1、1相似三角形的性质相似三角形的性质1. 相似三角形的对应角相等；2. 相似三角形的对应边成比例；3. 相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线、对应周长的比等于相似比。方法归纳：（或技巧归纳）当你发现问题中出现以下情况时，很可能是借助相似来解决： 比或比例；示例：平行四边形 ABCD 中，E 在 DC 上，若 DE：EC=1：2，则 BF：EF=_ _ FA DB CE解析：此题主要考查了平行四边形、相似三角形的性质由题可知ABFCEF，然后根据相似比求解答案：3：2 解：DE：EC=1：2；EC：CD=2：3 即 EC：AB=2：3，ABCD，ABFCEF，BF：EF=AB：EC=3：2 线
2、段的积；示例：四边形中，AC 平分DAB，ADC=ACB=90，求证： 2ACBD ADCB解析：由 AC 平分DAB，ADC=ACB=90，可证得ADCACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得 AC2=ABAD；证明：AC 平分DAB，DAC=CAB，ADC=ACB=90，ADCACB，AD：AC= AC：AB，AC 2=ABAD；边或角所在三角形与已知的边或角所在三角形不全等。示例：如图，在 RtABC 中，ACB=90，AB=5，AC=4，AB 的垂直平分线 DE 交 BC 的延长线于点 E，则 CE 的长为_ DACB E2解析：本题主要考查直角三角形性质、线段垂直平分线的性质及相
3、似三角形性质的应用及方程的数学思想解决此题需要我们利用线段的垂直平分线的性质和三角形相似进行计算答案： 解：ACB=90，AB=5，AC=4，根据勾股定理得：BC=3，76而 AB 的垂直平分线 DE 交 BC 的延长线于点 E，BD= ，BDE=90，又B=B，52ACBEDB，BC：BD=AB：BE，又 BC=3，AB=5，BE= ，6从而得到 CE=BEBC= 76总结：1. 掌握相似三角形的性质；2. 能利用相似三角形的性质求角的度数或线段的长度、线段之间的关系等。例题 1 如图，在 Rt ABC 中， C90，翻折 C，使点 C 落在斜边 AB 上某一点 D处，折痕为 EF（点 E、
4、 F 分别在边 AC、 BC 上） 。若 CEF 与 ABC 相似。（1）当 AC BC2 时，求 AD 的长；（2） 当 AC3， BC4 时，求 AD 的长。解 析 ： 若 CEF 与 ABC 相似。 （1）当 AC BC2 时， ABC 为等腰直角三角形；（2）当 AC3， BC4 时，分两种情况：（ I）若 CE： CF3：4，如答图 2 所示，此时EF AB， CD 为 AB 边上的高；（ II）若 CF： CE3：4，如答图 3 所示。由相似三角形角之间的关系，可以推出 A ECD 与 B FCD，从而得到 CD AD BD，即 D 点为 AB 的中点。答 案 ： 若 CEF 与
5、ABC 相似。 （1）当 AC BC2 时， ABC 为等腰直角三角形，如答图 1 所示。此时 D 为 AB 边中点，2 AD2 AC2， AD AC 。22 2（2）当 AC3， BC4 时，有两种情况：（ I）若 CE： CF3：4，如答图 2 所示。3 CE： CF AC： BC， EF BC。由折叠性质可知， CD EF， CD AB，即此时 CD 为AB 边 上 的 高 。 在 Rt ABC 中 ， AC 3， BC 4， AB 5。 ADC ACB 90且 A A， ACD ABC， ，即 ， AD ；（ II）若 CF： CE3：4，如ADAC ACAB AD3 35 95答图
6、3 所示。 CFE CAB， CEF B。由折叠性质可知， CEF ECD90，又 A B90， A ECD， AD CD。同理可得： B FCD， CD BD，此时 AD AB 。综上所述，当 AC3， BC4 时， AD 的长为 或 。12 52 95 52点拨：本题是几何综合题，考查了几何图形折叠问题和相似三角形的判定与性质。第（2）问需要分两种情况分别计算，此处容易漏解，需要引起注意。利用相似三角形的性质求线段的长度是一类常见问题，常常综合考查勾股定理、等腰三角形、四边形等知识，特别是在中考试题中经常以压轴题的形式出现，有时难度较大。解答这类问题时通常利用相似三角形对应边成比例或勾股定
