1、考点一,考点二,考点三,考点四,返回目录,1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离 点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 ,直线l叫做抛物线的 .,相等,焦点,准线,返回目录,2.抛物线的标准方程和几何性质(如表所示),x轴,1,1,返回目录,y轴,返回目录,已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时P点的坐标.,【分析】由定义知,抛物线上点P到焦点F的距离等于P到准线l的距离d,求|PA|+|PF|的问题可转化为|PA|+d的问题.,考点一 抛物线的定义,返回目录,【解析】将x=3代入抛
2、物线方程y2=2x,得y= . 2,A在抛物线内部.如图，设抛物线上点P到准线l:x=- 的距离为d,由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d,当PAl时,|PA|+d最小,最小值为 ,即|PA|+|PF| 的最小值为 ,此时P点纵坐标 为2,代入y2=2x,得x=2,点P坐标为(2,2).,重视定义在解题中的应用,灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离到准线距离的等价转化,是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.,返回目录,对应演练,已知点P在抛物线y2=4x上,那么当点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为（ ） A.( ,-1) B.( ,1) C.(1
3、,2) D.(1,-2),A(1)点P到焦点距离等于点P到准线距离,即求点P到点Q与点P到准线距离之和最小时P点坐标,当QP垂直准线时,所求距离之和最小,P点纵坐标y0=-1,x0= , P( ,-1).故应选A.),返回目录,返回目录,试分别求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程: (1)过点(-3,2); (2)焦点在直线x-2y-4=0上.,考点二 求抛物线方程,【分析】按先定位,再定量的原则求抛物线方程.,【解析】 (1)设所求的抛物线为y2=-2px(p0)或 x2=2py(p0),过点(-3,2),4=-2p(-3)或9=2p2，p= 或p= .所求的抛物线方程
4、为y2=- x或x2= y,前者的 准线方程是x= ,后者的准线方程是y=- .,返回目录,返回目录,(2)令x=0得y=-2,令y=0得x=4,即抛物线的焦点为 (4,0)或(0,-2).当焦点为(4,0)时, =4,p=8.此时抛物线方程为y2=16x.当焦点为（0，-2）时， =2，p=4，此时抛物线方程为x2=-8y.故所求的抛物线方程为y2=16x或x2=-8y，对应的 准线方程分别是x=-4或y=2.,返回目录,求抛物线方程的基本方法仍然是待定系数法，需要注意的是：（1）当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型的哪一种；（2）要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与
5、方程之间的对应关系；（3）要注意焦参数p的几何意义，并利用它的几何意义来解决问题，特别是当顶点不在原点时，更要注意利用参数p的几何意义，以及焦点到顶点的距离和顶点到准线的距离均为 来求其方程.这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解. 反过来，也要注意由抛物线方程读有关信息，如参数p及顶点坐标，进而求出有关几何性质.,返回目录,对应演练,根据下列条件求抛物线的标准方程： （1）抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点； （2）过点P(2,-4); （3）抛物线焦点F在x轴上，直线y=-3与抛物线交于点 A，|AF|=5.,返回目录,（1）双
6、曲线方程化为 ，左顶点为(-3,0)， 由题意设抛物线方程为y2=-2px(p0)且- =-3,p=6, 方程为y2=-12x.（2）由于P(2，-4)在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为y2=mx或x2=ny，代入P点坐标求得m=8,n=-1, 所求抛物线方程为y2=8x或x2=-y.（3）设所求焦点在x轴上的抛物线方程为y2= 2px(p0)，A(m,-3)，由抛物线定义得5=|AF|=|m+ |，又(-3)2=2pm,p=1或p=9.故所求抛物线方程为y2=2x或y2=18x.,已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点A（m，-3）到焦点F的距离为5，求m的值，并写出
