1、1全面认识抛物线的特征二次函数 y ax2 bx c（ a0）的图象及性质函数 y ax2 bx c（ a0） y ax2 bx c（ a0）图象 xO b xOx b2a开口 向上 向下对称轴 x b2a顶点 （ ， ）b2a4ac b24a增减性 当 x 时， y 随 x 的增大而减小，b2a当 x 时， y 随 x 的增大而增大b2a 当 x 时， y 随 x 的增大而增大，b2a当 x 时， y 随 x 的增大而减小b2a最值 当 x 时， y最小 b2a 4ac b24a当 x 时， y 最大 b2a 4ac b24a方法归纳：抛物线 y ax2 bx c（ a0）的顶点坐标和对称轴
2、的求法：配方法： y ax2 bx c a（ x ） 2 ；b2a 4ac b24a公式法：对称轴是 x ，顶点坐标是（ ， ） ；b2a b2a4ac b24a画出抛物线，根据图象确定对称轴及顶点坐标。总结：1. 用配方法确定二次函数的顶点、开口方向和对称轴。2. 运用数形结合的思想求二次函数的最值。例题 1 抛物线 y ax2 bx c 上部分点的横坐标 x，纵坐标 y 的对应值如下表：2x 3 2 0 1 y 6 0 6 6 从上表可知，下列说法正确的有（ ）抛物线与 x 轴的交点为（2，0）（2，0）；抛物线与 y 轴的交点为（0，6）；抛物线的对称轴是：直线 x ； 在对称轴左侧，
3、y 随 x 增大而减少。12A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个解 析 ： 可将表格中的数据描在坐标系中，根据二次函数的图象和性质进行判断。答 案 ： 根据表格数据可得：抛物线的开口方向向下，当 x0 时， y6，故正确； x0 和 x1 的函数值相等，对称轴为 x ，正确；从表格中可得（2，0）0 12 12是此抛物线与 x 轴的一个交点，抛物线与 x 轴的另一个交点必与（2，0）关于直线 x 对称，12所以，另一个交点的坐标为（3，0），错误；此抛物线开口向下，所以在对称轴的左侧 y随 x 的增大而增大，错误，故选 B。点拨：此题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌
4、握抛物线的图象和性质，会根据图象得出某些信息，如抛物线的顶点、对称轴、开口方向等。另外，对于表格中的数据应善于将其转化为点的坐标，根据坐标特点确定函数关系式。例题 2 已 知 抛 物 线 y ax2 bx 经 过 点 A（ 3， 3） 和 点 P（ t，0） ，且 t0。（1）若该抛物线的 对 称 轴 经 过 点 A， 如 图 所 示 ， 请 通 过 观 察 图 象 ， 指出此时 y 的最小值，并 写出 t 的 值 ；（2）若 t4，求 a、 b 的值，并指出此时抛物线的开口方向；（3）直接 写 出 使 该 抛 物 线 开 口 向 下 的 t 的 一 个 值 。PO-3Axy解 析 ： 第 （
5、 1） 题 观 察 图 象 即 可 ， 第 （ 2） 题 已 知 t 的 值 ， 相 当 于 已 知 点 P 的 坐 标 ， 那 么 把 点A 和 P 的 坐 标 代 入 解 析 式 ， 通 过 解 二 元 一 次 方 程 组 求 a、 b 的 值 。 （ 3） 题 答 案 不 唯 一 ， 把 点 A 和 P的 坐 标 代 入 解 析 式 整 理 出 一 个 关 于 a 和 t 的 等 式 ， 令 a 0， 确 定 t 的 取 值 。3答 案 ： （1） y 的最小值是3， t6。（2）分别将（4，0）和（3，3）代入 y ax2 bx，得 ，解得 ，此0 16a 4b 3 9a 3b) a
6、1b 4)时抛物线开口向上。（3）依题意应满足 ，即 at2（3 a1） t0 且 a0。当 t0 时有at2 bt 09a 3b 3a 0 )at3 a10，即 a 0，解得 t3。所以写出一个大于3 的 t 值即可。 （答案不唯一）1t 3。点拨：本题 主要考查二次函数的图象和性质，解答这类问题时注意数形结合思想的运用，抛物线与 x 轴的两个交点关于该抛物线的对称轴对称，解答时充分利用该性质有时可大大简化计算。二次函数的增减性：在对称轴同侧的点， y 随 x 的增大而增大（或减小） ；不在对称轴同侧的点，若 a0，则到对称轴的距离大的点的函数值较大，若 a0，则到对称轴的距离大的点的函数值
