1、 12017-2018 学年度高二下学期第二次段考数学（理科）试题说明:考试时间 120 分钟，满分 150 分；参考公式与数据：1.正态分布密度曲线对应的函数为 ；2(),1x),(,)xe（2.随机变量 的观测值 的计算与其概率对应表2 0，其中2= ()2(+)(+)(+)(+) nabcd(20)0.5 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分每
2、小题只有一项是符合题目要求的 ）1.已知复数 是虚数单位 ，则 的共轭复数是=1( )22 A. B. C. D. 13 1+3 1+3 132.在线性回归模型中，分别选择了 4 个不同的模型，它们的相关指数 依次为 、 、 、 ，2 0.360.950.740.81其中回归效果最好的模型的相关指数 为2A. B. C. D. 0.36 0.74 0.81 0.953.某公司一种型号的产品近期销售情况如下表月份 x 2 3 4 5 6销售额 y(万元) 15.1 16.3 17.0 17.2 18.4根据上表可得到回归直线方程为 ，据此估计，该公司 7 月份这种型号产品的销售额为=0.75+A
3、.19.5 万元 B.19.25 万元 C.19.15 万元 D.19.05 万元4. 从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人,分别从事三项不同的工作,若这 3 人中至少有 1 名女生,则选派方案共有A.108 种 B.186 种 C.216 种 D.270 种5.随机变量 的分布列如右表，且 ,则 =X (X)=1.1 (X)A. 0.68 B. 0.49C. 0.40 D. 0.366.在“淘淘”微信群的某次抢红包活动中，所发红包被随机的分配为 2.63 元，1.95 元，3.26 元，1.77元，0.39 元共五份，每人只能抢一次，若红包抢完时，则其中小淘、小乐两人抢到红包金额之和不
4、少于 5 元的概率是A. B. C. D.25 310 15 110X 0 1 P 15 p 31027.如果对于任何实数 ，随机变量 满足a,b(a1) f()=a aA B. C. D.(0,1) (0,14) 14,1) 14,)12. 把数列 的各项按顺序排列成如下的三角形状，记 表示第 行的第 个数，例如 ，若 ，则 =(， ) (3， 3)=7 (， )=2018A. 36 B. 37 C. 38 D. 45二、填空题：（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置上。 ）13. 设随机变量 ，若 ，则 _.(， 2) (3) (2)14. 二项式
5、 展开式中各项二项式系数之和是各项系数之和的 倍,则展开式中的常数项为_.(51) 1415. 7 个人站成一排，若甲，乙，丙三人互不相邻的排法共有_ 种 .316. 探讨函数 性质,得到下列性质： ()1n(3)xfe函数 有最小值；()存在唯一极值点 ;0(1,0) 使得 ;0(3， +) (0)=1 使得 ;(3,+)()12其中正确的结论有_.(填写所有正确结论的序号)三、解答题：（本大题共 6 个小题，满分 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ）17. （本题满分 10 分）设 为数列 的前 n 项和，满足 =22()（）求 的值，并由此猜想数列 的通项公式 an；1
6、， 2， 3， 4 （）用数学归纳法证明（ ）中的猜想18.（本题满分 12 分）在直角坐标系 中,直线 的斜率为 1，在 轴截距为 ，圆 的标准方程为xOy y34 .以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系.22(3)()4xx()求直线 和圆 的极坐标方程；lC()若射线 与直线 的交点为 ,与圆 的交点为 ,且点 恰好为线段 的中=3(0) MCABMAB点,求 的值.a19.（本题满分 12 分）为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对 100 名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在 55 名男性驾驶员中，平均车速超过 的有 4010/
7、kmh人，不超过 的有 15 人在 45 名女性驾驶员中，平均车速超过 的有 20 人，不超过10/kmh /的有 25 人/（）完成下面的列联表，并判断是否有 99.5%的把握认为平均车速超过 的人与性别有关平均车速超过 人数10/kmh平均车速不超过 人数10/kh合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计4（）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取 10 辆，若每次抽取的结果是相互独立的，问这 10 辆车中平均有多少车辆中驾驶员为男性且车速超过 .10/kmh20.（本题满分 12 分）随着人们生活水平的不断提高，人们对餐饮服务行业的要求也越来越高，由于工作繁忙无
8、法抽出时间来享受美味，这样网上外卖订餐应运而生.若某商家的一款外卖便当每月的销售量 （单位：千y盒）与销售价格 （单位：元 /盒）满足关系式 其中 , 为常数，x ,)16(422xay16xa已知销售价格为 14 元/盒时,每月可售出 21 千盒.（）求 的值； a（）假设该款便当的食物材料、员工工资、外卖配送费等所有成本折合为每盒 12 元（只考虑销售出的便当盒数） ，试确定销售价格 的值，使该店每月销售便当所获得的利润最大.（结果x保留一位小数）21.（本题满分 12 分）某大学数学学院拟从往年的智慧队和理想队中选拔 4 名大学生组成志愿者招募宣传队，往年的智慧队和理想队的构成数据如下表
