1、1第二节 等差数列及其前 n 项和课时作业A 组基础对点练1在单调递增的等差数列 an中，若 a31， a2a4 ，则 a1( )34A1 B0C. D14 12解析：由题知， a2 a42 a32，又 a2a4 ，数列 an单调递增， a2 ， a4 .公34 12 32差 d . a1 a2 d0.a4 a22 12答案：B2等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S8 S436， a62 a4，则 a1( )A2 B0C2 D4解析：设等差数列 an的公差为 d， S8 S436， a62 a4，Error! 解得Error!故选 A.答案：A3等差数列 an中， a11， an100
2、( n3)若 an的公差为某一自然数，则 n 的所有可能取值为( )A3,7,9,15,100 B4,10,12,34,100C5,11,16,30,100 D4,10,13,43,100解析：由等差数列的通项公式得，公差 d .又因为 dN， n3，所以 n1an a1n 1 99n 1可能为 3,9,11,33,99， n 的所有可能取值为 4,10,12,34,100，故选 B.答案：B4(2018武汉市模拟)若数列 an为等差数列， Sn为其前 n 项和，且 a23 a46，则S9( )A25 B27C50 D54解析：设等差数列 an的首项为 a1，公差为 d，因为 a23 a46，
3、所以 a1 d3( a13 d)6，所以 a5 a14 d3，故 S99 a527.答案：B5(2018昆明市检测)已知等差数列 an各项均为正数，其前 n 项和为 Sn，若2a11， a2，则 a8( )S3A12 B13C14 D15解析：设等差数列 an的公差为 d，由题意得 1 d，解得 d2， d1(舍去)，3 3d所以 a817215，故选 D.答案：D6已知等差数列 an中， an0，若 n2 且 an1 an1 a 0， S2n1 38，则 n 等于2n_解析： an是等差数列，2 an an1 an1 ，又 an1 an1 a 0，2 an a 0，2n 2n即 an(2 a
4、n)0. an0， an2. S2n1 (2 n1) an2(2 n1)38，解得 n10.答案：107(2018长春模拟)九章算术是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金菙(chu)，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤问金菙重几何？”其意思为：“今有金杖(粗细均匀变化)长 5 尺，截得本端 1 尺，重 4 斤，截得末端 1 尺，重 2 斤问金杖重多少？”答案是_解析：由题意可知等差数列中 a14， a52，则 S5 15， a1 a5 52 4 2 52金杖重 15 斤答案：15 斤8已知 Sn是等差数列 an的前 n 项和，若 S55 a410，则数列 an的公差为_
5、解析：由 S55 a410，得 5a35 a410，则公差 d2.答案：29已知数列 an满足 a11， an (nN *， n2)，数列 bn满足关系式an 12an 1 1bn (nN *)1an(1)求证：数列 bn为等差数列；(2)求数列 an的通项公式解析：(1)证明： bn ，且 an ，1an an 12an 1 1 bn1 ，1an 1 1an2an 1 2an 1an bn1 bn 2.2an 1an 1an3又 b1 1，数列 bn是以 1 为首项，2 为公差的等差数列1a1(2)由(1)知数列 bn的通项公式为 bn1( n1)22 n1，又 bn ， an 1an 1b
6、n.数列 an的通项公式为 an .12n 1 12n 110等差数列 an中， a3 a44， a5 a76.(1)求 an的通项公式；(2)设 bn an，求数列 bn的前 10 项和，其中 x表示不超过 x 的最大整数，如0.90，2.62.解析：(1)设数列 an的公差为 d，由题意有 2a15 d4， a15 d3.解得 a11， d .25所以 an的通项公式为 an .2n 35(2)由(1)知， bn 2n 35当 n1,2,3 时，1 2， bn1；2n 35当 n4,5 时，2 3， bn2；2n 35当 n6,7,8 时，3 4， bn3；2n 35当 n9,10 时，4
7、 5， bn4.2n 35所以数列 bn的前 10 项和为 1322334224.B 组能力提升练1(2018东北三校联考)已知数列 an的首项为 3， bn为等差数列，且bn an1 an(nN *)，若 b32， b212，则 a8( )A0 B109C181 D121解析：设等差数列 bn的公差为 d，则 d b3 b214，因为 an1 an bn，所以a8 a1 b1 b2 b7 (b2 d)( b25 d)112，又 a13，则7 b1 b72 72a8109.答案：B2设等差数列 an的前 n 项和为 Sn， Sm1 13， Sm0， Sm1 15，其中 mN *且 m2.4则数
