1、1与圆有关的动态问题与圆有关的动态问题是一类综合性的问题。解题时，既要熟悉圆的有关性质定理，还要注意动静结合，特殊和一般结合，结合图形全面考虑，细心分析，灵活运用有关的性质定理，必要时还需添加恰当的辅助线，加强图形间的内在联系，以便转化，使问题顺利解决。在与圆有关的动态问题中，最常用到的定理有：1. 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。2. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。说明：在遇到切线时，连接圆心与切点是常见的辅助线，可以构造直角三角形，为解题架设了桥梁。3. 弧、弦、弦心距、圆心角的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相
2、等，所对弦的弦心距也相等。4. 圆 周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。5. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。例题 1 如图，已知线段 OA 交O 于点 B，且 OBAB，点 P 是O 上的一个动点，那么OAP 的最大值是（ ）A. 30 B. 45 C. 60 D. 90解析：本题考查了直线与圆的位置关系；掌握切线的性质与判定是解题的关键。根据题意找出当 OPAP 时，OAP 取得最大值。所以在 RtAOP 中，利用直角三角形可以求得此时OAP 的值。解：根据题意知，当OAP
3、的取最大值时，OPAP；在 RtAOP 中，OPOB，OBAB，OA2OP，OAP30。故选 A。答案：A点拨：在点 P 的运动过程中，OAP 取最大值时，AP 正好是O 的切线。2例题 2 （北京中考）如图，点 P 是以 O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点，AB2，设弦 AP 的长为 x，APO 的面积为 y，则下列图象中，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是（ ）解析：考虑用特殊值验证的方法。解：可以采用特殊值的方法来“破题” ，比如当 x1 时，APO 恰为正三角形，此时面积为34，达不到 ，这样就排除了选项 B、D；由于34比较接近12，所以只有选项 A 符12合要求。答案：
4、A点拨：可以发现，在这种解法中，特殊值（ y1）至关重要；此外，数学的直观能力、题感在这道题也体现得比较充分，这也是本题选择以客观题（即不必展示过程）形式出现的原因。正如史宁中教授所说：“数学上有很多问题我们能看出结果，但要说得真切是困难的！”例题 3 如图，C 为O 直径 AB 上一动点，过点 C 的直线交O 于 D、E 两点，且ACD45，DFAB 于点 F，EGAB 于点 G，当点 C 在 AB 上运动时，设AF ，DE ，下列能表示 与 函数关系的图象大致是（ ）xyyx3解析：本题若通过求函数解析式的方法求解，比较复杂。若注意分析 y 随 x 的变化而变化的趋势，与各选项的图象逐一比
5、对，则能迅速解决。解：点 C 从点 A 运动到点 B 的过程中，x 的值逐渐增大，DE 的长度随 x 值的变化先变大再变小。故选 A。答案：A点拨：本题是一个以圆为背景的动点问题，若通过求函数解析式的方法求解，比较复杂；但若仔细观察、分析可以发现：随着 x 的值逐渐增大，y 经历了一个先变大再变小的过程，这样就能快速解决问题。与圆有关的动态问题中的切线动态问题一般是图形在运动中产生函数问题或规律问题，要善于借助动态思维的观点来分析，不被“动”所迷惑，从“动”中找出问题的隐含规律。满分训练 半径为 2cm 的O 与边长为 2cm 的正方形 ABCD 在水平直线 l 的同侧，O与 l 相切于点 F
6、，DC 在 l 上。（1）过点 B 作O 的一条切线 BE，E 为切点，填空：如图 1，当点 A 在O 上时，EBA 的度数是_；如图 2，当 E、A、D 三点在同一直线上时，求线段 OA 的长；（2）以正方形 ABCD 的边 AD 与 OF 重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图 3） ，至边 BC 与 OF 重合时结束移动，M、N 分别是边 BC、AD 与O 的公共点，求扇形 MON 的面积的范围。解析：本题综合考查了动态问题、圆、特殊平行四边形的判定、相似三角形的判定、三角函数、一元二次方程的解法等知识。解：（1）如图 1，因为切线 BE 是 O 的切线，所以 OEBE 于 E，又OA
