1、1第十一单元 选考 4 部分第 67 讲 坐标系课前双击巩固1.平面直角坐标系中的伸缩变换设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 : 的作用下,点 P(x,y)=,0,=,0对应到点 P(x,y),称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换 . 2.极坐标系(1)设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离 |OM|叫作点 M 的 ,记为 . 以极轴 Ox为始边,射线 OM 为终边的角 xOM 叫作点 M 的 ,记为 . 有序数对( , )叫作点 M的极坐标,记作 M( , ). (2)极坐标与直角坐标的关系:把直角坐标系的原点作为极点, x 轴的正半轴作为极轴,并
2、在两种坐标系中取相同的长度单位,设 M 是平面内任意一点,它的直角坐标是( x,y),极坐标是( , ),则它们之间的关系为 x= ,y= sin ,由此得 2= ,tan = (x0) . 3.常用简单曲线的极坐标方程曲线 图形 极坐标方程圆心在极点,半径为 r 的圆=r圆心为( r,0),半径为 r 的圆= 2rcos 圆心为 ,(,2)半径为 r 的圆= 2rsin (0 0,=,0是将 代入 y=f(x),得 =f ,整理之后得到 y=h(x),即为所求变换之后曲线的方程 .平=,= ()面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示 .在伸缩变换 的作用下,直线仍=,0,=,0然变成直线,
3、抛物线仍然变成抛物线,双曲线仍然变成双曲线,圆可以变成椭圆,椭圆也可以变成圆 .式题 (1)在同一平面直角坐标系中,已知伸缩变换 : 则点 A 经过变换后所=3,2=, (13,-2)得的点 A的坐标为 . (2)双曲线 C:x2- =1 经过伸缩变换 : 后所得曲线 C的焦点坐标为 .264 =3,2=探究点二 极坐标与直角坐标的互化32 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的直角坐标方程为 (x- )2+(y-2)2=4,直线 C2的直角3坐标方程为 y= x,以 O 为极点, x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系 .33(1)求曲线 C1和直线 C2的极坐标方程;(2)若直线 C2与曲线
4、 C1交于 P,Q 两点,求 |OP|OQ|的值 .总结反思 (1)直角坐标方程化为极坐标方程时,将 x= cos 及 y= sin 直接代入并化简即可;(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常先通过变形,构造形如 cos , sin , 2的形式,再进行整体代换 .其中方程的两边同乘(或同除以) 及方程两边同时平方是常用的变形方法 .但对方程进行变形时,方程必须同解,因此应注意对变形过程的检验 .式题 2017大庆实验中学月考 已知曲线 C 的极坐标方程为 2= ,以极92+92点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系 .(1)求曲线 C 的直角坐标方程;(2)A,B 为曲线 C 上两
5、个点,若 OA OB,求 + 的值 .1|21|2探究点三 简单曲线的极坐标方程及应用3 2017全国卷 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点 ,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1的极坐标方程为 cos = 4.(1)M 为曲线 C1上的动点,点 P 在线段 OM 上,且满足 |OM|OP|=16,求点 P 的轨迹 C2的直角坐标方程;(2)设点 A 的极坐标为 ,点 B 在曲线 C2上,求 OAB 面积的最大值 .(2,3)4总结反思 曲线的极坐标方程问题通常可先利用互化公式转化为直角坐标系中的相关问题再求解,然后再次利用互化公式即可得相关结论 .极坐标方程化为直角坐标方程,只
6、需将 cos 和 sin 分别换成 x 和 y 即可 .式题 2017黄冈中学三模 在平面直角坐标系 xOy 中 ,直线 C1: x+y-4=0,曲线 C2:3( 为参数),以坐标原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系 .=cos,=1+sin(1)求 C1,C2的极坐标方程;(2)若曲线 C3的极坐标方程为 = 0,0b02222)( 为参数)=,=3.直线的参数方程的标准形式的应用过点 M0(x0,y0),倾斜角为 的直线 l 的参数方程是 (t 是参数) . =0+cos,=0+sin若 M1,M2是 l 上的两点,其对应的参数分别为 t1,t2,则:(1)M1,M2两点的
