1、1第八节 正弦定理和余弦定理的应用课时作业A 组基础对点练1一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45，沿点 A 向北偏东 30前进 100 m 到达点 B，在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30，则水柱的高度是( )A50 m B100 mC120 m D150 m解析：设水柱高度是 h m，水柱底端为 C，则在 ABC 中， BAC60，AC h， AB100， BC h，根据余弦定理得，( h)2 h2100 22 h100cos 60，3 3即 h250 h5 0000，即( h50)( h100)0，即
2、 h50，故水柱的高度是 50 m.答案：A2如图，两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站南偏西 40，灯塔 B 在观察站南偏东 60，则灯塔 A 在灯塔 B 的( )A北偏东 10 B北偏西 10C南偏东 80 D南偏西 80解析：由条件及图可知， A CBA40，又 BCD60，所以 CBD30，所以 DBA10，因此灯塔 A 在灯塔 B 南偏西 80.答案：D3如图，设 A， B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，在所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m， ACB45， CAB105后，就可以计算出 A， B 两点的距离为( )A5
3、0 m B50 m2 3C25 m D m22522解析：由正弦定理得 ，ABsin ACB ACsin B2 AB 50 ，故 A， B 两点的距离为 50 m.ACsin ACBsin B502212 2 2答案：A4(2018昆明市检测)在 ABC 中，已知 AB ， AC ，tan BAC3，则 BC 边上的2 5高等于( )A1 B 2C. D23解析：因为 tan BAC3，所以 sin BAC ，cos BAC .由余弦定理，得310 110BC2 AC2 AB22 ACABcos BAC522 ( )9，所以 BC3，所以5 2110S ABC ABACsin BAC ，所以
4、BC 边上的高12 12 2 5 310 32h 1，故选 A.2S ABCBC 2323答案：A5(2018西安模拟)游客从某旅游景区的景点 A 处至景点 C 处有两条线路线路 1 是从 A沿直线步行到 C，线路 2 是先从 A 沿直线步行到景点 B 处，然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的 倍，甲走线路 2，乙119走线路 1，最后他们同时到达 C 处经测量， AB1 040 m， BC500 m，则 sin BAC 等于_解析：依题意，设乙的速度为 x m/s，则甲的速度为 x m/s，119因为 AB1 040， BC500，
5、所以 ，解得： AC1 260，ACx 1 040 500119x在 ABC 中由余弦定理可知 cos BACAB2 AC2 BC22ABAC ，1 0402 1 2602 500221 0401 260 8491 12133所以 sin BAC .1 cos2 BAC1 (1213)2 513答案：5136如图所示，在一个坡度一定的山坡 AC 的顶上有一高度为 25 m 的建筑物 CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角 ，在山坡的 A 处测得 DAC15，沿山坡前进 50 m 到达B 处，又测得 DBC45，根据以上数据可得 cos _.解析：由 DAC15， DBC45可得 BDA30，
6、 DBA135， BDC90(15 )3045 ，由内角和定理可得 DCB180(45 )4590 ，根据正弦定理可得 ，即 DB100sin 1550sin 30 DBsin 15100sin(4530)25 ( 1)，又 ，即 2 325sin 45 252 3 1sin 90 25sin 45，得到 cos 1.252 3 1cos 3答案： 137已知在岛 A 南偏西 38方向，距岛 A 3 海里的 B 处有一艘缉私艇岛 A 处的一艘走私船正以 10 海里/时的速度向岛北偏西 22方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用 0.5 小时能截住该走私船？(参 考 数 据 ： sin
7、 38 5314， sin 22 3314)解析：如图，设缉私艇在 C 处截住走私船， D 为岛 A 正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时 x 海里，则 BC0.5 x， AC5 海里，依题意， BAC1803822120，由余弦定理可得 BC2 AB2 AC22 ABACcos 120，所以 BC249， BC0.5 x7，解得 x14.又由正弦定理得 sin ABCACsin BACBC ，5327 5314所以 ABC38，又 BAD38，所以 BC AD，故缉私艇以每小时 14 海里的速度向正北方向行驶，恰好用 0.5 小时截住该走私船48如图，在 ABC 中， ABC90， AB ，
8、 BC1， P 为 ABC 内一点， BPC90.3(1)若 PB ，求 PA；12(2)若 APB150，求 tan PBA.解析：(1)由已知得 PBC60，所以 PBA30.在 PBA 中，由余弦定理得 PA23 2 cos 30 .故 PA .14 3 12 74 72(2)设 PBA ，由已知得 PBsin .在 PBA 中，由正弦定理得， ，3sin 150 sin sin 30 化简得 cos 4sin .3所以 tan ，即 tan PBA .34 34B 组能力提升练1一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40的方向直线航行，30 分钟后到达 B 处，在
