1、1二次函数在几何图形中的应用二次函数在几何图形中的应用1. 可用二次函数解决的几何问题特点：与面积相关。2. 可用二次函数解决的几何问题类型：三角形、四边形、圆等。3. 建立二次函数模型的依据：三角形、四边形、圆的面积公式。方法归纳（1）在圆的问题中，设半径或直径为自变量，则圆面积是半径或直径的二次函数。（2）在矩形中，设一边为自变量，另一边用自变量表示，则其面积是这一边长的二次函数。（3）在三角形或一般四边形中，通常设一边为自变量，用自变量表示这条边上的高，则其面积是这一边长的二次函数。总结：1. 能够根据几何图形的特点建立二次函数模型。2. 会利用二次函数解决与几何图形相关的实际应用问题。
2、例题 1 如图所示，有一块直角三角形的铁板，要在其内部作一个长方形 ABCD，其中 AB和 BC分别在两直角边上，设 AB x m，长方形的面积为 y m2，要使长方形的面积最大 ，其边长 x应为（ ）A. 4m B. 3m C. 2m D. m52ABCD512m解 析 ： 根据长方形的面积大三角形的面积两个小三角形的面积确定 x与 y之间的函数关系式，求出函数值 y最 大时自变量 x的取值即可。答 案 ： 根据题意得： y30 （5 x） x（12 ），整理得12 yx 12 yxy x212 x x25 x（ ） 2 （ x ） 215 0，长方形面积有125 125 52 254 12
3、5 52 1252最大值，当长方形面积最大时，边长 x应为 m，故选 D。52点拨：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次项系数 a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如 y x22 x5， y3 x26 x1 等用配方法求解比较简单。例题 2 某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为 15m当半圆的半径等于多少时，窗户通过的光线最多？（结果精确到 0.01m）此时，窗户的面积是多少？（精确到 0.01m2）解 析 ： 先 将 图 形 分 割 成 半 圆
4、 和 矩 形 ， 分 别 表 示 各 部 分 的 面 积 ， 建 立 函 数 关 系 式 ， 再 利 用 二 次函 数 的 性 质 求 最 值 。 本 题 的 突 破 口 是 找 出 圆 的 半 径 与 小 矩 形 竖 直 边 长 之 间 的 关 系 。答 案 ： 设 半 圆 的 半 径 为 r m， 小 矩 形 的 竖 直 边 长 为 y m， 大 矩 形 水 平 边 长 为 2rm。则 4y 7r r 15， y 。74r设 窗 户 的 面 积 为 S， 则 S r2 2ry r2 2r 3.5r2 7.5r，12 12 574因 为 3.5 0， 所 以 S有 最 大 值 。当 r 1.
5、07（ m） 时 ， S 最 大 值 4.02（ m2） 。7.52 （ 3.5） （ 7.5） 24 （ 3.5）即 当 半 径 约 为 1.07m时 ， 窗 户 通 过 的 光 线 最 多 ， 此 时 窗 户 的 面 积 约 为 4.02m2。点拨：二次函数与几何图形相结合时，往往题目并未明确表示二次函数的关系式，二次函数的关系式可能隐藏在几何图形中，这时我们需要根据题中所给的信息设出自变量和函数，推导出函数关系式，再求出相应最值。建立三角形或四边形的面积与边长之间的二次函数关系时，关键是找出三角形或四边形的高，用面积公式建立二次函数关系，当所给几何图形的边长与高之间的关系不明显时，常常把
6、几何图形分割成三角形或四边形，或利用等积式将问题转化，3满分训练 某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽度为 AB（单位：米） ，现以 AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为 y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设坐标原点为 O。已知 AB8 米，设抛物线解析式为 y ax24。（1）求 a的值；（2）点 C（1， m）是抛物线上一点，点 C关于原点 O的对称点为点 D，连接 CD，BC，BD，求BCD的面积。解：（1）AB8，由抛物线的性质可知 OB4，B（4，0） ，把 B点坐标代入解析式得：16a40，解得： a ；14（2）过点 C作 CEAB 于 E，过点 D作 DFAB 于 F， a ，