7、较小。 xyOxyOA1234A1234例 已知两点 A（5， y1） ，B（3， y2）均在抛物线 y ax2 bx c（ a0）上，点C（ x0， y0）是该抛物线的顶点，若 y1 y2 y0，则 x0的取值范围是（ ）A. x05 B. x01 C. 5 x01 D. 2 x0 3解：由点 C（ x0， y0）是该抛物线的顶点，且 y1 y2 y0，所以 y0为函数的最小值，即得出抛物线的开口向上，因为 y1 y2 y0，所以得出点 A、B 可能在对称轴的两侧或者是在对称轴的左侧，当 A、B 在对称轴的左侧时， y 随 x 的增大而减小，因此 x03；当 A、B 在对称轴的两侧时，点 B
8、到对称轴的距离小于点 A 到对称轴的距离，即得 x0（5）3 x0，解得 x01，综 上所得：x01，故选 B。分析：本题考查二次函数的图象和性质，特别是二次函数的增减性，解答这类问题时要格外注意分类讨论，关键是要讨论顶点的位置，即所给自变量或函数值所对应的点是否在对称轴的同侧。4（答题时间：30 分钟）一、选择题1. 在二次函数 y x22 x1 的图象中，若 y 随 x 的增大而增大，则 x 的取值范围是（ ）A. x1 B. x1 C. x1 D. x12. 若一次函数 y ax b（ a0）的图象与 x 轴的交点坐标为（2，0） ，则抛物线 y ax2 bx的对称轴为（ ）A. 直线
9、x1 B. 直线 x2 C. 直线 x1 D. 直线 x4*3. 二次函数 y ax2 bx c 图象上部分点的坐标满足下表：x 3 2 1 0 1 y 3 2 3 6 11 则该函数图象的顶点坐标为（ ）A. （3，3） B. （2，2） C. （1，3） D. （0，6）*4. 下列图中，哪个 是二次函数 y2 x24 x3 的图象（ ）123-34yx123-x123-4yx123-4yxABCD*5. 抛物线 y x2 x p（ p0）的图象与 x 轴一个交点的横坐标是 p，那么该抛物线的顶点坐标是（ ）A. （0，2） B. （ ， ） C. （ ，） D. （ ， ）12 94 1
10、294 12 94*6. 已知二次函数 y2 x2 bx1（ b 为常数） ，当 b 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系” ，图中的实线型抛物线分别是 b 取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线） ，这条抛物线的解析式是（ ）A. y2 x21 B. y x21 C. y4 x21 D. y x2112 145xy二、填空题7. 如果二次函数 y ax2 bx c（ a0）满足 a b c2，那么这个二次函数的图象一定经过点_。*8. 实数 x、 y 满足 x22 x4 y5，记 t x2 y，则 t 的取值范围为_。*9. 将二次函数 y2（ x1）
11、21 的图象先向右平移一个单位，再沿 x 轴翻折到第一象限，得到的图象的函数解析式为_。*10. 二次函数 y ax2 bx c 中， b2 ac，且 x0 时 y4，则该二次函数有最_值，且最_值等于_。三、解答题11. 将二次函数 y x22 x3 的图象向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，求平移后的抛物线的解析式（平移后抛物线的形状不变） 。12. 已知抛物线 y mx2（ m1） x（ m1）的最低点的纵坐标是 0，求 m 的值。13. 已知抛物线 y x2 bx c 经过点 A（3，0） ，B（1，0） 。（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标。*14. 如图，在
12、平面直角坐标系中，抛物线 y x2经过平移得到抛物线 y x22 x，求其对称轴12 12与两段抛物线所围成的阴影部分的面积。6xyO*15. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y mx22 mx2（ m0）与 y 轴交于点 A，其对称轴与x 轴交于点 B。（1）求点 A，B 的坐标；（2）设直线 l 与直线 AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线 l 的解析式；（3）若该抛物线在2 x1 这一段位于直线 l 的上方，并且在 2 x3 这一段位于直线AB 的下方，求该抛物线的解析式。 xyAB7一、选择题1. A 解析：二次函数 y x22 x1 的开口向下，所以 在对称轴的左侧 y 随
