1、第3讲 等比数列,1.等比数列的定义如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫,做等比数列的_，通常用字母 q 表示.,公比,2.等比数列的通项公式,设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项ana1qn1.,3.等比中项 若G2ab(ab0)，则G叫做a与b的等比中项. 4.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：anamqnm(n，mN*). (2)若an为等比数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.,递减,(4)已知等比数列an， 若首项a10，公比q1或首项a10，公比01，则数列an单调_
2、； 若公比q1，则数列an为常数列； 若公比q0，则数列an为摆动数列.,5.等比数列的前 n 项和公式,6.等比数列前 n 项和的性质,设等比数列an的公比为q(q0)，其前n项和为Sn. 当q1时，Sn_；,若公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍是等比数列.,na1,C,1.在等比数列an中，a44，则a2a6( )A.4B.8C.16D.32,2.(2017 年新课标)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层
3、灯数的 2 倍，则塔的,),顶层共有灯(A.1 盏C.5 盏,B.3 盏D.9 盏,解析：设塔的顶层共有灯 x 盏，则各层的灯数构成一个首项为 x，公比为 2 的等比数列，结合等比数列的求和公式有,381，解得 x3.即塔的顶层共有灯 3 盏.故选 B.,答案：B,6,1,3.(2015年新课标)在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前n项和，若Sn126，则n_.,考点 1,等比数列的基本运算,解析：设等比数列的公比为 q，很明显 q1，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：由可得 q2，代入可得 a1 1.由等比数列的通项公式可得 a4a1q3 8.答案：8,例1：(1)(20
4、17年新课标)设等比数列an满足a1a2 1, a1a33，则a4_.,(2)(2016年新课标)设等比数列an满足a1a310， a2a45，则a1a2an的最大值为_.,方法二，设等比数列an的公比为 q，,答案：64,答案：1,121,(3)(2016年浙江)设数列an的前n项和为Sn.若S24，an12Sn1，nN*，则a1_，S5_. 解析：a1a24，a22a11a11，a23.再由an1 2Sn1，an2Sn11(n2)an1an2anan13an(n2).,答案：32,【规律方法】在解决等比数列问题时，已知a1，an，q，n，Sn中任意三个，可求其余两个，称为“知三求二”.而求
5、得a1和q是解决等比数列an所有运算的基本思想和方法.,考点 2,等比数列的基本性质及应用,答案：C,(2)若等比数列an的各项均为正数，且a10a11a9a122e5，则ln a1ln a2ln a20_. 解析：因为a10a11a9a122a10a112e5，所以a10a11e5.所以lna1ln a2ln a20ln(a1a2a20)ln(a1a20)(a2a19) (a10a11)ln(a10a11)1010ln(a10a11)10ln e550ln e50. 答案：50,A.31,B.32,C.63,D.64,(3)(2014年大纲)设等比数列an的前n项和为Sn，若S23，S415
6、，则S6( ),答案：C,【规律方法】(1)解决给项求项问题，先考虑利用等比数列的性质“若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq”，再考虑基本量法. (2)等比数列前n项和的性质：若公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍是等比数列.,【互动探究】,1.(2017年安徽合肥第三次质检)在正项等比数列an中，,A.2015C.2015,B.2016D.2016,D,考点 3,等差与等比数列的混合运算,例3：(2017年新课标)记Sn为等比数列an的前n项和，已知S22，S36. (1)求an的通项公式； (2)求Sn，并判断Sn1，Sn，Sn2是否
7、成等差数列.,【互动探究】,2.(2017年新课标)已知等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的前n项和为Tn，a11，b11，a2b22. (1)若a3b35，求bn的通项公式； (2)若T321，求S3. 解：设an的公差为d，bn的公比为q， 则an1(n1)d，bnqn1. 由a2b22，得dq3. ,(1)由a3b35，得2dq26， ,因此bn的通项公式bn2n1，nN*. (2)由b11，T321，得q2q200， 解得q5，q4. 当q5时，由，得d8，则S321. 当q4时，由，得d1，则S36.,思想与方法分类讨论思想在数列中的应用例题：(2015年福建)若a，b是函数f(x)x2pxq(p0，q0)的两个不同的零点，且 a，b，2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 pq 的值等于,(,),A.6,B.7,C.8,D.9,答案：D,【互动探究】,9,3.设an是公比为q的等比数列，|q|1，令bnan1(n1,2，)，若数列bn有连续四项在集合53，23,19,37,82中，则6q_.,
