已经得到整数解目标函数值小于下界,解：1、先求解整数线性规划问题A对应的线性规划问题B:,例3 分枝定界法求解整数规划问题A:,2、分枝定界1）第一次分枝,2）第二次分枝：,整 数 规 划 (Integer Programming),分支定界法,整数规划的模型求解方法,01 整数规划的隐枚举法,例4 指派问题 分配n个人去完成n项任务，第i个人完成第j项任务的效率为 ，每个人恰好完成一项任务，如何分配使总效率最大？,解：设0-1变量 =,则此问题的模型为m
5、axZ=,S.t.,一般地，指派n个人去完成m项任务，且每个人可完成多项任务的指派问题易于转化为例4的情形来处理。指派问题的模型是一个特殊的ILP，它要求变量取值为0或1，称为0-1线性规划，其一般模型为minz=cx,S.t.,穷举法 需要检查变量取值的 个组合！,隐枚举,穷举的过程中删略了某些易知其不可行或非最优的解,例5 用隐枚举法求解,minZ=8X1 + 2X2 +4X3+7X4 +5X5,S.t.,解：Step1 由于目标函数中各变量的系数均为正数，暂令,得z=0, 但非可行解。,Step2 令z中系数最小的,得z=2，但非可行解。,Step3 令z中系数次小的,得z=4，但非可行
6、解。,Step4 z中最小的两系数之和为6，而第三小的系数为5，故令,，得z=5，也非可行解。,Step5 比较z中最小两系数之和6与第四小的系数7，故可令,得z=6，且它是可行解，故也是最优解，最优值为6。,若z中某个变量Xi的系数ci0,则可令Xi=1-Yi（Yi为0或1） 来处理。此外，对于极大化问题，或将其化为极小化，或先 暂令所有变量取1，类似本例求解,1,2,动 态 规 划,在实践中，人们常常会遇到这样决策问题，由于过程的特殊性，可以将决策的全过程依据时间和空间划分为若干个相互联系的阶段。动态规划方法的关键是将多阶段的决策问题变换成一系列的单阶段问题，并逐一解决。,什么是动态规划？
7、,这类决策问题，属于运筹学的又一个重要分支，是一种多阶段决策过程最优化问题，称为动态规划（Dynamic programming）问题。动态规划在工程技术、企业管理、工农业生产及军事等部门都有广泛的应用。动态规划不是一个具体的算法，而是求解某类问题的一种方法，考察问题的一种途径。必需对具体问题运用动态规划的原理和方法进行具体分析，因此解题时，要有丰富的想象力去建立模型，灵活的技巧去求解。动态规划方法的关键是将多阶段的决策问题变换成一系列的单阶段问题，并逐一求解。,什么是动态规划？,【例1】先看一个最优化的例子： 最短路线问题-选择线路网络中由A到G的线路，使总距离（或总费用）最少？,A,B1,
8、B2,C1,C3,C4,C2,D1,E1,F1,G,D2,D3,E2,E3,F2,5,3,1,3,6,6,8,7,6,6,6,3,3,3,3,3,3,3,8,5,5,8,4,4,2,2,2,2,1,5,共有232221 = 48 条路线可供选择,什么是动态规划？,向后递推 每阶段各节点到 G 点的最短距离,A,B1,B2,C1,C3,C4,C2,D1,E1,F1,G,D2,D3,E2,E3,F2,5,3,1,3,6,6,8,7,6,6,6,3,3,3,3,3,3,3,8,5,5,8,4,4,2,2,2,2,1,5,回代：A B1 C2 D1 E2 F2 G,4,3,7,5,9,7,6,8,13
9、,10,9,12,13,16,18,最短路线问题的动态规划模型阶段变量 k = 1, 2, 3, , 6 状态变量 如 s2 S2 = B1,B2 决策变量 x2(B1) D2(B1) = C1,C2,C3 策略 如 A B1C2 D1 E2 F2 G状态转移方程 sk+1 = xk(sk)阶段指标函数 Vkn = dk( sk, xk ) + dk+1( sk, xk ) + d6(s6, x6 )= dk( sk, xk ) + Vk+1,n(sk+1,xk+1,s6,x6),状态变量要求无后效性,指标函数的可分性,A,B1,B2,C1,C2,C3,C4,D1,D2,D3,E1,E2,E3
