1、,数理统计与随机过程第1章 第五章复习,主讲教师：尹素菊 副教授,北京工业大学应用数理学院,第一章 随机事件,1. 事件A, P(A), 概率的性质,2. 古典概型中求 P(A)= kA/n,3. 条件概率,4. 事件的独立 P(AB)= P(A) P(B),定理（独立的性质）：若事件A, B独立则,也相互独立。,技巧：n个独立事件并的概率公式,设事件 相互独立,则,P(A1An),全概率公式,贝叶斯公式,乘法公式,5. 乘全贝三大公式,P (A1A2An）=P(A1)P(A2|A1) P(An| A1A2An-1),跳过例题,1. 要注意区分互斥（互不相容）事件，对立（互补，或互逆）事件及独
2、立事件的关系及区别。,2. 会利用事件的概率性质求概率值,性质1 对任一事件A ，有 (4),性质2 (5),性质3 若事件A1, A2 , An 两两互斥，则有(6),性质4 设、B是两个事件，若 , 则有 (7),当事件之间相互独立时有,P(A1 An),推广到n个事件的独立性定义,可类似写出：,设A1,A2, ,An是 n个事件，如果对任意k (1k n),任意1 i1i2 ik n,具有等式则称A1,A2, ,An为相互独立的事件.,多个相互独立事件具有如下性质:若事件A1,A2,An相互独立,则:这些事件中任意k(2)个事件也相互独立,解：利用关系式,A、B独立,答案：0.7,3.
3、P(A)=0.5, P(AB)=0.3, 则P(A-B)？, P( )=?,解：利用关系式,4. 已知P(A)=0.2, P(B)=0.5, 则当A, B 互斥时,答案： 0.3 , 0.4,5. 已知P(A)=0.7, P(B)=0.4,由题设条件得,当P(A1A2An-1)0时，有 P (A1A2An） =P(A1)P(A2|A1) P(An| A1A2An-1),推广到多个事件的乘法公式:,解:,例：一批灯泡共100只,其中10只是次品,其余为正品,作不放回抽取,每次取一只,求:第三次才取到正品的概率.,设Ai =第i次取到正品, A=第三次才取到正品.则:,例 在4次独立试验中，事件A
4、至少出现1次的 概率为0.5904，求在3次独立试验中，事件A 恰出现1次的概率。,解：设B4次独立试验中，事件A至少出现1次,令常数p表示在试验时事件,A出现的概率，,C3次独立试验中，事件A恰出现1次,第二、四章 总复习,一、离散型随机变量的表示方法,（1）列表法：,（2）公式法,其中 (k=1,2, ) 满足：,（2）,用这两条性质判断 一个函数是否是 概率分布,常根据此求 概率分布中未 知字母的取值,D(X)=E(X2)-E(X)2,1 o,2 o,这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某r.vX的 概率密度函数的充要条件.,利用,D(X)=E(X2)-E(X)2,设X是一个随机变
5、量，Y=g(X)，则,当X为离散型时,P(X= xk)=pk ;当X为连续型时,X的密度函数为f(x).,跳过例题,答案: 1.2 0.36,解：由,解：,三、随机变量的分布函数,设X是一个随机变量.称函数 F(x)= PXx,-x 为随机变量X的分布函数.,F(x) 是r.v X取值不大于 x 的概率.,注意分段 讨论,2 利用,3 求r.v.落在(a, b内的概率利用,对连续型r.v.,4 对连续型r.v, 已知F(x)求f(x), 利用,离散型r.v.已知F(x)求pk有,F(x)的自变量的分段点为r.v.的取值，其概率 值即为对应F(x)函数值的跳跃值,跳过例题,当 x0 时， X x
6、 = ， 故 F(x) =0,例3,，求 F(x).,当 0 x 1 时，F(x) = P(X x) = P(X=0) =,X的分布律为,当 1 x 2 时，F(x) = P(X=0) + P(X=1) = + =,当 x 2 时，F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1,例3,，求 F(x).,X的分布律为,故,注意右连续,例4 设离散型随机变量X的分布函数为,则X的概率分布为,求 F(x).,例5 设,由于f(x)是分段 表达的，求F(x)时 注意分段求.,对连续型r.v，若已知F(x)，我们通过求导也可求出 f (x)，请看下例.,即,例6 设r.v X的分