7、坐标分别是( x0+t1cos ,y0+t1sin ),(x0+t2cos ,y0+t2sin );(2)|M1M2|=|t1-t2|,|M0M1|M0M2|=|t1t2|;(3)若线段 M1M2的中点 M 所对应的参数为 t,则 t= ,中点 M 到定点 M0的距离 |MM0|=|t|=1+22;|1+2|2(4)若 M0为线段 M1M2的中点,则 t1+t2=0.课堂考点探究探究点一 曲线的参数方程1 在平面直角坐标系 xOy 中,过点 A(a,2a)的直线 l 的倾斜角为 ,点 P(x,y)为直线 l 上6的动点,且 |AP|=t.圆 C 以 C(2a,2a)为圆心, 为半径, Q(x,
8、y)为圆 C 上的动点,且 CQ 与 x 轴2正方向所成的角为 .(1)分别以 t, 为参数,求出直线 l 和圆 C 的参数方程;6(2)当直线 l 和圆 C 有公共点时,求 a 的取值范围 .总结反思 几种常见曲线的参数方程:(1)直线的参数方程 .过点 P(x0,y0)且倾斜角为 的直线 l 的参数方程为 (t 为参数) .=0+cos,=0+sin(2)圆的参数方程 .若圆心为点 M0(x0,y0),半径为 r,则圆的参数方程为 ( 为参数) .=0+cos,=0+sin(3)椭圆 + =1(ab0)的参数方程为 ( 为参数 ).2222 =cos,=sin(4)双曲线 - =1(a0,
9、b0)的参数方程为 ( 为参数) .2222 = cos,=tan(5)抛物线 y2=2px(p0)的参数方程为 (t 为参数) .=22,=2式题 2017长沙二模 在平面直角坐标系中,已知直线 l 的参数方程为 (s 为=1+,=1-参数),曲线 C 的参数方程为 (t 为参数),若直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,求=+2,=2|AB|.探究点二 参数方程与普通方程的互化72 2017临汾三模 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为( 为参数),以坐标原点为极点 ,x 轴正半轴为极轴建立极坐标= 3sin-cos,=3-23sincos-22系,曲线 C2的极坐标方程
10、为 sin = m.(-4) 22(1)求曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程;(2)若曲线 C1与曲线 C2有公共点,求实数 m 的取值范围 .总结反思 (1)消去参数的方法一般有三种: 利用解方程的技巧求出参数的表达式,然后代入消去参数; 利用三角恒等式消去参数; 根据参数方程本身的结构特征,灵活选用一些方法,从整体上消去参数 .(2)在参数方程与普通方程的互化中,必须使两种方程中的 x,y 的取值范围保持一致 .式题 2017湖北六校二联 已知直线 l: (t 为参数),曲线 C1: (=1+12,= 36 =cos,=sin为参数) .(1)设 l 与 C1相交于 A,B 两
11、点,求 |AB|;(2)若把曲线 C1上各点的横坐标缩短为原来的 ,纵坐标缩短为原来的 ,得到曲线 C2,设点12 32P 是曲线 C2上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最大值 .探究点三 直线的参数方程83 2017雅安三诊 平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ( 为参数),=3cos,=sin在以原点为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 sin = .(-4) 2(1)求曲线 C 的普通方程和直线 l 的倾斜角;(2)设点 P(0,2),直线 l 和曲线 C 交于 A,B 两点,求 |PA|+|PB|.总结反思 (1)直线的参数方程有多种形
12、式,只有标准形式中的参数才具有几何意义,即参数 t 的绝对值表示对应的点到定点的距离 .(2)根据直线的参数方程的标准形式中 t 的几何意义,有如下常用结论: 若直线与圆锥曲线相交,交点对应的参数分别为 t1,t2,则弦长 l=|t1-t2|; 若定点 M0(标准形式中的定点)是线段 M1M2(点 M1,M2对应的参数分别为 t1,t2,下同)的中点,则t1+t2=0; 设线段 M1M2的中点为 M,则点 M 对应的参数为 tM= .1+22式题 2017鹰潭一模 在直角坐标系 xOy 中,过点 P 作倾斜角为 的直线 l 与曲(32,32)线 C:x2+y2=1 相交于不同的两点 M,N.(
