1、 编号 学 士 学 位 论 文求异面直线距离的几种方法学生姓名： 学 号： 20090103043 系 部： 数 学 系 专 业： 数学与应用数学 年 级： 2009 - 3 指导教师： 完成日期： 2014 年 4 月 22 日学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS1摘要本论文分别借用向量方法，平行六面体的高，向量的射影，点到平面的距离，两点间的距离和平行平面的距离，给出空间两异面直线的距离公式的方法来总结了求异面直线之间距离的定义法，转化法，极值法，射影法等十种方法。关键词：异面直线； 异面直线之间的距离；学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS2目 录摘
2、要 1引言 11.定义法（直接法） 12.转化法 22.1 转化为线面距离法 22.2 转化为面面距离法 33.极值法 34.射影法 45.公式法 56.平移法 77.垂面法 88.向量法 89.行列式法 .10总结 .12参考文献 .13致谢 .14学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS1FHBACDE引言求异面直线之间的距离是中学数学中的重要概念之一，也是空间距离问题的难点，弄清异面直线距离的有关概念和性质是求异面直线距离的前提。求异面直线之间的距离在中学数学中没有具体讲解，所以本论文利用定义法（直接法） ，转化法，极值法，射影法，公式法，平移法，垂面法，向量法及行列式法
3、和实际例题来解决关于求异面直线之间的距离问题。求异面直线间的是中学数学的一个难点，难就难在不知怎样找异面直线的公垂线段，也不会将所求的问题进行转化。解答此类问题，主要的方法有将两条异面直线的距离转化为直线与平面的距离，或转化为平面与平面的距离，或转化为一元二次函数的最值问题，或转化为用等体积的方法等来求解。特点：即不平行也不相交，两直线永远不可能在同一平面内。定义 和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线夹在异面直线间的部分叫做异面直线的公垂线段。两条异面直线的公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离。性质 1 任意两条异面直线有且只有一条公垂线。性质 2 两条异面直线的公
4、垂线段长（异面直线的距离）是分别连接两条异面直线上两点线段中最短的长度下面我将求两条异面直线的距离的几种方法作一归纳总结。1.定义法（直接法）定义法就是先作出这两条异面直线的公垂线段，然后求出公垂线段长即异面直线之间的距离。例 1： 如图所示，边长均为 的两个正方形 ABCD 和 CDEF 成a120的二面角。求异面直线 CD 与 AE 间的距离。解：如图中，四边形 ABCD 与 CDEF 是正方形得, CD 平面 AEDCDAE过点 D 作 DH AE，垂足为 H又 CD 平面 AED ，得 CD DH又因为 DH AE，得 DH 是 CD 与 AE 的公垂线（异面直线 AE学 士 学 位
5、论 文BACHELOR S THESIS2与 CD 间的距离）在 ADE 中， ADE=120，AD=AE= ，DH AE， a得 DH = AD = DE = 212即异面直线 CD 与 AE 的距离为 ；2.转化法转化法将两条异面直线的距离转化为直线与平面距离或转化为平面与平面的距离求解。2.1 转化为线面距离法线面距离法就是选择异面直线中的一条，过它作另一条直线的平行平面，因此直线与平面的距离即为所求异面直线的距离。例 2.如图所示，正方体 - 的棱长为 ，求异面直线 与ABCD1aBD之间的距离。CB1解：连接 和,因为 得 而D/ CDB平 面/ CDB平 面从而 与 的距离就是 与
6、平面 的距离为 h；BC用体积法， VBCBDBChS31 3261.3.21.3aCB 因为 ，所以 是等边三角形CDB即 2aSCDB学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS3CCBDADA B从而 得 ；23136haha2.2 转化为面面距离法面面距离法就是所求异面直线的距离转化为求分别过两条异面直线的两个平行的平面间的距离。例 3.如图所示，正方体 的棱长为 1，求异面直线DCBA的距离。CBD与解：如图，分别连接 ,因为 BA/,/,CDB平 面, BDA平 面得平面 平面 且对角线 为两个平面的公垂线，/C由体积法可以得出 A 到平面 的距离等于 到平面的距离为B