8、列 的前 n 项和的最大值为( )1anan 1A. B24143 1143C. D2413 613解析：因为 Sm1 13， Sm0， Sm1 15，所以 am Sm Sm1 01313， am1 Sm1 Sm15015，因为数列 an为等差数列，所以公差 d am1 am15(13)2，所以Error!解得 a113.所以 an a1( n1) d132( n1)152 n，当 an0 时， n7.5，当 an1 0 时， n6.5，所以数列 的前 6 项为正数，所以 ( 1anan 1 1anan 1 1 15 2n 13 2n 12 113 2n)，115 2n所以数列 的前 n 项和
9、的最大值为 ( 1 )1anan 1 12 111 113 19 111 17 19 13 (1 ) .故选 D.12 113 613答案：D3(2018豫南九校联考)已知等差数列 an的公差 d0， Sn是其前 n 项和，若 a2， a3， a6成等比数列，且 a1017，则 的最小值是( )Sn2nA B12 58C D38 1532解析：( a12 d)2( a1 d)(a15 d)d2 a1， a10 a19 d17， a11， d2， Sn2 n n2， ， Sn 12n 1 Sn2n Sn 12n 1 Sn2n， n4 时， 最小选 A.Sn2n 12答案：A4 “杨辉三角”又称“
10、贾宪三角” ，是因为贾宪约在公元 1050 年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元 1261 年所著的详解九章算法一书中，辑录了贾宪三角5形数表，并称之为“开方作法本源”图下列数表的构造思路就源于“杨辉三角” 该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是( )2 017 2 016 2 015 2 0146 5 4 3 2 14 033 4 031 4 02911 9 7 5 38 064 8 06020 16 12 816 12436 28 20A2 0172 2 016 B2 0182 2 015C2 0172
11、2 015 D2 0182 2 016解析：从给出的数表可以看出，该数表每行都是等差数列，其中第一行从右到左是公差为1 的等差数列，第二行从右到左的公差为 2，第三行从右到左的公差为 4，即第 n 行从右到左的公差为 2n1 ，而从右向左看，每行的第一个数分别为122 1, 332 0,842 1,2052 2,4862 3，所以第 n 行的第一个数为( n1)2n2 .显然第 2 017 行只有一个数，其值为(2 0171)2 2 0172 2 0182 2 015.故选 B.答案：B5在等差数列 an中， a9 a126，则数列 an的前 11 项和 S11等于_12解析： S11 11
12、a6，设公差为 d，11 a1 a112由 a9 a126 得 a63 d (a66 d)6，解得 a612，所以 S111112132.12 12答案：1326等差数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 S100， S1525，则 nSn的最小值为_解析：由已知得Error!，解得 a13， d ，那么 nSn n2a1 d .由23 n2 n 12 n33 10n23于函数 f(x) 在 x 处取得极小值，又 n6 时，6 S648， n7 时，x33 10x23 2037S749，故 nSn的最小值为49.答案：497(2018长沙市模拟)设数列 an的前 n 项和是 Sn，若点 An(
13、n， )在函数 f(x) x cSnn的图象上运动，其中 c 是与 x 无关的常数，且 a13.(1)求数列 an的通项公式；(2)记 bn aan，求数列 bn的前 n 项和 Tn的最小值6解析：(1)因为点 An(n， )在函数 f(x) x c 的图象上运动，Snn所以 n c，所以 Sn n2 cn.Snn因为 a13，所以 c4，所以 Sn n24 n，所以 an Sn Sn1 2 n5( n2)又 a13 满足上式，所以 an2 n5( nN *)(2)由(1)知， bn aan2 an52(2 n5)54 n5，所以 Tn 2 n23 n.n b1 bn2所以 Tn的最小值是 T
14、11.8已知等差数列 an， a111，公差 d0，且 a2， a5， a6成等比数列(1)求数列 an的通项公式；(2)若 bn| an|，求数列 bn的前 n 项和 Tn.解析：(1) a2， a5， a6成等比数列， a a2a6，即( a14 d)2( a1 d)(a15 d)，252 a1d11 d20，又 d0， a111， d2， an11( n1)22 n13.(2)设数列 an的前 n 项和为 Sn，则 Sn n212 n，n a1 an2 an2 n13，当 n6 时， an0；当 n7 时， an0.当 n6 时， Tn| a1| a2| an| a1 a2 an Sn12 n n2；当 n7 时，Tn| a1| a2| a6| a7| an| a1 a2 a6 a7 an S6 Sn S6 Sn2 S6 n212 n72.综上， TnError!