13、1)写出直线 l 的参数方程;(2)求 + 的取值范围 .1| 1|探究点四 圆、圆锥曲线的参数方程及应用4 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 (t 为参数,0 b,那么 ;如果 bbbb,bc,那么 ,即 ab,bc . (3)如果 ab,那么 a+c ,即 aba+c . 推论:如果 ab,cd,那么 ,即 ab,cd . (4)如果 ab,c0,那么 ac ;如果 ab,cb0,那么 an bn(nN, n2) . (6)如果 ab0,那么 (nN, n2) . 2.基本不等式(1)如果 a,bR,那么 a2+b2 ,当且仅当 时,等号成立 . (2)如果 a0,b0
14、,那么 ,当且仅当 时,等号成立 . +2(3)如果 a0,b0,那么 称为 a,b 的 平均, 称为 a,b 的 平均 . +2 (4)如果 a0,b0,c0,那么 ,当且仅当 时,等号成立 . +3(5)对于 n 个正数 a1,a2,an,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即 ,当且仅当 a1=a2=an时,等号成立 . 3.绝对值不等式(1)如果 a,b 是实数,那么 |a+b| |a|+|b|,当且仅当 时,等号成立 . (2)如果 a,b,c 是实数,那么 |a-c| |a-b|+|b-c|,当且仅当 时,等号成立 . 课堂考点探究探究点一 绝对值三角不等式的应用1 2017湖南长
15、郡中学二模 若对于实数 x,y,有 |x+y+1| , ,求证: 13|-13| 23 |23+1|.79总结反思 (1)对绝对值三角不等式定理 |a|-|b| |ab| |a|+|b|中取等号的条件要深刻理解,特别是用此定理求函数的最值时,要检验等号是否能取到 .该定理可以强化为 |a|-|b| |ab| |a|+|b|,它经常用于证明含绝对值的不等式 .(2)求 y=|x-a|+|x-b|或 y=|x-a|-|x-b|型函数的最值问题时,利用绝对值三角不等式更方便 .式题 若 x,y 满足 |x-3y|0).|+8|(1)求证: f(x)8 恒成立;(2)求使得不等式 f(1)10 成立的
16、实数 m 的取值范围 .12总结反思 含有绝对值的不等式的证明方法: 去掉绝对值符号( |x| a-a x a(a0),|x|axa 或 x0)再证明; 利用绝对值不等式的性质( |a|-|b| |ab| |a|+|b|)来证明 .式题 2017宣城二调 已知 f(x)=|ax-1|,若实数 a0,不等式 f(x)3 的解集是 x|-1 x2 .(1)求 a 的值;(2)若 ba-b0,ab,只要证明 即可,这种方法称为求差比较法 . 求商比较法: ab0 1 且 a0,b0,因此当 a0,b0 时要证明 ab,只要证明 1 即可, 这种方法称为求商比较法 . (2)分析法从所要证明的 出发,
17、逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实,从而得出要证的命题成立,这种证明方法称为分析法,即“执果索因”的证明方法 . (3)综合法13从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法称为综合法,即“由因寻果”的方法 . (4)放缩法证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达到证明的目的,这种方法称为放缩法 .(5)反证法的步骤 作出否定 的假设; 进行推理,导出 ; 否定 ,肯定 . 2. 柯西不等式(1)二维形式的柯西不等式 柯西不等式的代数形式:设 a1,a2,b1,b2均为实数,
18、则( + )( + ) (当且仅当2122 2122a1b2=a2b1时,等号成立) . 柯西不等式的向量形式:设 , 为平面上的两个向量,则 | | | | ,当且仅当 是零向量或存在实数 k,使 =k 时,等号成立 . 二维形式的三角不等式:设 x1,y1,x2,y2R,那么 + ,21+21 22+22 (1-2)2+(1-2)2当且仅当 x1y2=x2y1时,等号成立 . (2)一般形式的柯西不等式设 a1,a2,a3,an,b1,b2,b3,bn是实数,则( + + )( + + )2122 2 2122 2( a1b1+a2b2+anbn)2,当且仅当 bi=0(i=1,2,n)或
