1、1与圆有关的线段在圆中的线段主要有以下几种：半径、直径、弦，弦心距还有切线长。求圆中线段的长是中考的一个重要考点，在选择题、填空题、解答题、探索题都会出现。因此，这部分内容在中考中占举足轻重的地位。垂径定理、勾股定理是解决圆中线段问题的重要工具，也是比较常用的定理，有时候也需要以下定理：圆心角定理、圆周角定理、切线的判定（性质）定理、切线长定理、等腰三角形的性质定理，在有些探索类型的题目中还有可能用到相交弦定理、切割定理等。（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。符号语言：AB 是O 的直径，CD 是弦，且 ABCD， PC=PD， = ， =BCDA。AD（2）圆心角、弧
2、、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。（3）勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。例题 1 （温州市中考）如图，AB 为O 的直径，点 C 在 O 上，延长 BC 至点 D，使DC=CB。延长 DA 与O 的另一个交点为 E，连结 AC、CE。（1）求证：B=D；（2）若 AB=4，BCAC=2，求 CE 的长。2解析：要求 CE 长，可通过证明 CE=AB，转化为求 AB 长，结合E=B 及等腰三角形的性质、勾股定理，可解决问题。答案：解：（1）证明：AB 为O 的直径，ACB=90，ACBC；
3、DC=CB，AD=AB，B=D。（2）设 BC=x，则 AC=x2。在 RtABC 中，AC 2+BC2=AB2，（x2） 2+x2=4，解得 （舍去） ，B=E，B=D，D=E，CD=CE，71,1xxCD=CBCE=CB=1+ 。点拨：本题综合考查了圆周角、垂直平分线、等腰三角形、直 角三角形的性质，解题的关键是正确理解和应用有关定理。与圆周角有关的问题，需要灵活运用 同弧或等弧所对的圆周角相等、同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半 ，直径所对的圆周角是直角等知识点，由于图形中的角比较多，解题时要仔细观察图形特点。例题 2 如图，AB 是O 的直径，BC 是弦，ODBC 于 E，交 BC
4、 于 D若BC=8，ED2，求O 的半径 EO BAC D解析：根据垂径定理可以知道线段 EB 的长，设出圆的半径，然后用半径表示出 OE，这样就可以在 Rt 直角三角形 OEB 中，根据勾股定理，就可以求出圆的半径 解：因为，ODBC， 所以， BECE= BC=4 设O 的半径为 R，则 OE=OD-DE=R-122在 RtOEB 中，由勾股定理得 OE2BE 2=OB2，即(R-2) 24 2=R2解得 R5，O 的半径为 5 点拨：在求圆的半径时，关键是利用垂径定理构造直角三角形，然后设半径根据勾股定理列出方程，解得答案如何解决圆中的线段问题圆中的线段包括：半径、直径、弦、切线。求这些
5、线段长是这部分的主要题型，综合利用圆中性质定理、勾股定理、等腰三角形的性质定理是解题的关键所在。在解题的过程3中，你能否掌握其中的技巧吗？满分训练 （湛江中考）如图，已知 AB 是 O 的直径， P 为 O 外一点，且OP BC， P BAC。（1）求证： PA 为 O 的切线；（2）若 OB=5， OP= ，求 AC 的长。253 COABP解析：（1）设法证出OAP=90即可；（2）利用垂径定理，勾股定理及面积法可求AC 的长。答案：解：（1）设 AC 与 OP 相交于点 H。AB 是直径，ACBC，BAC+B=90，OPBC，OPAC，AOB=BP=BACP+AOP=90，于是OAB=9
6、0，PA 为O 的切线。（2）OPAC，AC=2AH，在直角三角形 PAO 中，AP= 2250()3OPA由面积法可知： ，所以 AC=8。345PHO点拨：本题考查了圆的切线的证明以及有关圆的计算，掌握圆的切线的证法以及圆中基本的计算方式是解题的关键。求线段的长度有以下常用的方法：（ 1）用勾股定理，适用于已知两边的直角三角形中；（2）用相似三角形，适用于有相似三角形的图形中；（3）面积法，适用于有直角三 角形中有高的存在的图形。（答题时间：30 分钟）1. 如图， 内接于O， ， ，则O 的半径为（ ）ABC 302ABA. B. C. D. 3242. 若正方形的边长为 6，则其外接圆
7、半径与内切圆半径的大小分别为（ ）4A. 6， B. ，3 C. 6，3 D. ，3226233. 如图，O 的直径 AB=12，CD 是O 的弦，CDAB，垂足为 P，且 BPAP=15，则CD 的长为（ ）A. B. C. D. 4852544. 如图，AB 是O 的弦，点 C 是弦 AB 上一点，且 BCCA21，连结 OC 并延长交O于 D，又 DC2 厘米，OC3 厘米， 则圆心 O 到 AB 的距离为（ ）A. 厘米 B. 厘米 C. 2 厘米 D. 3 厘米67 COA BD5. 如图O 中，半径 OD弦 AB 于点 C，连结 AO 并延长交O 于点 E，连结 EC，若AB=8，
8、CD=2，则 EC 的长度为（ ）A. B. 8 C. D. 521021326. 如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，AB=10，AC=6，ODBC，垂足为 D，则 BD的长为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 67. 如图，半圆 O 的直径 AB=10，弦 AC=6cm，AD 平分BAC，则 AD 的长为（ ）A. cm B. cm C. cm D. 4cm453558. 如图，ABC 内接于O，BAC=120，AB=AC，BD 为O 的直径，AD=6，则 BC 。59. 如图，以ABC 的 BC 边上一点 O 为圆心的圆，经过 A、B 两点，且与 BC 边交于点E，D 为