10、,G,5,3,1,6,3,6,7,8,6,8,3,5,3,3,8,4,2,2,2,1,3,3,3,5,5,2,6,6,F1,F2,4,3,G,六个阶段 状态（结点）决策 （多种选择） 状态转移方程（连线） 指标函数（到终点的距离）,G,4,3,F1,F2,G,阶段 k = 6 状态 S6 = F1, F2 ,逆序递推,0,4,3,5,E1,E2,E3,3,5,2,6,6,4,3,F1,F2,阶段 k = 5 状态 S5 = E1, E2, E3 ,逆序递推,7,5,9,D1,D2,D3,E1,E2,E3,2,2,2,1,3,3,阶段 k = 4 状态 S4 = D1, D2, D3 ,逆序递推
11、,7,5,9,7,6,8,C1,C2,C3,C4,D1,D2,D3,6,8,3,5,3,3,8,4,阶段 k = 3 状态 S3 = C1, C2, C3, C4 ,逆序递推,7,6,8,13,10,9,12,B1,B2,C1,C2,C3,C4,1,6,3,6,7,8,阶段 k = 2 状态 S2 = B1, B2 ,逆序递推,13,10,9,12,13,16,A,B1,B2,5,3,阶段 k = 1 状态 S1 = A ,逆序递推,13,16,18,B1,C2,D1,E2,F2,G,A,B2,C1,C3,C4,D2,D3,E1,E3,G,5,3,1,6,3,6,7,8,6,8,3,5,3,3
12、,8,4,2,2,2,1,3,3,3,5,5,2,6,6,F1,4,3,反向追踪 5 + 3 + 3 + 2 + 2 + 3 = 18,动态规划的基本原理,最短路线问题求解,划分成六个阶段， k = 1, 2, , 6,状态集合，S1 = A， S2 = B1, B2， S3 = C1, C2, C3, C4， S4 = D1, D2, D3， S5 = E1, E2, E3， S6 = F1, F2,状态转移方程：sk+1 = xk(sk),指标函数：,其中 dj(sj, xj) 表示由 sj 到 sj+1 的距离,递推方程：,动态规划的基本原理,基本原理 状态变量既能描述过程演变，又要满足
13、无后效性； 最优化原理：最优策略的任何子策略都是最优的。,基本方程：,动态规划建模,确定阶段和阶段变量 明确状态变量和状态可能集合，使它既能描述过程的演变，又要满足无后效性 确定决策变量和决策允许集合 确定状态转移方程 明确解得效应和目标，得到动态规划的基本方程,动态规划的方法将一些复杂的多阶段决策问题分解成相互联系的容易解决的子问题来解决，易于确定全局最优解，节省计算量，提高计算效率。动态规划是解决多阶段决策问题的一种十分有用而且灵活性很强的方法，应用广泛。但没有统一的标准模型，需要丰富的想象力和灵活的技巧性。,【例2】机器负荷分配问题 某种机器可以在高低两种负荷下进行生产，在高负荷下生产的
14、机器数量为 x ，产品的年产量为 gx ，机器的完好率为 a (0 a 1)；投产低负荷的机器数量 y ,年产量为 h y，相应的完好率为 b (a b 1) 。刚开始生产时，完好的机器数量为 s1，要制定一个五年计划，确定每年投入高低两种负荷下生产的完好的机器数量，使 5 年内产品的总产量达到最大？设 s1 = 1000（台），g = 8，h = 5，a = 0.7，b = 0.9。,这是一个五阶段决策问题,s1,s2,s3,s5,s4,x1,x2,x3,x4,【例2】设s1 = 1000（台），g = 8，h = 5，a = 0.7，b = 0.9。 阶段变量 k = 1,2, ,5 (年
15、度)， 状态变量 sk 第 k 年初机器完好数， 决策变量 xk 第 k 年初投入高负荷生产的机器数， 允许决策集合 状态转移方程 第 k 年的产量 阶段指标函数,逆序递推求解 k = 5，k = 4，k = 3， k = 2， k = 1，,状态转移方程,最优函数单调递增,回代找最优决策,最优策略是前两年将全部完好机器投入低负荷生产，后三年将全部完好机器投入高负荷生产，最高产量是23700台，第 5 年末尚有完好机器 278 台。,最优策略为,学习动物精神,11、机智应变的猴子：工作的流程有时往往是一成不变的，新人的优势在于不了解既有的做法，而能创造出新的创意与点子。一味地接受工作的交付，只能学到工作方法的皮毛，能思考应变的人，才会学到方法的精髓。,学习动物精神,12、善解人意的海豚：常常问自己：我是主管该怎么办才能有助于更好的处理事情的方法。在工作上善解人意，会减轻主管、共事者的负担，也让你更具人缘。,谢谢大家！,