19、存在一个实数 k,使得ai=kbi(i=1,2,n)时,等号成立 . 课堂考点探究探究点一 柯西不等式的应用1 已知 x,y,z 是正实数,且满足 x+2y+3z=1.(1)求 + + 的最小值;111(2)求证: x2+y2+z2 .11414总结反思 对于若干个单项式的平方和,因为其符合柯西不等式( a2+b2+c2)(m2+n2+p2)( am+bn+cp)2,所以只要补足另一个平方和多项式,便可利用柯西不等式来求最值 .式题 2017长沙雅礼中学二模 已知关于 x 的不等式 |x+a|0), + 2( ab0), + -2(ab 0),利用已知条件得出 M 点坐标,根据 |OM|OP|
20、=16列方程可得 C2的极坐标方程,再将极坐标方程化为直角坐标方程;(2)设 B( B, )( B0),由 |OA|=2, B=4cos ,即可求出 OAB 面积的最大值 .解:(1)设 P 的极坐标为( , )( 0),M 的极坐标为( 1, )( 10).由题设知 |OP|= ,|OM|= 1= .4cos由 |OM|OP|=16 得 C2的极坐标方程为 = 4cos ( 0),因此 C2的直角坐标方程为( x-2)2+y2=4(x0) .(2)设点 B 的极坐标为( B, )( B0).由题设知 |OA|=2, B=4cos ,于是 OAB 的面积S= |OA| Bsin AOB=4co
21、s =2 2 + .12 |sin(-3)| |sin(2-3)- 32| 3当 =- 时, S 取得最大值 2+ ,12 3所以 OAB 面积的最大值为 2+ . 3变式题 解:(1) x= cos ,y= sin ,C 1的极坐标方程为 cos + sin - 4=0.3 x 2+(y-1)2=1,又 x= cos ,y= sin ,=cos,=1+sin, ( cos )2+( sin - 1)2=1,即 2-2 sin = 0,C 2的极坐标方程为 = 2sin .(2)设 A( 1, ),B( 2, ),则 1= , 2=2sin ,43cos+sin则 = = 2sin ( cos
22、 + sin )= ,又 00,设 A,B 两点对应的参29 2 2数分别为 t1,t2,则 t1+t2=- 0,所以 t10,即 sin2 ,又 0,),3 (+6)23 0,设 A,B 两点对应的参数分别为 t1,t2,则 1+2=-2(cos-sin),12=-7. 又直线 l 过点 P(1,2),结合 t 的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|= = =2 .(1+2)2-412 32-4sin2 32-4 7故 + = = ,所以所求的最小值为 .1| 1| |+| 32-4sin2|-7| 277 277变式题 解:(1) 曲线 C1的参数方程为 (t
23、为参数), 其普通方程为( x+4)=-4+cos,=3+sin2+(y-3)2=1,C 1为圆心是( -4,3),半径是 1 的圆 . 曲线 C2的参数方程为 ( 为参数), 其普通方程为 + =1,=8cos,=3sin 26429C 2为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 8,短半轴长是 3 的椭圆 .(2)由 t= ,得 P(-4,4),设 Q(8cos ,3sin ),故 M -2+4cos ,2+ sin ,2 3224 (cos - 2sin )=7 可化为 x-2y=7,故 M 到 C3的距离 d= |4cos - 3sin - 13|= |5cos(+ )-13|
24、其中 tan = ,55 55 34从而当 cos(+ )=1 时, d 取得最小值,为 .855【备选理由】例 1 考查了圆的参数方程与普通方程的转化,直线与圆相交求弦长;例 2 考查了直线的参数方程与普通方程,圆的极坐标方程与直角坐标方程的转化,直线参数方程的应用;例 3 考查了曲线的极坐标方程与参数方程的转化,以及曲线参数方程的应用;例 4 考查了曲线参数方程与极坐标方程之间的转化,以及曲线极坐标方程的应用 .以上几题覆盖了曲线参数方程与极坐标方程的几种常见组合,是对例题的补充 .1 配例 2 使用 2017珠海调研 已知在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为( 为参数),以原
25、点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 ,直线 l 的=2+2cos,=2sin 极坐标方程为 sin =2 .(+4) 2(1)求曲线 C 的极坐标方程;(2)求直线 l 被曲线 C 截得的弦长 .解:(1)曲线 C 的普通方程为( x-2)2+y2=4,即 x2+y2-4x=0,将 代入,化简得 = 4cos , 曲线 C 的极坐标方程是 = 4cos =cos,=sin.(2) 直线 l 的直角坐标方程为 x+y-4=0,联立 得直线 l 与曲线 C 的交点坐标为(2,2),(4,0),2+2-4=0,+-4=0, 所求弦长为 =2 .(2-4)2+(2-0)2 22 配例