7、 y x24，令 x1， m14 14（1） 24 ，C（1， ） ，C 关于原点的对称点为 D，D 的坐标为（1， ） ，则14 154 154 154CEDF ，S BCD S BOD S BOC OBDF OBCE 4 4 15，BCD 的面154 12 12 12 154 12 154积为 15平方米。 ABCEFOxy分析：本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是熟练掌握用待定系数法函数解析式。解答这类问题时注意充分利用 图象中的某些特殊点，如顶点、抛物线与 x轴的交点等。理解线段的长度与点的坐标之间的关系是解题关键。一、选择题1. 设等边三角形的边长为 x（ x0），面积为 y，
8、则 y与 x的函数关系式是（ ）4A. y x2 B. y x2 C. y x2 D. y x212 14 32 342. 长方形的周长为 24cm，其中一边为 x（其中 x0），面积为 ycm2，则这样的长方形中 y与 x的关系可以写为（ ）A. y x2 B. y（12 x2）C. y（12 x） x D. y2（12 x）3. 如图，在平面直角坐标系中，点 A是抛物线 y a（ x3） 2 k与 y轴的交点，点 B是这条抛物线上的另一点，且 AB x轴，则以 AB为边的等边三角形 ABC的周长为（ ）A. 9 B. 12 C. 18 D. 20ABCOxy*4. 在平面直角坐标系中，如果
9、横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，将二次函数y x26 x 的图象与 x轴所围成的封闭图形染成红色，则在此红色区域内部及其边界上的整274点的个数是（ ）A. 5 B. 6 C. 7 D. 8*5. 如图，在矩形 ABCD中，AB a，BC b， a 3b， AEAHCFCG，则四边形 EFGH的面b3积的最大值是（ ）A. （ a b） 2 B. （ a b） 2 C. （ a b） 2 D. （ a b） 2116 18 14 125*6. 数学活动课上，老师向同学们讲学校正在规划筹建周长为 400m的跑道的消息，鼓励同学们试着给要建的跑道画一个示意图。要求跑道的两端是半圆形，中间是直线
10、跑道，且跑道中间矩形面积最大。下面是四位同学给出的示意图，你认为正确的是（ ）二、填空题7. 在半径为 4cm的圆中，挖去一个半径为 x cm的圆面，剩下一个圆环的面积为 y cm2，则 y与x的函数关系式为_。8. 如图，已知等腰直角ABC 的直角边长与正方形 MNPQ的边长均为 20厘米，AC 与 MN在同一直线上，开始时点 A与点 N重合。让ABC 以每秒 2厘米的速度向左运动，最终点 A与点 M重合，则重叠部分面积 y（厘米 2）与时间 t（秒）之间的函数关系式为_。 ABCMNPQ*9. 如图，ABC 是直角三角形，A90，AB8 cm，AC6 cm，点 P从点 A出发，沿 AB方向
11、以 2cm/s的速度向点 B运动；同时点 Q从点 A出发，沿 AC方向以 1cm/s的速度向点 C运动，其中一个动点到达终点，则另一 个动点也停止运动，则三角形 APQ的最大面积是_。*10. 如图所示，从边长为 5的正方形纸片 ABCD中剪去直角EBF（点 E在边 AB上，点 F在边BC上） 。若 EBBF ，则五边形 AEFCD的面积的最小值是_。156ABCDEF三、解答题11. 某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体。其中，抽屉底面周长为180cm，高为 20cm。请通过计算说明，当底面的宽 x为何值时，抽屉的体积 y最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计） 。1
12、2. 已知抛物线 y x22 x m1 与 x轴 只有一个交点，且与 y轴交于 A点，如图，设它的顶点为 B。（1）求 m的值；（2）过 A作 x轴的平行线，交抛物线于点 C，求证：ABC 是等腰直角三角形。ABCOxy*13. 如图，四边形 ABCD是矩形，A、B 两点在 x轴的正半轴上，C、D 两点在抛物线y x26 x上。设 OA m（0 m3），矩形 ABCD的周长为 l，求 l与 m的函数解析式。*14. 用长为 12m的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块 苗圃。如图，围出的苗圃是五边形ABCDE，AEAB，BCAB， C DE。设 CDDE x m，五边形 ABCDE的面积为 S m