7、理等列方程，用代数方法求线段的长度。满分训练 如图，直角三角形 ABC 中， ACB90， AB10， BC6，在线段 AB 上取一点 D，作 DF AB 交 AC 于点 F。现将 ADF 沿 DF 折叠，使点 A 落在线段 DB 上，对应点记为 A1； AD 的中点 E 的对应点记为 E1。若 E1FA1 E1BF，则 AD_。解析： ACB90， AB10， BC6， AC 8，设AB2 BC2 102 62AD2 x，点 E 为 AD 的中点，将 ADF 沿 DF 折叠，点 A 对应点记为 A1，点 E 的对应点为E1， AE DE DE1 A1E1 x， DF AB， ACB90， A
8、 A， ABCAFD， AD： AC DF： BC，即 2x：8 DF：6，解得 DF1.5 x，在 Rt DE1F 中，E1F2 DF2 DE123.25 x2，又 BE1 AB AE1103 x， E1FA1E1BF， E1F A1E1 BE1 E1F， E1F2 A1E1BE1，即 3.25x2 x（103 x） ，解得x1.6， AD 的长为 21.63.2。答案：3.2点拨：本题是一道综合性难题，主要考查轴对称变换、折叠、勾股定理、相似三角形的对应边成比例。利用勾股定理列式求出 AC，设 AD2 x，得到 AE DE DE1 A1E1 x，然后求出 BE1，再利用相似三角形对应边成比
9、例列式求出 DF，然后利用勾股定理列式求出4E1F，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到 x 的值，从而得出 AD 的值。（答题时间：30 分钟）一、选择题1. 如图， ABC 中， DE BC， DE1， AD2， DB3，则 BC 的长是（ ）A. B. C. D. 12 32 52 72*2. 如图所示，在平行四边形 ABCD 中， AC 与 BD 相交于点 O， E 为 OD 的中点，连接 AE并延长交 DC 于点 F，则 DF： FC（ ）A. 1：4 B. 1：3 C. 2：3 D. 1：2*3. 如图所示， AD BC， D90， DC7， AD2， BC3。若在边 DC
10、上有点 P 使PAD 与 PBC 相似，则这样的点 P 有（ ）A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个ABCDP*4. 如图，在 ABC 中， AB AC a， BC b（ a b） 。在 ABC 内依次作 CBD A， DCE CBD， EDF DCE。则 EF 等于（ ）A. B. C. D. b3a2 a3b2 b4a3 a4b35二、填空题5. 在平行四边形 ABCD 中， E 在 DC 上，若 DE： EC1：2，则 BF： BE_。6. 如图，在平行四边形 ABCD 中， E 在 AB 上， CE、 BD 交于 F，若 AE： BE4：3，且BF2，则 DF_。 *
11、7. 如图，在边长为 9 的正三角形 ABC 中， BD3， ADE60，则 AE 的长为_。*8. 如图，在 Rt ABC 中， ACB90， BC3， AC4， AB 的垂直平分线 DE 交 BC 的延长线于点 E，则 CE 的长为_。 ABCDE三、解答题*9. 如图，在平行四边形 ABCD 中， ABC 的平分线 BF 分别与 AC、 AD 交于点 E、 F。（1）求证： AB AF；（2）当 AB3、 BC5 时，求 的值。AEAC6*10. 如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AE BC，垂足为 E，连接 DE， F 为线段DE 上一点，且 AFE B。（1）求证： A
12、DF DEC；（2）若 AB8， AD6 ， AF4 ，求 AE 的长。3 3*11. 如图，四边形 ABCD 中， AC 平分 DAB， ADC ACB90， E 为 AB 的中点，（1）求证： AC2 ABAD；（2）求证： CE AD；（3）若 AD4， AB6，求 的值。ACAF*12. 【提出问题】（1）如图 1，在等边 ABC 中，点 M 是 BC 上的任意一点（不含端点 B、 C），连结AM，以 AM 为边作等边 AMN，连结 CN。求证： ABC ACN。【类比探究】（2）如图 2，在等边 ABC 中，点 M 是 BC 延长线上的任意一点（不含端点 C），其它条件不变，（1）中