7、ABOE2，易得EBA30； 如图2，直线 l与O相切于F，OFD 90。正方形ADCB中，ADC 90，OF/AD。OFAD2，四边形OFDA为平行四边形。OFD90，平行四边形OFDA为矩形。DA AO，正方形ABCD中，DAAB，E、A、D三点在同一直线上。E、A、D三点在同一直线上，EAOB。OEB90，OEBEAO。又EOBAOE，EOABOE。 。OE 2 OAOB。OA（2OA）4， 解得，OBEOA1 ，OA0，5OA 14（2）如图3，设MON n， （cm 2） 。nnS90236MON扇 形S随n的增大而增大，MON取最大值时， 最大。扇 形过O点作OKMN于K，MON2
8、NOK，NM2NK，在RtONK中，sinNOK 2KNOK随NK的增大而增大，MON随MN的增大而增大，当MN最大时MON最大，当MN最小时MON最小。当N、M、O分别与D、B、A重合时，MN最大，MNBD，MONBOD90，（cm 2）最 大扇 形S 当MNDC2时，MN最小。ONMNOM，NOM60。 （cm 2） ，3MON最 小扇 形S 。3MON扇 形S答案：（1）30； 1；（2）53MON扇 形S点拨：这类问题可细分为点动型、线动型、形动型。解答这类问题时，要 求对几何元素的运动过程有一个完整、清晰的认识，不管点动、线动还是形动，从特殊情形入手，变中求不变，动中 求静，抓住静的
9、瞬间，把动态的问题转化为静态的问题来解决，从而找到“动”与“静”的联系，揭示问题的本质，发现运动中的各个变量之间互相依存的函数关系，从而找到解决问题的突破口，也就找到了解决这类问题的途径。（答题时间：45 分钟）【友情提示】因本讲内容综合性较强，故在解题过程中可能会涉及到相似和锐角三角函数相关知识，请敢于挑战自我、勇于得满分的“童鞋”提前预习相关知识点。1. 如图所示，直线 CD 与以线段 AB 为直径的圆相切于点 D 并交 BA 的延长线于点 C，且AB2，AD1，P 点在切线 CD 上移动。当APB 的度数最大时，则ABP 的度数为（ ）A. 15 B. 30 C. 60 D. 9052.
10、（湖南中考）如图所示，半径为 1 的圆和边长为 3 的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过的时间为 t，正方形除去圆部分的面积为 S（阴影部分） ，则 S 与 t 的大致图象为（ ）A. B. C. D.3. （甘肃中考）如图，动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 运动至点 B 后，立即按原路返回，点 P 在运动过程中速度不变，则以点 B 为圆心，线段 BP 长为半径的圆的面积 S 与点 P 的运动时间 t 的函数图象大致为（ ）*4. （甘肃中考）如图，已知P 的圆心在定角 （00）变化的函数图象大致是（ ）5. 如图，A 点在半径为 2 的O 上，过线段 OA
11、 上的一点 P 作直线 l，与O 过 A 点的切线交于点 B，且APB60，设 OPx，则PAB 的面积 y 关于 的函数图像大致是（ x）6A. B. C. D.6. 如图，A、B、C、D 为O 的四等分点，动点 P 从圆心 O 出发，沿 OC DO 的路CD线做匀速运动，设运动时间为 t 秒，APB 的度数为 y 度，则下列图象中表示 y（度）与t（秒）的函数关系最恰当的是（ ）A. B. C. D.7. 如图，等边ABC 的周长为 6，半径是 1 的O 从与 AB 相切于点 D 的位置出发，在ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与 AB 相切于点 D 的位置，则O 自转了（ ）A
12、. 2 周 B. 3 周 C. 4 周 D. 5 周8. 如图，ABC 中，BAC 60，ABC 45，AB 2 ，D 是线段 BC 上的一个动点，以 AD 为直径画O 分别交 AB、AC 于 E、F，连接 EF，则线段 EF 长度的最小值为 。79. 如图，已知 O 是以坐标原点 O 为圆心，1 为半径的圆， AOB45，点 P 在 x 轴上运动，若过点 P 且与 OA 平行的直线与 O 有公共点，设 P（ x，0） ，则 x 的取值范围是_。*10. 如图， APB30，圆心在边 PB 上的O 半径为 1cm， OP3cm，若O 沿 BP 方向移动，当O 与 PA 相切时，求圆心 O 移动
13、的距离。*11. 在矩形 ABCD 中，点 P 是边 AD 上的动点，连接 BP，线段 BP 的垂直平分线交边 BC于点 Q，垂足为点 M，连接 QP（如图） 。已知 AD13，AB5，设 APx，BQy。（1）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的取值范围；（2）当以 AP 长为半径的P 和以 QC 长为半径的Q 外切时，求 的值；x8（3）点 E 在边 CD 上，过点 E 作直线 QP 的垂线，垂足为 F，如果 EFEC4，求 x 的值。*12. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A、B 的坐标分别为（8，0） 、（0，6） 。动点 Q 从点 O、动点 P 从点 A 同