7、此抛物线的方程.,【分析】因点A（m，-3）在直线y=-3上，所以抛物线的开口方向存在向左、向右、向下三种情况，必须分类讨论.,考点三 抛物线的性质,返回目录,返回目录,【解析】若抛物线开口方向向下，设抛物线方程为x2=-2py（p0），这时准线方程为y= ，由抛物线定义知 -（-3）=5，解得p=4，抛物线方程为x2=-8y，这时将点A（m，-3）代入方程，得m=2 .若抛物线开口方向向左或向右，可设抛物线方 程为y2=2ax（a0）,从p=|a|知准线方程可统一成x= - 的形式，于是从题设有 +m=52am=9,解此方程组可得四组解:a1=1 a2=-1 a3=9 a4=-9m1= ，
8、m2=- ， m3= ， m4=- . y2=2x,m= ;y2=-2x,m=- ; y2=18x,m= ;y2=-18x,m=- .,返回目录,返回目录,抛物线的标准方程有四种,在求解过程中,首先要根据题目描述的几何性质判断方程形式,若只能判断对称轴,而不能判断开口方向,可设为x2=ay(a0)或y2=ax(a0)，然后利用待定系数法和已知条件求解.,返回目录,对应演练,设P是抛物线y2=4x上的一个动点. (1)求点P到点A（-1，1）的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值; (2)若B（3,2），求|PB|+|PF|的最小值.,如图所示，（1）抛物线焦点为F(1,0)，准线方程为x
9、=-1. P点到准线x=-1的距离等于P点到F(1,0)的距离, 问题转化为:在曲线 上求一点P，使点P到 A（-1,1）的距离与P 到F（1，0）的距离 之和最小.显然P是AF 的连线与抛物线的交 点,最小值为|AF|= .,返回目录,(2)同理|PF|与P点到准线的距离相等,如图: |P1Q|=|P1F|, |PB|+|PF|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4. |PB|+|PF|的最小值为4.,返回目录,返回目录,如图,有一块抛物线形钢板,其垂 直于对称轴的边界线AB长为2r, 高为4r,计划将此钢板切割成等 腰梯形的形状 ,以 AB为下底 , 上底CD的端点在抛物线上 , 记 CD=2
10、x,梯形面积为S.(1) 求面积S,使其为以x为自变量的函数式,并写出其定义域; (2)求面积S的最大值.,考点四 抛物线的应用,【分析】根据题意先建立坐标系,利用CD的长求出梯形AB CD的高,进而表示梯形面积;然后利用导数求面积S的最大值.,返回目录,【解析】 (1)建立如图所示的平面直角坐标系xOy,则B(r,-4r).设抛物线方程为x2=-2py(p0).点B(r,-4r)在抛物线上,r2=8pr,即p= .抛物线方程为x2=- y.又点C的横坐标为x,则点C的纵坐标为y= .梯形ABCD的高h=4r- .S= (2r+2x)(4r- )= (x+r)(r2-x2),其定义域为x|0x
11、r.,返回目录,(2)记f(x)=(x+r)(r2-x2),00; 当 xr时,f(x)0, 所以f( )是f(x)的最大值. 因此,当x= 时,S也取得最大值,最大值为 = . 即梯形面积S的最大值为 .,返回目录,“用料”问题为应用题的基本类型之一,其主要特点为:首先,要依据题目条件建立函数关系式,然后求解目标函数的最大值或最小值,最后将其还原为实际问题来解决.在本题的求解过程中合理建系,求解抛物线的方程是解题的关键,利用导数求解函数的最值为基本的解题方法.,对应演练,某大桥在涨水时有最大跨度的 中央桥孔如图所示,已知上部呈 抛物线形,跨度为20米 , 拱顶距 水面6米 , 桥墩高出水面4
12、图米. 现有一货船欲过此孔,该货船水下宽度不超过18米,目前吃水 线上部分中央船体高5米,宽16米,且该货船在现在状况下还 可多装1 000吨货物,但每多装150吨货物,船体吃水线就要上 升0.04米,若不考虑水下深度,问:该货船在现在状况下能否直 接或设法通过该桥孔?为什么?,返回目录,如右图所示,建立直角坐标系,设抛物线方程为y=ax2,则A(10,-2)在抛物线上,-2=102a,a =- ,方程即为y=- x2.让货船沿正 中央航行,船宽16米,而当x=8时,y=- 82=-1.28米，船体在x=8之间通过，由B(8,-1.28)，B点离水面 高度为6+(-1.28)=4.72(米)，
13、 而船体水面高度为5米,无法直接通过.又5-4.72=0.28(米), 0.280.04=7,而1507=1 050(吨),要用多装货物的方法也无法通过，只好等待水位下降.,返回目录,返回目录,1.抛物线标准方程的求法(1)定义法；（2）待定系数法.抛物线的标准方程有四种类型，所以判断类型是解题的关键.在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定一个抛物线的方程.焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一写成y2=ax（a0）;焦点在y轴上的抛物线的标准方程可统一写成x2=ay（a0）.,2.焦点弦问题设AB是过抛物线y2=2px焦点的弦.A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2= ；y1y2=-p2；|AB|=x1+x2+p.,返回目录,祝同学们学习上天天有进步！,
