1、 微积分（上） 试卷 A 第 1 页 共 6 页诚信应考,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试 微积分（上） 试卷 A（试卷号：2013.1.10 时间 120 分钟，总分 100）注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚；2. 所有答案请直接答在试卷上( 密封线装订区内、草稿纸上答题均无效)；3考试形式：闭卷；4. 本试卷共 五 大题，满分 100 分， 考试时间 120 分钟。题 号 一 二 三 四 五 总分得 分评卷人一、 填空题（每小题 4 分，20 分）1写出数列 以常数 为极限的 定义： 对所有 ，存在 ，当nxaN0N时有nN2设 ，则 8 12f2201limxff3方
2、程 确定了隐函数 ，则yxeydy1yex4设 ，且 ，则f310ftdx7f25.2201x二、 计算下列各题（每小题 5 分，共 15 分）6、设数列 满足： ，且 。证明： 存在，并n10x1sin1,2x limnx求出此极限解 因为 ，所以 ，设 ，则1210i01,k由数学归纳法得 ，从而数列 有界；10sinkkx,nxnx_ _ 姓名 学号 学院 专业 座位号 ( 密 封 线 内 不 答 题 )密封线线 微积分（上） 试卷 A 第 2 页 共 6 页又 ，从而数列 是一个单调减少的有界数列。根据单调有界1sin0nxxnx准则 存在，设 。则 ，即 ，得limlnl1imlis
3、limnnxlsil，即0nx7、求极限 201lisix解 原式 （等价无穷小替换）22400nsinlimlixx3 330 000si isinsinl llm2lx xxx 32000incos1i12llil6xxx8、求极限 222limnnn 解 222222111li lim1n nn nn 11221 00lim2nk dx 三、 解答下列各题（每小题 5 分，共 20 分）9、已知 ，求32sinxydyx解 21lnll3lnsi6x从而 21co3iyxx3221tsin3x 10、设 ，求sincofxx201y 微积分（上） 试卷 A 第 3 页 共 6 页解 ，由
4、莱布尼茨公式21sinfxx 2013201 20120132 32i sinsinf x x 2012013 201 0sinix xf 201 201 21i533sin23 11、设 由参数方程 确定，求yx2ln1arctxydyx解 ，从而22,1dttt221tttd12、写出 带有拉格朗日型余项的 阶麦克劳林公式xfen解 1,12xxxxfee 从而发现 ，nfxe1 1n n， 0,02,0fff由公式 得2 101!nnfffxfxxx在 0 与 之间。32 1,!x nne e四、 计算下列各题（每小题 5 分，共 10 分）13、计算 1cosdx解 222s1cosc
5、scotinxdxxdtx14、 2arcn1d解 令 ，t,rtaxx 微积分（上） 试卷 A 第 4 页 共 6 页则 22arctntansectansecsec11xdtdtdt，由辅助三角形seltttt21tx原式 22arcnxxc五、 解答下列各题（每小题 5 分，共 15 分）15、设 在 连续，且 。证明f,0ffx0fxd证 分段积分 00fxdfxfd对 进行换元，令 ，则 时 ， 时0ft,tx0t,0xt，t从而 ，由已知 ，即00fxdftd,fxfx，进而,ftftt000fdftfxd因此 0000fxdfxfxfxf 16、计算ln201xe解 令 ，则 时
6、 ， 时 ；xt22ln1,lnttdxx1t0xt则 ln21220000arct242xedttt 17、判别广义积分 的敛散性1lneexd解 为瑕点，x11 1llnlneeexxddx22200111lnlnlimlim1lneeddxex 微积分（上） 试卷 A 第 5 页 共 6 页从而 发散，因此原式发散1lnexd六、 解答下列各题（每小题 5 分，共 10 分）18、求由 和 所围成的平面图形绕 轴旋转一周所得的旋转体的体,ln3xye0yx积解 交点为 ， 交点为 ， 交1,lxl,21,0xey,0,ln3yx点为 ，分清边界曲线的上下左右，作图（略）ln30ln3l
7、ln322200 011xx xVedede2ln3l 0ln9936lnl2 19、求双扭线 在圆 内部的图形的面积。2cosra22axy解 由转化公式 ，得圆 的极坐标方程为 ，从,sinxr22xy2ar而双扭线 与圆 的交点处2cosra2a，交点 关于极轴对称，221cos,36a2,a分析图形周期性、变化趋势与对称性，作图（略）从而看出26420614cosaSdd22 224606 3sinsini136a aa 七、 证明题（每小题 5 分，共 10 分）20、设 在 上可微，且 。试证：存在 ，使fx,1120fxfd0,10 微积分（上） 试卷 A 第 6 页 共 6 页证 由积分中值定理， 120110,0,22xfdff从而 也形成了一个区间。1,f令 ，由已知 ，在区间 上连续，在 内可导，又FxFx,1,1，由罗尔定理，得存在存在 ，使 ，即,0,0F0ff21、设 函数在闭区间 上连续，证明： 在闭区间 上存在原函数fxabfx,ab证 由于 函数在闭区间 上连续，可设f,afdx由于 ,xxxaaxfdffab从而 位于0 0011limlimlim,xx xfdfxx 与 之间，再由连续性，从而 ，由原函数x0lilixxfff的定义知 是 在闭区间 上的一个原函数，因此 在闭区间 上存xf,ab,ab在原函数