13、结论 ABC ACN 还成立吗？请说明理由。【拓展延伸】（3）如图 3，在等腰 ABC 中， BA BC，点 M 是 BC 上的任意一点（不含端点 B、 C），连结 AM，以 AM 为边作等腰 AMN，使顶角 AMN ABC。连结 CN。试探究 ABC 与 ACN的数量关系，并说明理由。71. C 解析： DE BC， ADE ABC，则 ， DE1， AD2， DB3， AB AD DB5， BC 。故选 C。ADDE ABBC 512 522. D 解析：在平行四边形 ABCD 中， AB DC，则 DFE BAE， ， O 为对角DFAB DEEB线的交点， DO BO，又 E 为 OD
14、 的中点， DE DB，则14DE： EB1：3， DF： AB1：3， DC AB， DF： DC1：3， DF： FC1：2。故选D。3. C 解析：设 PD x，则（1）若 APD PBC，则 ，即 ，解之得PDAD PCBC x2 7 x3x ；（2）若 PAD BPC，则 ，即 ，解之得 x11， x26。综上所述，145 PDAD BCPC x2 37 x存在三个点 P，使 PAD 与 PBC 相似。4. C 解析： AB AC， ABC ACB，又 CBD A， ABC BDC，同理可得： ABC BDC CDE DFE， ， ， ，且 BD BC， CE CD，解ABBC BC
15、CD CDBD DECD EFDE DECE得： CD ， DE ， EF 。故选 C。b2a b3a2 b4a35. 3：5 解析： DE： EC 1：2， EC： CD2：3 即 EC： AB2：3， AB CD，ABF CEF， BF： EF AB： EC3：2。 BF： BE3：5。6. 解析：四边形 ABCD 是平行四边形，143 AB CD， AB CD， AE： BE4：3， BE： AB3：7， BE： CD3：7。 AB CD， BEF DCF， BF： DF BE： CD3：7，即 2： DF3：7， DF 。1437. 7 解析： ABC 是等边三角形， B C60，AB
16、 BC； CD BC BD936； BAD ADB120， ADE60， ADB EDC120， DAB EDC，又 B C60， ABD DCE，则 ，即 ，解得： CE2，故 AE AC CE927。ABBD DCCE 93 6CE8. 解析：在 Rt ABC 中， BC3， AC4， AB5， BD 。易知 ABC76 52EBD， ，即 ， BE ， CE BE BC 3 。ABBC BEBD 53 BE2.5 256 256 769. 解：（1）证明：如图，在平行四边形 ABCD 中， AD BC，23。 BF 是 ABC的平分线，12。13。 AB AF。 （2） AEF CEB，
17、23，AEF CEB， ， 。AEEC AFBC 35 AEAC 3810. 解：（1）证明：在平行四边形 ABCD 中 AB CD， AD BC， C B180， ADF DEC。 AFD AFE180， AFE B， AFD C。在 ADF 与 DEC中， ， ADF DEC。 （2）解：平行四边形 ABCD， CD AB8。由 AFD C ADF DEC)（1）知 ADF DEC， ， DE 12。在 Rt ADE 中，由勾ADDE AFCD ADCDAF 6 384 3股定理得： AE 6。DE2 AD2 122 （ 6 3） 2811. 解：（1）证明： AC 平分 DAB， DAC
18、 CAB， ADC ACB90，ADC ACB， AD： AC AC： AB， AC2 ABAD；（2）证明： E 为 AB 的中点， CE AB AE， EAC ECA， DAC CAB， DAC ECA， CE AD；（3）12解： CE AD， AFDCFE， AD： CE AF： CF， CE AB， CE 63， AD4， ， 。12 12 43 AFCF ACAF 7412. 解：（1）证明： ABC、 AMN 是等边三角形， AB AC， AM AN， BAC MAN60， BAM CAN，在 BAM 和 CAN 中， BAM CAN（ SAS）， ABC ACN。（2）解：结论AB AC BAM CANAM AN ) ABC ACN 仍成立。理 由如下： ABC、 AMN 是等边三角形， AB AC， AM AN， BAC MAN60， BAM CAN，在 BAM 和 CAN 中， BAM CAN（ SAS）， ABC ACN。（3）解： ABC ACN。AB AC BAM CANAM AN )理由如下： BA BC， MA MN，顶角 ABC AMN，底角 BAC MAN， ABCAMN， ，又ABAM ACAN BAM BAC MAC， CAN MAN MAC， BAM CAN， BAMCAN， ABC ACN。