14、时出发，分别沿 OA 方向、AB 方向均以 1 个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为 t（秒） （0o 的常数），点 P 的速度是 1。当 0ta 时，APt，BPat，S （at） 2（ta ） 2；当 at2a 时，BPta，S （ta） 2，均为二次函数形式，图象为开口向上的抛物线，只有选项 B 满足。4. C 解析：如图，连接 PA、 PB、 PO，则POA ，APB180 。PAr，在 RtPAO 中， OAPtan，2tantarPOA。S 四边形 AOBP2S AOP PAO21OAPAr2t2tn1r。S 扇形 APB236018r。所以 Stanr 3608r2)02ta
15、(r。所以 S 是 r 的二次函数，并且 S 随 r 的增大而增大，图象在第一象限，故选 C。5. D 解析： AB 是O 的切线，OAB90，在 RtPAB 中，PA2x，ABPAtan60 （2x） ，y （ 2x） 2（0x2） ，函数的图象33是抛物线，且开口向上，对称轴是 x2，只有选项 D 符合题意，故选 D。6. C 解析：（1）点 P 在 OC 上时，y（APB）随 t 的增大而减小，由 90减小到 45；10（2）点 P 在 上时，y（APB）随 t 的增大而始终不变，APB AOB45；CD12（3）点 P 在 DO 上时，y（APB）随 t 的增大而增大，由 45增加到
16、90。选 C。7. C 解析：等边ABC 的周长为 6等边三角形的边长为 2 O 的半径是1O 的周长为 2，故等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，圆从 D转到 D 的过程中在三角形的边上转动了 3 圈，在每个顶点处，转动的角度是 360609090120，在三个顶点处转动 360，即在三个顶点共转 1 圈。则这个圆共转了 4 圈。故选 C。8. 解析：如图所示：连接 ED、EO；弦 EF 所对的圆周角EAF60，要使弦最小3只要圆最小即可，圆的大小由直径 AD 确定，所以 AD 最小即圆最小，当 ADBC 时 EF 最小。因为 ABC 45， AB2 ，所以 ADBD2，所以 E
17、O10。5BD，所以 EO/BD，则AE ；因为 BAC60， ABC 45，得ACB 75，根据三角函数公式，求出2AC ，DC ，因为ADEAFE，EAFCAB，所以AEF643ACB，EF 3 FECBAOD9. 且 解析：作与 OA 平行且与圆相切的直线，这两条直线与 x 轴2x0的交点即是所求的点 P，过点 O 向直线作垂线，因为AOB45，所以得到一腰长为 1 等腰直角三角形，根据锐角三角函数或勾股定理得点 P 的坐标，所以 。又2直线与 OA 平行， 。故 x 的取值范围为 且 。2x010. 解析：设当O 与 PA 相切时，切点为 H，则 OHPA，所以在 RtPOH 中，si
18、nAPB ，即 PO2OH2。因此，当O 与 PA 相切时，圆心 O 移动的距离为HP1321（cm） 。11. 解析：（1）在矩形 中， ， ， ，ABCD 90APBMQ线段 P的垂直平分线交边 于点 Q，MQBP，12，PQBQ， ， 25Px， B ，90AQMB，即21xy，即25x， 的取值范围为1x13；11（2）当以 AP 长为半径的P 和以 QC 长为半径的Q 外切时，即 PQAPCQ，可得BQAPCQ， ，可得 ，解得 ；12yxy251x251x（3）如图， ， ， ，4EFC90EFQECQ ， ，QPBPB即 ， ，可得 ，即 ，AtantaAC5413xy4135x
19、可得 或者 （舍去） ， 的值为 。105263x105263x02612. 解析：（l）因为 CA 是 OP 的直径，所以 CDOA 。所以 CD BO。所以 ACD ABO，所以 。DAOA CAAB因为 OA 8，OB6，AB10，CA2t，所以 AD t，OQt。85当点 Q 与点 D 重合时，即 OQADOA，所以 t t 8，t 85 4013（2）由ACD ABO，易得 CD t，65当 0 t 时，S t（8t t） t2 t。4013 12 65 85 3925 245因为 ，0 ，所以当 t 时，S 有最大值为 ；b2a 2013 2013 4013 2013 4813当 t5 时，S t（ t 8t） t2 t。4013 12 65 85 3925 245因为 ， ，所以 S 随 t 的增大而增大。所以当 t 5 时，S 有最大值b2a 2013 2013 4013为 15 。综上所述 S 的最大值为 15。4813（3）0t 或 t5。167 4013