13、x 的增大而增大，二次函数 y x22 x1 的对称轴是 x 1，所以 x1。b2a 22（ 1）2. C 解析：一次函数 y ax b（ a0）的图象与 x 轴的交点坐标为（2，0） ，2 a b0，即 b2 a， 抛物线 y ax2 bx 的对称轴为直线 x 1。故选 C。b2a*3. B 解析： x3 和1 时的函数值都是3，二次函数的对称轴为直线 x2，顶点坐标为（2，2） 。故选 B。*4. D 解析：由开口方向可排除 B，由其与 y 轴的交点为（0，3）可排除 C，再由对称轴为x1 可排除 A。*5. D 解析：因为该抛物线与 x 轴一个交点的横坐标是 p，此时 y0，所以 p2
14、p p0，因为p0，所以 p2，即 y x2 x2。其顶点坐标为（ ， ） 。12 94*6. A 解析： y2 x2 bx1 的顶点坐标是（ ， ） ，设 x ， y ，由 xb48 b28 b4 8 b28得 b4 x，所以 y 12 x2。即这条抛物线的解析式为 y2 x21。b4 8 b28 8 （ 4x） 28二、填空题7.（1，2） 解析：当 x1、 y2 时有 a b c2，所以这个二次函数的图象一定经过点（1，2）*8. t 解析：由 x22 x4 y5 得 4y x22 x5，所以 t x （ x22 x5）92 12 x22 x ，可见， t 是关于 x的二次函数，且开口向
15、下， t 最大值 ，所以 t 的取值范围是12 52 92t 。92*9. y2（ x2） 21 解析：向右平移一个单位得 y2（ x2） 21，翻折可理解为两步，一是形状不变，顶点不变，开口变成向上，得 y2（ x2） 21，二是向上平移 2 个单位，得y2（ x2） 21。*10. 大，大， 3 解析： x0 时 y4， c4， b2 ac， a0，即此二次函数有最大值，最大值是 3。4ac b24a 16a 4a4a8三、解答题11. 解：因为 y x22 x3（ x1） 24，该图象向左平移 1 个单位再向下平移 2 个单位所得抛物线的解析式为 y（ x1）1） 242 x22。12.
16、 解：由题意得 ，解得 m1。m 04m（ m 1） （ m 1） 24m 0)13. 解：（1）抛物线 y x2 bx c 经过点 A（3，0） ，B（1，0） 。 ， 9 3b c 0 1 b c 0)解得 ，抛物线的解析式为 y x22 x3；（2）抛物线的解析式为b 2c 3)y x22 x3（ x1） 24，抛物线的顶点坐标为（1，4） 。*14. 解：设抛物线 y x22 x 的顶点为 B，其对称轴与 x 轴交于点 C，过点 B 作 AB y 轴。12抛物线 y x22 x （ x24 x） （ x24 x4）2 （ x2） 22，顶点 B 的坐标为12 12 12 12（2，2）
17、 。由抛物线的对称性和平移规律可知，阴影部分沿 OC 截开正好能拼成正方形 OABC，所以 y x22 x 的对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：224。12 xyOABC*15. 解：（1）当 x0 时， y2，A（0，2） 。 抛物线的对称轴为x 1，B（1，0） 。 2m2m（2）易得 A 点关于对称轴的对称点为 A（2，2） ，则直线 l 经过 A、B。设直线 l 的解析式为 y kx b，则 ，解得 ，直线 l 的 解析式为 y2 x2。2k b 2k b 0 ) k 2b 2)（3）抛物线的对称轴为 x1 ， 抛物线在 2 x3 这一段与在1 x0 这一段关于对称轴x1 对称，结合图象可以观察到抛物线在2 x1 这一段位于直线 l 的上方 ，在1 x0 这一段位于直线 l 的下方；抛物线与直线 l 的交点的横坐标为1；当 x1 时，y2（1）24，则抛物线过点（1，4） ，所以 当 x1 时 y4，即m2 m24， m2，抛物线的解析式为 y2 x24 x2。