7、布函数为,(1) 求X取值在区间 (0.3,0.7)的概率；(2) 求X的概率密度.,解: (1) P(0.3X0.7)=F(0.7)-F(0.3),=0.72-0.32=0.4,(2) f(x)=,注意到F(x)在1处导数不存在，根据改变被积函数在个别点处的值不影响积分结果的性质，可以在没意义的点处，任意规定 的值.,例7 设连续型 r.v. X的分布函数为,试确定A,B的值,解：根据F(x)的性质得,再利用F(x)的连续性,注意y=g(x)是否为严格单调函数,x=h(y)是y=g(x)的 反函数,y=g(x)不是严格单调函数,先求Y的分布函数:FY(y)=PYy=Pg(X)y通过把FY(y
8、)对y求导,得到fY(y):fY(y)= FY(y),跳过例题,例8 设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，求Y=-2lnX的概率密度.,解：,在区间(0,1)上,函数lnx0,故 y=-2lnx0,于是 y在区间(0,1)上单调下降，有反函数,由前述定理得,注意取 绝对值,已知X在(0,1)上服从均匀分布，,代入 的表达式中,得,即Y服从参数为1/2的指数分布.,求导可得,当 y0 时,注意到 Y=X2 0，故当 y 0时，,解： 设Y和X的分布函数分别为 和 ，,若,则 Y=X2 的概率密度为：,五、三大离散(两点，二项，泊松)，三大连续 型(均匀，指数，正态)r.v.要求熟悉,会查标准
9、正态分布表,六、常见随机变量的期望和方差,(1) XB(1,p), E(X)=p, D(X)=p(1-p)=pq,(2) XB(n,p), E(X)=np, D(X)=np(1-p),(3) XP( ), E(X)= , D(X)=,(4) XU(a,b), E(X)= , D(X)=,(5) XE( ), E(X)= , D(X)=,(6) X , E(X)= , D(X)=,跳过例题,例10 设随机变量XN(3,4),已知(0.5)=0.6915,答案：0.6915 0.1915 c3,求常数c，使,解,例11 设离散型随机变量X服从参数为2的泊松分 布，即XP(2)，若Z=3X-2,则E
10、(Z)=?, D(Z)=?,答案：4，18,例12设随机变量X服从参数为的泊松分布，且PX=1=PX=2,则E(X)=?,D(X)=?,答案：2，2,第三章 第四章 总复习,1.二维随机变量（X,Y），,X和Y的联合分布函数,Px1Xx2,y1Yy2 =F(x2,y2)-F(x2,y1)- F(x1,y2)+F(x1,y1),分布函数性质：yR1取定,F(-,y)=0xR1取定,F(x,-)=0 另外 F(-,-)=0 F(,)=1,2. 二维离散型随机变量：, x,y R1 有 0F(x,y)1,满足：,3.,注意积分区域！积分的上下限一定要注意写对！,在 f (x,y)的连续点,则( X,
11、Y )关于X的边缘概率函数为,( X,Y )关于Y的边缘概率函数为,注意积分 区域！,跳过例题,例1. 设(X,Y)是二维离散型r.v.,联合概率分布为,解,得,例2 设(X,Y)的概率密度是,求 (1) c的值； （2）两个边缘密度。,=5c/24=1,c =24/5,解：(1),例2 设(X,Y)的概率密度是,解: (2),求 (1) c的值; (2) 两个边缘密度 .,注意积分限,注意取值范围,例2 设(X,Y)的概率密度是,解: (2),求 (1) c的值; (2) 两个边缘密度 .,注意积分限,注意取值范围,即,解：(1),（2） P1X1, 1Y1,求： （1）常数A；（2）P1X
12、1, 1Y1 (3) PX+Y 1; (4) (X, Y)的联合分布函数F( ),例3. 设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度函数为,（3）,（4）当x0, y0时，（X,Y）的联合分布函数为,所以,解：,x0,即：,对一切x, y, 均有：故X,Y 独立,y 0,例6.设随机变量(X,Y)的概率密度函数为,试求: (1) X,Y的边缘概率密度; (2) X,Y的条件概率密度; (3)计算,解: (1),(2)X=x时, Y的条件概率密度函数为:当,(3),类似得到,当 时X的条件概率密度为,4. 随机变量函数的分布,Z=X+Y的概率密度为:,n个独立的正态分布的线性组合仍为正态分布,即有,
