1、1第 1 课时 等比数列的前 n 项和1.掌握等比数列的前 n 项和公式及其应用. 重点2.会用错位相减法求数列的和. 难点3.能运用等比数列的前 n 项和公式解决一些简单的实际问题.基础初探教材整理 等比数列的前 n 项和阅读教材 P48P 50，完成下列问题.等比数列的前 n 项和公式1.设 an是公比为正数的等比数列，若 a11， a516，则数列 an前 7 项的和为_.【解析】 a5 a1q4， q2. q0， q2， S7 127.a1 1 q71 q 27 12 1【答案】 1272.在等比数列 an中， a12， S326，则公比 q_.【解析】 S3 26， q2 q120，
2、 q3 或4.a1 1 q31 q 2 1 q31 q2【答案】 3 或43.等比数列 an中，公比 q2， S544，则 a1_.【解析】 由 S5 44，a11 2 51 2得 a14.【答案】 44.设 Sn为等比数列 an的前 n 项和，8 a2 a50，则 _.S5S2【解析】 由 8a2 a50，得 8，即 q38，a5a2所以 q2. 11.S5S2a11 2 51 2a11 2 21 2 1 2 51 2 2【答案】 11小组合作型等比数列的前 n 项和公式的基本运算在等比数列 an中，(1)若 Sn189， q2， an96，求 a1和 n；(2)若 a3 ， S3 ，求 a
3、1和公比 q.32 92【精彩点拨】 利用等比数列的前 n 项和公式及通项公式，列出方程组求相应各个量.【自主解答】 (1)法一：由 Sn ， an a1qn1 以及已知条件得Error!a1 1 qn1 q a12n192，2 n .192a1189 a1(2n1) a1 ，(192a1 1) a13.3又2 n1 32， n6.963法二：由公式 Sn 及条件得a1 anq1 q189 ，解得 a13，a1 9621 2又由 an a1qn1 ，得 9632 n1 ，解得 n6.(2)当 q1 时， S3 ，a1 1 q31 q 92又 a3 a1q2 ，32 a1(1 q q2) ，92
4、即 (1 q q2) ，32q2 92解得 q (q1 舍去)， a16.12当 q1 时， S33 a1， a1 .32综上得Error! 或Error!1.在等比数列 an的五个量 a1， q， an， n， Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组求解，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.2.在解决与前 n 项和有关的问题时，首先要对公比 q1 或 q1 进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论.再练一题1.在等比数列 an中，(1)若 q2， S41，求 S8; 【导学号：18082035】(2)若 a1 a310， a4 a6 ，求 a4和 S5.54【解】
5、 (1)法一：设首项为 a1， q2，S41， 1，即 a1 ，a1 1 241 2 1154 S8 17.a1 1 q81 q 115 1 281 2法二： S4 1，且 q2，a1 1 q41 q S8 (1 q4) S4(1 q4)1(12 4)17.a1 1 q81 q a1 1 q41 q(2)设公比为 q，由通项公式及已知条件得Error!即Error! a10,1 q20，得， q3 ，即 q ，18 12 a18. a4 a1q38 1，(12)3 S5 .a1 1 q51 q81 (12)5 1 12 312等比数列前 n 项和公式的实际应用借贷 10 000 元，以月利率为
6、 1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分 6 个月付清，试问每月应支付多少元？(1.0161.061,1.01 51.051)【精彩点拨】 解决等额还贷问题关键要明白以下两点(1)所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为 S P(1 r)n，其中 P 代表本金， n 代表存期， r 代表利率， S代表本利和.(2)从还贷之月起，每月还贷金额是构成等比数列还是等差数列，首项是什么，公比或公差是多少.【自主解答】 法一：设每个月还贷 a 元，第 1 个月后欠款为 a0元，以后第 n 个月还贷 a 元后，还剩下欠款 a
7、n元(1 n6)，则 a010 000， a11.01 a0 a，a21.01 a1 a1.01 2a0(11.01) a，a61.01 a5 a1.01 6a011.011.01 5a.5由题意，可知 a60，即 1.016a011.011.01 5a0，a .1.0161021.016 11.01 61.061， a 1 739.1.0611021.061 1故每月应支付 1 739 元.法二：一方面，借款 10 000 元，将此借款以相同的条件存储 6 个月，则它的本利和为S110 4(10.01) 610 4(1.01)6(元).另一方面，设每个月还贷 a 元，分 6 个月还清，到贷款
8、还清时，其本利和为S2 a(10.01) 5 a(10.01) 4 aa 1 0.01 6 11.01 1 a1.016110 2(元).由 S1 S2，得 a .1.0161021.016 1以下解法同法一，得 a1 739，故每月应支付 1 739 元.解数列应用题的具体方法步骤：1 认真审题，准确理解题意，达到如下要求,明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题？是求 an，还是求Sn？特别要注意准确弄清项数是多少.,弄清题目中主要的已知事项.2 抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用