9、BE 的下半圆弧的中点，连接 AD 交 BC 于 F，若 AC=FC。（1）求证：AC 是O 的切线；（2）若 BF=8，DF= ，求O 的半径 r。4010. 如图，已知 P 是O 外一点，PO 交O 于点 C，OC=CP=2，弦 ABOC，劣弧 AB 的度数为 120，连结 PB。（1）求 BC 的长；（2）求证：PB 是O 的切线。11. 如图，已知O 的半径为 1，DE 是O 的直径，过 D 作O 的切线，C 是 AD 的中点，AE 交O 于 B 点，四边形 BCOE 是平行四边形。（1）求 AD 的长；（2）BC 是O 的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由。12. 如 图 ，
10、ABC 内 接 于 O， 60， CD 是 O 的 直 径 ， 点 P 是 CD 延 长 线 上 的 一 点 ，且 AP=AC。（ 1） 求 证 ： PA 是 O 的 切 线 ； （ 2） 若 ， 求 O 的 直 径 。3P671. B 解析：过点 B 作圆的直径 BD，交圆于点 D，连接 AD，根据圆周角定理，得：C=D=30，DAB=90，所以在 RtADB 中，因为，D=30，AB=2，所以，DB=4，所以，圆的半径为 2。2. B 解析：画图如下，由正方形的性质，垂径定理可得 OE=AE=3，OA= 。故选 B。323. D 解析：连接 OC，如图，设 OC 的长为r，AB12，BPA
11、P=15，AP10，OP4。由垂径定理可得OPC 是直角三角形，并且 CD2CP。在 RtOCP 中，由勾股定理CP ，CD ，故选 D。52622OPC54 BPOCDA4. B 解析：延长 DO 交O 于 E，过点 O 作 OFAB 于 F，则 CE8 厘米。由相交弦定理，得 DCCEACCB，所以 AC2 AC28，故 AC2 （厘米） ，从而 BC4 2厘米。由垂径定理，得 AFFB （2 4 ）3 （厘米） 所以 CF3 21 （ 厘米） 。在 RtCOF 中，OF （厘米） 。2 2C2)(75. D 解析：连接 BE，8O 的半径 OD弦 AB 于点 C ，AB=8，AC= AB
12、=4，21设O 的半径为 r，则 OC=r-2，在 RtAOC 中，AC=4，OC=r-2，OA 2=AC2+OC2，即r2=42+（r-2） 2，解得 r=5，AE=2r=10，AE 是O 的直径，ABE=90，在 RtABE 中，AE=10，AB=8，BE= =6，在 RtBCE 中，BE=6，BC=4，CE= 2810ABE。3462C6. C 解析：因为 AB 是直径，因此C 是直角，BC= =8，ODBC，根据垂2106径定理，BD 等于 BC 的一半，所以 BD=4。故选 C。7. A 解析：连接 BC、BD、OD，则 OD、BC 交于 E。由于 AD 平分BAC，所以 ，所以 O
13、DBC，又半圆 O 的直BDC径 AB10cm，弦 AC6cm，所以 BC8cm，所以 BE4，又 OB5cm，所以 OE3cm，所以ED532（cm） ，在 RtBED 中，BD cm，又ADB90，所以2E+AD 4 cm。故选 A。2ABD-58. 6 解析：因为 BD 为O 的直径，根据圆周角定理，得：C=D，DAB=90。又因为，BAC=120，AB=AC，所以，C=CBA=D=30，DBA=60，所以，DBC=30。在 Rt 直角三角形 ABD 中，有：cos30= ，又 AD=6，所以，BD= 4BDA236， 3连接 DC，则BCD=90，在 Rt 直角三角形 BCD 中，DB
14、C=30，BD=4 ，得：cos30= ，BC=4 =6BDC329. 解析：（1）连接 OA、OD，则 OA=OD，OAD=ODA，D 为 BE 的下半圆弧的中点，9ODBE，ODA+OFD=90，OAD+ OFD=90，OFD=AFC，OAD+AFC=90，AC=FC，FAC=AFC，OAD+FAC=90，AC 是O 的切线。（2）BF=8，DF= ，OF=8r，在直角三角形 OFD 中，r 2+（8r） 2= ，40 2(40)解得，r=2。10. 解析：（1）连接 OB，弦 ABOC，劣弧 AB 的度数为 120，COB=60，又OC=OB，OBC 是正三角形，BC=OC=2。（2）证
15、明：BC=CP，CBP=CPB，OBC 是正三角形，OBC=OCB=60，CBP=30，OBP=CBP+OBC=90，OBBP，点 B 在O 上，PB 是O的切线。11. 解析：（1）连接 BD，则DBE90 四边形 BCOE 是平行四边形，BCOE，BCOE1 。在 RtABD 中，C 为 AD 的中点，BC AD1 。AD2 。21（2）连接 OB，由（1）得 BCOD，且 BCOD ，四边形 BCDO 是平行四边形。又AD 是O 的切线，ODAD。四边形 BCDO 是矩形。OBBC，BC 是O 的切线。12. 解 析 ： （1）证明：连接 OA，B=60，AOC=2B=120，又OA=OC，OAC=OCA=30，又AP=AC，P=ACP=30，OAP=AOC-P=90，OAPA，PA 是O 的切线。（2）在 RtOAP 中，P=30，PO=2OA=OD+PD，又OA=OD，PD=OA，PD= ，2OA=2PD=2 。O 的直径为 2 。333