9、所示，现要求被选出的 4 名大学生中两队中的大学生都要有.男（名） 女（名）智慧队 3 1理想队 2 2（）求选出的 4 名大学生仅有 1 名女生的概率；（）记选出的 4 名大学生中女生人数为 ，求随机变量 的分布列与数学期望. 22（本题满分 12 分）已知函数 . ()=122+(1),（）讨论 的单调性；()（）当 时，正实数 满足 ，证明： =2 1， 2 (1)+(2)+12=01+21452017-2018 学年度高二下学期第二次段考数学（理科）试题答案与评分标准一、选择题：（每小题 5 分满分 60 分）ADDBB BDCAC CB;11.C;解析： ，设过(0，0)点与 相切的
10、切点为 y=ln(1)=1 y=ln(1) (0， 0) 解得 且 ，即过点 与 相切的切线方程为 =10 0000 =10 0= =1 (0，0) y=ln(1) =1当直线 与直线 平行时， ;当 时，y=ax=14+1 =14 =1 14=114=140 =2 14=2142=21420 ()0f0fx上有唯一的实根 ,设为 ，且 ，故正确；同时 在 有极小值也为最(3,+) 0x(,)()=0小值 ，故正确；由 得 ，即 ，(0) (0)=0 0= 10+3 0=(0+3)故 .()(0)=0ln(0+3)= 10+3+0=(0+3)+ 10+33因为 ，由双勾函数性质知 值域为 ，0
11、+3(2， 3)=(0+3)+ 10+33 (12， 13)所以 . 故正确同时判断 错误. 故填写：()12三、解答题：（本大题共 6 个小题，满分 80 分）17. （10 分）解：(1)当 n1 时， ， 1 分当 n2 时， + ， 4. 2 分12 2 22 2 2当 n3 时， + ， 8. 3 分12+3 3 23 2 3当 n4 时， + ， 16. 4 分12+3+4 4 24 2 46由此猜想： 5 分=2()(2)证明：当 时， 2，猜想成立 6 分 1 1假设 且 时，猜想成立，即 ， 7 分 (1 =2那么 n k1 时， 8 分 +1=+1=2+12 ， 这表明 n
12、 k1 时，猜想成立，9 分+1=2=2+1由知猜想 成立10 分18. （12 分）解:()由点斜式方程得直线 的方程为 ， 1 分l+34=0将 代人以上方程中，cos,inxy所以,直线 的极坐标方程为 . 3 分l34=0同理,圆 的极坐标方程为 . 6 分C26cosin1()在极坐标系中,由已知可设 .(1,3)， (2,3)， (3,3)联立 7 分=3 266+14=0可得 ，所以 . 8 分2(3+33)+14=0 23因为点 恰好为 的中点,所以 ,即 . 9 分MAB1=3+332 (3+332 ， 3)把 代入 得 11 分(3+332 ， 3) 34=0 3(1+3)
13、2 1 32 +34=0所以 . 12 分=9419.（12 分）解：（） 平均车速超过 100km/h 人数平均车速不超过 100km/h人数合计男性驾驶员人数40 15 55女性驾驶员人数20 25 457合计 60 40 1002 分根据列联表中数据，计算随机变量 的观测值 ， 2=100(40251520)260405545 8.2494 分又 且 5 分(27.879)7.8798.2497.879答：有 99.5%的把握认为平均车速超过 与性别有关 6 分10/kmh（）记这 10 辆车中驾驶员为男性且车速超过 的车辆数为 ，根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中
14、随机抽取 1 辆，驾驶员为男性且车速超过 的车辆的频率为 ，利用频率估计它的概率为 8 分10/kmh40100=25 25由已知可知 服从二项分布，即 ， 9 分X(10， 25)所以驾驶员为男性且超过 100km/h 的车辆数 的均值 (辆). 11 分()=1025=4答：在随机抽取的 10 辆车中平均有 4 辆车中驾驶员为男性且车速超过 . 12 分10/kmh20.（12 分）解：（）因为 时， 21y， 代入关系式 ，x= 12+4(16)2得 ， 解得 . 4 分2+16=21 =10（）由（1）可知，套题每日的销售量 ， 5 分= 1012+4(16)2所以每日销售套题所获得的
15、利润()=(12) 1012+4(+16)2=10+4(12)(+16)2定义域 6 分(12， 16)从而 . （7 分） 令 ， ,得 （8 分）()=4(16)(340) ()=0 120 (403， 16) ()0 ()0 () (0,+)即 的单调递增区间为（ 0，+） ，无递减区间 3 分()当 时， ，令 ，得 0()=(1)(+1) ()=0 =1当 时， ； 当 时， ；(0， 1) ()0 (1,+) ()0 ()(0， 1) (1,+)9（）当 时，=2 ()=+2+3，（ 0）正实数 满足 ，1， 2 (1)+(2)+12=0 1+21+31+ 2+22+32+12=0 7 分(1+2)2+3(1+2)=12(12)令函数 ，则 9 分()=，（ 0） ()=11时， ， 为递减； 时， ， 为递增； (0， 1) ()0 ()即当 t=1 时 有极小值也是最小值 ； () （1）=1 （ ） （ 1） =1 10 分(1+2)2+3(1+2)=12(12)1则 ，或 （舍去）1+21332 1+2 1332, 11 分1332 14=21374 =52 474 0 12 分1+21332 14