13、2。问：怎样设计才能使围出的苗圃面积最大，最大面积是多少？7*15. 用长度为 20m的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为 2x m。当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积。 4581. D 解析：作出 BC边上的高 AD。ABC 是等边三角形，边长为x，CD x，AD x， y xAD x212 32 12 342. C 解析：长方形的周长为 24cm，其中一边为 x（其中 x0），长方形的另一边长为12 x， y（12 x） x故选 C。3. C 解析：由题意可知抛物线的对称轴为 x3，所以
14、AB6，所以等边三角形 ABC的周长为18。*4. C 解析：抛物线与 x轴两交点坐标分别为（ ，0） 、 （ ，0） ，当 x2 时 y412 32 92 274，所以红色区域内在直线 x2 上的整点有（2，0）和（2，1） ；当 x3 时 y ，且抛物线的对54 94称轴是 x3，所以红色区域内在直线 x3 上的整点有（3，0） 、 （3，1） 、 （3，2） ；由抛物线的对称性可知在红色区域内直线 x4 上的整点有两个。所以满足题意的整点共 7个。本题可用数形结合法，画出图象，结 果一目了然。*5. B 解析： 设 AEAHCFCG x，则 BEDG a x，BFDH b x，设四边形
15、EFGH的面积为 y，依题意，得 y ab x2（ a x）（ b x），即 y2 x2（ a b） x，20，抛物线开口向下，函数有最大值为 （ a b） 2。故选 B。0 （ a b） 24（ 2） 18*6. B 解析：设矩形的长为 x m，半圆的半径是 r m，中间的矩形区域面积是 S m2，根据题意知 2x2 r400。所以 S2 rx r（4002 r）2 r2400 r，即 S是 r的二次函数，其图象开口向下，当 r 时，S 取得最大值。此时 x 100（ m），4002（ 2 ） 100 400 2 r2所以，应设计矩形的长为 100m，宽约为 2r 63.7m时，矩形面积最大
16、，故选 B。2007. y x216 解析：半径为 4的圆的面积是 16，半径为 x的圆的面积是 x2，所以函数解析式为 y x216。8. y （20 2t） 2 解析：由题意可知重叠部分为等腰直角三角形，且 AM202 t，所以重叠12部分的面积 y （202 t） 2。129. 16cm2 解析：根据题意，点 P沿 AB方向以 2cm/s的速度向点 B运动；同时点 Q从点 A出发，沿 AC方向以 1cm/s的速度向点 C运动，AP2 t，AQ t，S APQ t2，0 t4，三角形 APQ的最大面积是 16。10. 23 解析：本题即是求EBF 面积的最大值，设其面积为 y， y BEB
17、F，因为 EBBF18 129，设 BE x，则 BF x，所以 y x（ x） x2 x。由二次函数的性质15 1512 15 12 152可知当 x 时 y取得最大值为 y 。所以五边形 AEFCD的面积的最小值是 25 。152 158 158 185811. 解：已知抽屉底面宽为 x cm，则底面长为 1802 x（90 x） cm。由题意得：y x（90 x）2020（ x2 90x）20（ x45） 240500，当 x45 时， y有最大值，最大值为 40500。答：当抽屉底面宽为 45cm时，抽屉的体积最大，最大体积为 40500cm3。12. 解：（1）抛物线与 x轴只有一个
18、交点，说明0，即（2） 24（ m1）0， m2。 （2）由（1）得抛物线的解析式是 y x22 x1，A（0，1） ，B（1，0） ，AOB是等腰直角三角形。又 ACOB，BACOAB45，A，C 是抛物线上一对对称点，ABBC，ABC 是等腰直角三角形。*13. 解：把 x m代入抛物线 y x26 x中，得 AD m26 m，把 y m26 m代入抛物线y x26 x中，得 m26 m x26 x，解得 x1 m， x26 m，C 的横坐标是 6 m，故AB6 m m62 m，矩形的周长 l2（ m26 m）2（62 m），即 l2 m28 m12。*14. 解：连接 EC，作 DFEC
19、，垂足为 F，DCBCDEDEA，EABCBA90，DCBCDEDEA120，DECD，DECDCE30，CEAECB90，四边形 EABC为矩形，DE x m，AE6 x，DF x，EC x，S x26 x（0 x6）。当 x4 m时，S 最大 1212 3 3 34 3m2。3*15. 解：根据题意等腰直角三角形的直角边长为 x m，矩形的一边长为 2x m。所以2S2 x102 x x x x（32 ） x220 x， （0 x105 ） 。当 x212 2 2 2 23020 时，金属框围成的面积最大，此时矩形的一边长 2x6040 （ m） ，相邻 边103 2 2 2 2长为 10（2 ）10（32 ）10 10（ m） ，S 最大 100（32 ）2 2 2 2300200 （ m2） 。2