9、 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65，那么 B， C 两点间的距离是( )A10 海里 B10 海里2 3C20 海里 D20 海里3 2解析：如图所示，易知，在 ABC 中， AB20 海里， CAB30， ACB45，根据正弦定理得 ，BCsin 30 ABsin 45解得 BC10 (海里)2答案：A2如图，在山脚 A 测得山顶 P 的仰角为 30，沿倾斜角 15的斜坡向上走 a 米5到 B，在 B 处测得山顶 P 的仰角 60，则山高 h( )A. a 米 B 米22 a2C. a 米 D a 米32解析：在 PAB
10、 中， PAB 15， BPA(90 )(90 ) 30，所以 ，所以 PB a，asin 30 PBsin 15 6 22所以 PQ PC CQ PBsin asin asin 60 asin 15 a(米)6 22 22答案：A3如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔 18 km，速度为 1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为 30，经过 1 min 后又看到山顶的俯角为 75，则山顶的海拔高度为(精确到 0.1 km，参考数据： 1.732)( )3A8.4 km B6.6 kmC6.5 km D5.6 km解析：因为 AB1 000 km，160 503所以
11、 BC sin 30 (km)ABsin 45 5032所以航线离山顶的高度 h sin 75 sin(4530)11.4 km.所以山高为5032 50321811.46.6(km)答案：B4如图所示，为了测量某湖泊两侧 A， B 间的距离，李宁同学首先选定了与 A， B 不共线的一点 C，然后给出了三种测量方案：( ABC 的角 A， B， C 所对的边分别记为 a， b， c)测量 A， C， b6测量 a， b， C测量 A， B， a则一定能确定 A， B 间距离的所有方案的个数为( )A3 B2C1 D0解析：对于，利用内角和定理先求出 B A C，再利用正弦定理 解出 c，bsi
12、n B csin C对于，直接利用余弦定理 cos C 即可解出 c，a2 b2 c22ab对于，先利用内角和定理求出 C A B，再利用正弦定理 解出 c.asin A csin C答案：A5(2018福州市质检)在距离塔底分别为 80 m，160 m，240 m 的同一水平面上的A， B， C 处，依次测得塔顶的仰角分别为 ， ， .若 90，则塔高为_解析：设塔高为 h m依题意得，tan ，tan ，tan .因为h80 h160 h240 90，所以 tan( )tan tan(90 )tan 1，所以 tan 1，所以sin 90 sin cos 90 cos cos sin si
13、n cos tan tan 1 tan tan 1，解得 h80，所以塔高为 80 m.h80 h1601 h80h160 h240答案：80 m6(2018遂宁模拟)海轮“和谐号”从 A 处以每小时 21 海里的速度出发，海轮“奋斗号”在 A 处北偏东 45的方向，且与 A 相距 10 海里的 C 处，沿北偏东 105的方向以每小时 9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为_小时解析：设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为 x 小时，如图，则由已知得 ABC 中，AC10， AB21 x， BC9 x， ACB120，7由余弦定理得：(21 x)2
14、100(9 x)22109 xcos 120，整理，得 36x29 x100，解得 x 或 x (舍)23 512所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为 小时23答案：237如图，现要在一块半径为 1 m，圆心角为 的扇形白铁片 AOB 上剪出一个平行四边形 3MNPQ，使点 P 在弧 AB 上，点 Q 在 OA 上，点 M， N 在 OB 上，设 BOP ，平行四边形MNPQ 的面积为 S.(1)求 S 关于 的函数关系式(2)求 S 的最大值及相应的 角解析：(1)分别过 P， Q 作 PD OB 于点 D， QE OB 于点 E，则四边形 QEDP 为矩形由扇形半径为 1
15、 m，得 PDsin ， ODcos .在 Rt OEQ 中，OE QE PD，33 33MN QP DE OD OEcos sin ，33S MNPD sin (cos 33sin )sin cos sin2 ， .33 (0， 3)(2)S sin 2 (1cos 2 )12 36 sin 2 cos 2 sin ，12 36 36 33 (2 6) 36因为 ，(0， 3)所以 2 ，sin . 6 ( 6， 56) (2 6) (12， 18当 时， Smax (m2) 6 368(2018宜宾模拟)一艘海轮从 A 出发，沿北偏东 75的方向航行(2 2)n mile 到达3海岛 B，然后从 B 出发，沿北偏东 15的方向航行 4 n mile 到达海岛 C.(1)求 AC 的长；(2)如果下次航行直接从 A 出发到达 C，求 CAB 的大小解析：(1)由题意，在 ABC 中， ABC1807515120， AB2 2， BC4，3根据余弦定理得AC2 AB2 BC22 ABBCcos ABC(2 2) 24 2(2 2)424，3 3所以 AC2 .6(2)根据正弦定理得，sin BAC ，43226 22所以 CAB45.