9、数学式子表达3 将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式.再练一题2.为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过 80 吨，该矿区计划从2014 年开始出口，当年出口 a 吨，以后每年出口量均比上一年减少 10%.(1)以 2014 年为第一年，设第 n 年出口量为 an吨，试求 an的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划 10 年后终止该矿区的出口，问 2014 年最多出口多少吨？(保留一位小数.参考数据：0.9 100.35.)【解】 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项 a1 a，公比6q110%0.9， an a0.9n1 (
10、n1).(2)10 年的出口总量S10 10 a(10.9 10).a 1 0.9101 0.9 S1080，10 a(10.9 10)80，即 a ，81 0.910 a12.3，故 2014 年最多出口 12.3 吨.探究共研型错位相减法求和探究 1 由项数相等的等差数列 n与等比数列2 n相应项的积构成新的数列 n2n是等比数列吗？是等差数列吗？该数列的前 n 项和 Sn的表达式是什么？【提示】 由等差数列及等比数列的定义可知数列 n2n既不是等差数列，也不是等比数列.该数列的前 n 项和 Sn的表达式为 Sn12 122 232 3 n2n.探究 2 在等式 Sn12 122 232
11、3 n2n两边同乘以数列2 n的公比后，该等式的变形形式是什么？认真观察两式的结构特征，你能将求 Sn的问题转化为等比数列的前 n 项和问题吗？【提示】 在等式 Sn12 122 232 3 n2n 两边同乘以2 n的公比可变形为2Sn12 222 332 4( n1)2 n n2n1 得： Sn12 12 22 32 42 n n2n1(2 12 22 32 n) n2n1 .此时可把求 Sn的问题转化为求等比数列2 n的前 n 项和问题.我们把这种求由一个等差数列 an和一个等比数列 bn相应项的积构成的数列 anbn前 n 项和的方法叫错位相减法.已知数列 an的前 n 项和 Sn3 n
12、28 n， bn是等差数列，且 an bn bn1 .(1)求数列 bn的通项公式；(2)令 cn ，求数列 cn的前 n 项和 Tn. an 1 n 1 bn 2 n【精彩点拨】 (1)利用 Sn与 an的关系求出 an，再利用待定系数法求出 bn.(2)先化简cn，再利用错位相减法求和.【自主解答】 (1)由题意知，当 n2 时， an Sn Sn1 6 n5，当 n1 时， a1 S111，满足上式，所以 an6 n5.设数列 bn的公差为 d.由Error! 即Error!7可解得Error! 所以 bn3 n1.(2)由(1)知 cn 3( n1)2 n1 ， 6n 6 n 1 3n
13、 3 n又 Tn c1 c2 cn，得 Tn322 232 3( n1)2 n1 ，2Tn322 332 4( n1)2 n2 ，两式作差，得 Tn322 22 32 42 n1 ( n1)2 n2 3 44 1 2n1 2 n 1 2n 23 n2n2 ，所以 Tn3 n2n2 .错位相减法的适用范围及注意事项：1 适用范围：它主要适用于 an是等差数列， bn是等比数列，求数列 anbn的前n 项和.2 注意事项：利用“错位相减法”时，在写出 Sn与 qSn的表达式时，应注意使两式错对齐，以便于作差，正确写出1 q Sn的表达式.利用此法时要注意讨论公比 q 是否等于 1 的情况.再练一题
14、3. _.12 12 38 n2n【解析】 令 Sn ，12 24 38 n2n则 Sn ，12 14 28 316 n 12n n2n 1由得， Sn 12 12 14 18 12n n2n 1 ，121 (12) n 1 12 n2n 1得 Sn2 .22n n2n 2n 1 n 22n8【答案】 2n 1 n 22n1.数列 2 n1 的前 99 项和为( )A.21001 B.12 100C.2991 D.12 99【解析】 数列2 n1 为等比数列，首项为 1，公比为 2，故其前 99 项和为 S992 991.1 2991 2【答案】 C2.等比数列 an中， a33 S22， a
15、43 S32，则公比 q 等于( ) 【导学号：18082036】A.2 B.12C.4 D.14【解析】 a33 S22， a43 S32，等式两边分别相减得， a4 a33 a3即a44 a3， q4.【答案】 C 3.已知等比数列 an中， q2， n5， Sn62，则 a1_.【解析】 q2， n5， Sn62， 62，a1 1 qn1 q即 62，a1 1 251 2 a12.【答案】 24.设等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S33 a3，则公比 q_.【解析】 S3 a1 a2 a33 a3， a1 a22 a3， a10，1 q2 q2，即2q2 q10， q 或 1.12【答案】 或 1125.已知 an是公差为 3 的等差数列，数列 bn满足 b11， b2 ， anbn1 bn1 nbn.139(1)求 an的通项公式；(2)求 bn的前 n 项和.【解】 (1)由已知， a1b2 b2 b1， b11， b2 ，得 a12.13所以数列 an是首项为 2，公差为 3 的等差数列，通项公式为 an3 n1.(2)由(1)知 anbn1 bn1 nbn，得 bn1 ，bn3因此 bn是首项为 1，公比为 的等比数列.13记 bn的前 n 项和为 Sn，则 Sn .1 (13) n 1 13 32 123n 1