13、特别地：当X,Y独立时，Z=X+Y的概率密度为:,(1) 和的分布,特别地，当X1,Xn独立同分布时，有,N=min(X1,Xn)的分布函数是:,M=max(X1,Xn)的分布函数为:,Fmax (z)=F(z) n ， Fmin (z)=1-1-F(z) n .,（2）极值分布,跳过例题,为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域,解: 由卷积公式,也即,为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域,如图示:,也即,于是,例9 设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为,(1) 求X和Y的边缘概率密度函数,(2) 求X+Y的概率密度函数,可得X,Y不相互独立.,(2),为确定积分限,先找出使被积
14、函数不为0的区域,当z,当z0,Case 2. 设二维连续型随机向量(X,Y)的密度函数为f(x,y),则:,Case 1.设二维离散型随机向量(X,Y)的分布律为pij i=1,2, ; j=1,2, .则:,跳过例题,设随机变量X和Y相互独立,概率密度函数分别为,求:E(XY),解:, G(X,Y)=XY,X和Y相互独立.,例 7,思考：E(X)=?如何求?,X和Y相互独立, Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y), Cov(X,Y)= Cov(Y,X),协方差,2.简单性质, Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b是常数,Cov(X,Y)
15、=E X-E(X)Y-E(Y) ,1.定义,计算式 Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y),若X与Y独立， Cov(X,Y)= 0 .,X和Y独立时， =0，但其逆不真.,跳过例题,答案：,例10,答案：,或,想想,第四章 数字特征,1. 数学期望 , r.v.函数的期望，期望的性质,（数学期望的性质）,1. 设C是常数，则E(C)=C;,4. 设X与Y独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);,2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X);,3. E(X1+X2) = E(X1)+E(X2);,（诸Xi 独立时）,技巧：计数器分解求期望！,2. 方差 ，及其性质,D(X)=E X-E(
16、X)2 E(X 2)-E(X)2,1. 设C是常数, 则D(C)=0,D(X+C)= D(X).,2. 若C是常数, 则D(CX)=C 2 D (X);,3. 若X1与X2 独立，则D(X1+X2)= D(X1)+D(X2);,可推广为：若X1, X2, , Xn相互独立, 则,对于多维随机变量，反映分量之间关系的数字特征中，最重要的就是,协方差和相关系数, Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y), Cov(X,Y)= Cov(Y,X)，,一、协方差,2.简单性质, Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b是常数,Cov(X,Y)=E X-E(X
17、)Y-E(Y) ,Cov(X,X)= D(X),(4) Cov(a, X) = 0, a是常数,Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y),可见，若X与Y独立， Cov(X,Y)= 0 .,若X1,X2, ,Xn两两独立,，上式化为,3. 随机变量和的方差与协方差的关系,D(X Y)= D(X)+D(Y) 2Cov(X,Y),跳过例题,解：,例1 设二维连续型随机向量(X,Y)的联合密度为,二、相关系数,在不致引起混淆时，记 为 .,若 =0， Y与X无线性关系;称X,Y不相关。,| |的值越接近于1, Y与X的线性相关程度越高;,| |的值越接近于0, Y与X的线性相关程度越弱.,相关
18、系数的性质：,Cov(X,Y)2D(X)D(Y),“ =”成立 X与Y之间有 线性关系,即 a和b,使Y=aX+b,对应 的(X,Y).,相关系数的直观演示,但对下述情形，独立与不相关等价,若X与Y独立，则X与Y不相关，,但由X与Y不相关，不一定能推出X与Y独立.,定义 4.4.1 对随机变量X,若E(Xk)存在,则称它为X的k阶原点矩,若EX-E(X)k存在,则称它为X的k阶中心矩.这里k=1,2, ,于是,E(X)是X的一阶原点矩,D(X)是X的二阶中心矩.,矩的定义,协方差Cov(X,Y)是X和Y的 二阶混合中心矩.,称它为X和Y的k+L阶混合（原点）矩.,称它为X和Y的k+L阶混合中心
