1、第13讲 抽象函数,1.下列四类函数中，有性质“对任意的 x0，y0，函数 f(x),C,满足 f(xy)f(x)f(y)”的是(A.幂函数C.指数函数,)B.对数函数D.余弦函数,解析：假设f(x)ax，则f(x)f(y)axayaxyf(xy).,2.已知 f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，且 f(x)0，则 f(x)是,(,),A.奇函数,B,B.偶函数C.非奇非偶函数D.不确定解析：令xy0，则2f(0)2f(0)2，因为f(x)0，所以f(0)1.令 x0，则 f(y)f(y)2f(y)，f(y)f(y)，f(x)为偶函数.故选 B.,A,0,考点 1,正比例函数型抽象函数,例
2、 1：设函数 f(x)对任意 x，yR，都有 f(xy)f(x)f(y)，且当 x0 时，f(x)0，f(1)2.(1)求证：f(x)是奇函数；(2)试问当3x3 时，f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说出理由.,(1)证明：令xy0， 则有f(0)2f(0)f(0)0. 令yx，则有f(0)f(x)f(x)， 即f(x)f(x).f(x)是奇函数. (2)解：当3x3时，f(x)有最值，理由如下： 任取x10f(x2x1)0. f(x1)f(x2).yf(x)在R上为减函数. 因此f(3)为函数的最小值，f(3)为函数的最大值. f(3)f(1)f(2)3f(1)6，f(3)f
3、(3)6. 函数的最大值为6，最小值为6.,【规律方法】(1)利用赋值法解决抽象函数问题时需把握如下三点：一是注意函数的定义域，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“f ”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符,号“f ”.,(2)解决正比例函数型抽象函数的一般步骤为：f(0)0f(x),是奇函数f(xy)f(x)f(y)单调性.,(3)判断单调性小技巧：设x10f(x2x1)0f(x2)f(x2x1x1)f(x2x1)f(x1)f(x1)，得到函数单调递减.,【互动探究】1.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(xy)f(x)f(y)，则下,列判断错误的是(,),答案：D,考点 2,对
4、数函数型抽象函数,例2：已知函数f(x)的定义域为x|xR，且x0，对定义域内的任意x1，x2都有f(x1x2)f(x1)f(x2)，且当x1时，f(x)0，f(2)1. (1)求证：f(x)是偶函数； (2)求证：f(x)在(0，)上是增函数； (3)解不等式f(2x21)2.,(1)证明：对定义域内的任意x1，x2都有 f(x1x2)f(x1)f(x2). 令x1x，x21，则有f(x)f(x)f(1). 又令x1x21，得2f(1)f(1). 再令x1x21，得f(1)0.从而f(1)0. 于是有f(x)f(x)，所以f(x)是偶函数.,【互动探究】,考点 3,指数函数型抽象函数,例3：
5、定义在R上的函数yf(x)，f(0)0，当x0时，f(x)1，且对任意的a，bR，有f(ab)f(a)f(b). (1)求证：f(0)1； (2)求证：对任意的xR，恒有f(x)0； (3)求证：f(x)是R上的增函数； (4)若f(x)f(2xx2)1，求x的取值范围.,(1)证明：令 ab0，则 f(0)f(0)2.f(0)0，f(0)1.(2)证明：当 x0 时，x0，f(0)f(x)f(x)1.,又当 x0 时，f(x)10.对任意的xR，恒有 f(x)0.,(3)证明：设x1x2，则x2x10. f(x2)f(x2x1x1)f(x2x1)f(x1). x2x10，f(x2x1)1.f
6、(x2)f(x1).f(x)是R上的增函数. (4)解：由f(x)f(2xx2)1，f(0)1得f(3xx2)f(0). f(x)是R上的增函数， 3xx20.0x3. x的取值范围是(0，3).,【规律方法】判断单调性小技巧：设x1x2，x1x20，则f(x1x2)1，f(x1)f(x2x1x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)，得到函数f(x)是增函数.,【互动探究】,答案：,思想与方法,利用转化与化归思想解答抽象函数,(1)求证：f(x2)f(x)；(2)求证：f(x)f(x)；(3)求证：f(2x)2f 2(x)1.,【互动探究】,A.2 个C.4 个,B.3 个D.5 个,答案：C,