26、3 使用 已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数),以直角坐标系 xOy 的=2+ 22,=1+ 22原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 = 4 sin .2 (+4)25(1)求直线 l 的普通方程与圆 C 的直角坐标方程;(2)设圆 C 与直线 l 交于 A,B 两点,若 P 点的直角坐标为(2,1),求 |PA|-|PB|的值 .解:(1)易得直线 l 的普通方程为 y=x-1.因为曲线 C 的极坐标方程为 = 4 sin =4sin + 4cos ,即 2=4 sin + 4 cos 2 (+4) ,所以圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2-4x
27、-4y=0(或写成( x-2)2+(y-2)2=8).(2)点 P(2,1)在直线 l 上,且在圆 C 内,把 代入 x2+y2-4x-4y=0,得 t2- t-7=0,=2+ 22,=1+ 22 2设 A,B 两点对应的参数分别为 t1,t2,则 t1+t2= ,t1t2=-7b (2)ac ac(3)b+c b+c a+cb+d a+cb+d(4)bc bc (5) (6)2. (1)2 ab a=b (2) a=b(3)算术 几何 (4) a=b=c3(5) 1+2+ 123. (1)ab0 (2)(a-b)(b-c)0【课堂考点探究】例 1 思路点拨 借助绝对值三角不等式进行证明 .证
28、明: = = x+y+1-y+ + |x+y+1|+ + = ,所以|23+1| 23|+32| 23 1316 23 |-13| 16 23 (13+23+16)79 .|23+1| 79变式题 证明:由绝对值三角不等式的性质得|x|= |2(x-3y)+3(x+2y)| |2(x-3y)|+|3(x+2y)|-2 时,令 -x+4=x-a,得 x=2+ ,2a 2 + ,即 a4 .2综上, a -2 或 a4 .变式题 解:(1)当 a=-1 时,不等式 f(x)0 可化为 |2x+1|-|x|-10, 或 或 解得 x -2 或 x0, 10,分8 16 |1+8|1-2m0 和 1-
29、2m0,得 f(x)= +|x-2m| = = +2m2|+8| |(+8)-(-2)| |8+2| 8=8,当且仅当 =2m 且 (x-2m)0,即 m=2 且 -4 x4 时取等号,所以 f(x)82 8 (+8)8 恒成立 .(2)f(1)= +|1-2m|(m0).|1+8|当 1-2m 时, f(1)=1+ -(1-2m)= +2m,12 8 8由 f(1)10,得 +2m10,化简得 m2-5m+40,解得 m4,所以 4.8 12当 1-2m0,即 010,得 2+ -2m10,此不等式在 00,所以 - x ,2 4因为不等式 f(x)3 的解集是 x|-1 x2,30所以 解
30、得 a=2.-2=-1,4=2,(2)因为 = = ,()+(-)3 |2-1|+|2+1|3 |(2-1)-(2+1)|3 23所以要使 ,()+(-)3 23解得 k 或 k- , 23 23所以实数 k 的取值范围是 .(-,-23) (23,+)【备选理由】这里选用的三个例题,涉及求绝对值不等式的解、由解集求参数、不等式的证明,以及不等式恒成立等问题,希望通过练习提高学生的解题能力 .1 配例 1 使用 已知函数 f(x)=|2x-a|+|2x+3|,g(x)=|x-1|+2.(1)解不等式 |g(x)|5;(2)若对任意 x1R,都存在 x2R,使得 f(x1)=g(x2)成立,求实
31、数 a 的取值范围 .解:(1)由 |x-1|+2|5 得 -5|x-1|+25,所以 -7|x-1|3,得 -2x4,故不等式 |g(x)|5 的解集为 x|-2x4.(2)因为对任意 x1R,都有 x2R,使得 f(x1)=g(x2)成立,所以 y|y=f(x)y|y=g(x),又 f(x)=|2x-a|+|2x+3| |(2x-a)-(2x+3)|=|a+3|,g(x)=|x-1|+22,所以 |a+3|2,解得 a -1 或 a -5,所以实数 a 的取值范围为 a -1 或 a -5.2 配例 2 使用 2017山西实验中学模拟 已知函数 f(x)=|x-2|+|x+4|,g(x)=x2+4x+3.(1)求不等式 f(x) g(x)的解集;(2)如果 f(x) |1-5a|恒成立,求 a 的取值范围 .解:(1) f(x) g(x),即 |x-2|+|x+4| x2+4x+3.