19、矩.,可见，,对二维随机变量（X, Y）,排成矩阵的形式:,称此矩阵为（X, Y）的协方差矩阵.,类似定义n维随机变量(X1,X2, ,Xn) 的协方差矩阵.,为(X1,X2, ,Xn) 的协方差矩阵,称矩阵,i, j=1,2,n,f (x1,x2, ,xn),则称X服从n元正态分布.,其中C是(X1,X2, ,Xn) 的协方差矩阵.,|C|是它的行列式， 表示C的逆矩阵，,X和 是n维列向量， 表示X的转置.,设 =(X1,X2, ,Xn)是一个n维随机向量, 若它的概率密度为,n元正态分布的几条重要性质,1. X=(X1,X2, ,Xn)服从n元正态分布,n元正态分布的几条重要性质,2.
20、若 X=(X1,X2, ,Xn)服从n元正态分布，,Y1,Y2, ，Yk是Xj（j=1,2,n）的线性函数，,则(Y1,Y2, ，Yk)也服从多元正态分布.,这一性质称为正态变量的线性变换不变性.,n元正态分布的几条重要性质,3. 设(X1,X2, ,Xn)服从n元正态分布，则,“X1,X2, ,Xn相互独立”,等价于,“X1,X2, ,Xn两两不相关”,跳过例题,例2 设随机变量X和Y相互独立且XN(1,2), YN(0,1). 试求Z=2X-Y+3的概率密度.,故X和Y的联合分布为正态分布，X和Y的 任意线性组合是正态分布.,解: XN(1,2),YN(0,1)，且X与Y独立,D(Z)=4
21、D(X)+D(Y)=8+1=9,E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2+3=5,即 ZN(E(Z), D(Z),ZN(5, 32),故Z的概率密度是,ZN(5, 32),当y1时，,第五章 大数定律及中心极限定理,名词 设Y1,Y2 , ,Yn ,是一个随机变量序列.若对于任意n1,都有Y1,Y2 , ,Yn相互独立,则称Y1,Y2 , ,Yn ,是相互独立的.,相互独立的随机变量序列,名词设Y1,Y2 , ,Yn ,是一个随机变量序列.若对于某实数a ,有:0,当n时,则 P|Yn-a|1.那么,称此随机变量序列 依概率收敛于a,记作,依概率收敛,定理5.1.1（独立同分布下的大数定律）,设
22、X1,X2, 是独立同分布的随机变量 序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2, 则对任给 0,定理5.1.1的一种特例.,贝努利,设nA是n重贝努利试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，,引入,i=1,2,n,则,是事件A发生的频率,于是有下面的定理：,设nA是n重贝努利试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，则对任给的 0，,定理3（贝努利大数定律）,或,贝努利,贝努利大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率nA/n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小.,贝努利大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法.,任给0，,在独立试验序列中，当试验次数无限
23、增加时， 事件A的频率按概率收敛于事件A的概率.,定理5.1.2（辛钦定理）,设X1,X2, 是独立同分布的随机变量 序列，且E(Xi)= ，i=1,2,则对任给 0,大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：,它是随机现象统计规律的具体表现.,大数定律在理论和实际中都有广泛的应用.,平均结果的稳定性,定理1（独立同分布下的中心极限定理）,它表明，当n充分大时，n个具有期望和方差 的独立同分布的r.v之和近似服从正态分布.,设X1,X2, 是独立同分布的随机变量序列， 且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2,，则,的分布函数 收敛到标准正态分布函数即,当n很大时,跳过例题,(1),例1,(2),