7、3因为 32DC从而 与 平面的距离等于 ,A 3.1CA两平面间的距离就是 与 之间的的距离，B即 与 之间的的距离为 ；BDC 33.极值法极值法就是把两条异面直线间的距离表示成某一个变量的函数，从而通过求函数的最小值来求异面直线间的距离。学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS4 QNEFMD CBACDA BQNDMCBA CBA例 4，如图，棱长为 4 的正三棱柱 中，D 是 AB 的中的，求CBA与 间的距离。CDA解： 在上任取一点 M，作 垂足为 N，则 平面又作 ,垂足为 Q，连接 NQ，则 MMQ平 面因此 , 为直角三角形NC设 ，则xxNA4,在 中，
8、QRt30D得， )(21xCN由勾股定理， 516)4()4(1222 xNQM当 时 ， ；54x562即 与 间的距离为 ；CDA54.射影法将两条异面直线射影到同一平面内，射影分别是点和直线或两条异面直线，那么点和直线两条平行线的距离就是这两条异面直线射影间的距离。例 5. 如图在正方体 中， 分别是棱 的DCBANM,1CAB,中点， 是 的中点，求异面直线 间的距离。EBDE,解：把异面直线 的射影到同一平面内，两射影间的距离就是所求ENM,异面直线之间的距离。 取 的中点 Q，连接 EQ,ENC因为 E,Q 是中点，得 CBDCQ平 面,/得 BE平 面学 士 学 位 论 文BA
9、CHELOR S THESIS5nmAEdB DCA又因为 得， 的射影为 QN。QNE再取 的中点 F，同理，MF 是 的射影，CD MD得 是 的射影。BM/从而 是 EN 和 在平面 上的射影。,BCQN 与 间的距离就是两条异面直线的距离因为 Q 是 BC 的中点，得 21Q又 ，设 QN 与 的距离为 ，从而 得 ，45BCCBh4122BQ2h即异面直线 间的距离为 ；ENMD, 45.公式法求异面直线之间的距离，我们还可以用下面两个公式来求。公式 1 如图 ，三棱锥 A-BCD 中，若 AB 和 CD 所成的角为 ，三棱锥A-BCD 的体积为 , 则异面直线 AB 与 CD 间的
10、距离 VBCD sin6CDBdVA 学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS6mnPD CBACDA B公式 2 .已知面积 ，二面角 的平面角为 ，如图（2） ，a直线 b 与平面 分别交与 A,E 到棱 的距离为 n ,m, 则异面直线 与 之间， ab的距离 cos2i2mnd例 6.如图，已知正方体 ，其边长为 是 的中点，求DCBAPa,CBAC 与 BP 间的距离。解：（公式 1） 设异面直线 AC 与 BP 所成的角为 取 的中点 N，连接 ANDA因为 P 是 的中点，得CB/BPANC， 则很容易解能求出 ; 103sinDaBPAC25, 623aVABC
11、PaadABCP 310256sin63即 AC 与 PB 之间的距离为 ；（用公式 2）解：设 B 到 AC 的距离为 m，P 到 AC 的距离为 n.3,4man设二面角 P-AC-B 的平面角为 学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS7PQNOD CBA CDA B用面积的射影公式得 31cos因为 sin22得 3i aaamnd 3214289213cos2i2 即 AC 与 PB 之间的距离为 ；36.平移法找出一条直线，使两条直线都垂直，但这条直线不是公垂线，这时把这条直线设法平移到这两异面直线相交然后求出这两异面直线的公垂线。例 7.已知正方体 ，其边长为 ，
12、求 AC 与 间的距离。DCBAaA解：如图，由正方体的性质 BD 与 AC 交与 O,C在 中，将 平移到 ON 处，连接 AN，可知 N 为 的中点DB 设 AN 与 交点为 Q,将 DN 平移到 PQ， A可知，PQ 是 AC 与 AD 的垂线由平面几何知识， 则12QN3APQO/得 ，则 ，得出 AMP23aPa即 AC 和 间的距离为D学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS87.垂面法若两条直线是异面直线，过其中一条做平面，使这条直线与平面垂直，在平面内，过这条直线垂足点作另一条直线的垂线，垂足和前一个垂足的连线就是公垂线。例 8. ，其边长为 1 求 BD 与
13、之间的距离。DCBACA解：连接 AC，AC 与 BD 交与 P 点 平 面AC过 P 作 Q又因为 PQ 平面 所以CABDPQ又 ,所以 PQ 为 BD 与 AC 的公垂线 因为 , 32263sinCACARt中 ， 21PQt中 ， 62sin,则 sinCQP即 BD 与 之间的距离为 ；A68.向量法向量法又叫做法向量投影法，一般步骤是：学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS9 建立空间直角坐标系,求异面直线 ,b 的方向向量 在求出 的法向量 aba,n（向量 均与向量 垂直）nba, 分别在直线 ,b 上各取一点 A,B，求做向量 AB 求向量 在法向量 上的
14、投影ABnnd例 9，如图，已知正方形 ，其棱长为 1，求异面直线DCBA与 之间的距离。DC解：建立空间直角坐标系 xyz设 = 是过直线 且平行于 AC 的平面的法向量。 n,xyzD因为 , 所以 A0nA又 , 10D1,C所以 即 xzyzxy令 =1 得， 1n， ，因为 在 上且 ，AD0,A所以 3dn即 ；与 之 间 的 距 离 为AC学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS109.行列式法定理 1 两直线 11334222400: :AxByCzDAxByCzDl lZ与异面的充分必要条件是 M=112233440ABCD定理 2. 异面直线： 与 ： 得距
15、离为， 1l11220=AxByCzD2l3344 0xyzAB其中， 1342341,Mdnn11223344=CDMAB=( ) ， （ ） iiiCBA,i例 10.已知两直线方程为 与 120:34xyzl20:45xyzl 证明它们是异面直线. 求出它们之间的距离.解： 由两直线异面的充要条件可知，这两直线的一般方程的条数构成四阶行列式 = -25 5420013M 由已知方程， =（1， -1，-1） ， =（2，-3，1） ， =（1，-2，1） ，nn3n=（ 1，-1，-1） ，4n学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS11（ ， ， ）= =-8 ， （
16、， ， ）= = -61n3442012n3442013（ ， ， ） -（ ， ， ） =-8 （2，-3，1）+ 6 （1，-1，-1）134n31=（-10，18，-14)= =1342341,220845由定理 2 中的公式得，两条异面直线的距离为；1562d学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS12总结异面直线间的距离是立体几何的核心概念，位于知识网络的交汇处和思想方法的结合部，是立体几何的学习的难点。求异面直线的距离不仅考察空间想象力逻辑思维能力。综上可知，求异面直线间的距离要如下三种意识；定义意识，转化意识和函数意识，同时要注意向量方法和坐标法在解题中的重要作用
17、。学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS13参考文献1王成岩（牡丹江教育学院黑龙江 牡丹江 157005）文章编号1009-2323（2001）04-068-032薛金星主编 中学教学解题方法与技巧（上旬）北京教育出版社 2011.3 出版M（62-63）3同济大学数学系编 高等数学（第五版）上册 高等教育出版社 20024单壿著编 中学数学研究 上海教育出版社 2012 年第 4 期M (37-39)5数理化解题研究 2012 年（15-17）6朱洪亮编 数理化学习（高中版）天津科学技术出版社 2012 年第 6 期M（2-4）7杨天林编中学生数理化（高中版）南京大学出版社 2009 年第 12 期M（46-47）8吕林根，许子道 编 解析几何（第五版）北京高等出版社 2006.5学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS14致谢在喀什师范学院经过五年学习，使我做人做事等各方面得到了很大提高。在阿布拉江老师的指导下，我的毕业论文顺利通过。他帮助我批阅了很多次，提供各方面的资料和很好的意见，所以非常感谢他的帮助。在指导老师耐心的指导下，我学会了论文的三步：怎样开头，怎样继续，怎样结束。非常感谢指导老师，也非常感谢我系的各位老师。在他们的教育下，使我在各方面得到了很大的提高，为以后的工作打下了良好的基础。此致 敬礼2014 年 4 月 22 日
