1、1专题训练(四) 等腰三角形性质与判定的三种思想方法 类型一 分类讨论与等腰三角形1等腰三角形两边的长分别为 5和 6，则其周长为_2等腰三角形两边的长分别为 4和 9，则其周长为_3若等腰三角形的一个内角为 70，则其顶角的度数为_4若等腰三角形的一个角为 100，则其底角的度数为_5等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 45，则其顶角的度数为_图 4 ZT16如图 4 ZT1 所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点已知 A，B 是两个格点，如果 C也是图中的格点，且使得ABC 为等腰直角三角形，那么点 C的个数是( )A6 B7 C8 D9 类型二 方程思想7如图 4 ZT2，点 K，B
2、，C 分别在 GH，GA，KA 上，且 ABAC，BGBH，KAKG，求A 的度数2图 4 ZT28如图 4 ZT3，点 D在 AC上，点 E在 AB上，且 ABAC，BCBD，ADDEBE.求A 的度数图 4 ZT39如图 4 ZT4，ABAC，AB 的垂直平分线交 AC于点 D，ADBC.(1)求B 的度数；(2)若点 E在 BC的延长线上，且 CECD，连结 AE，求CAE 的度数图 4 ZT4 类型三 转化思想一、运用“三线合一”进行转化10如图 4 ZT5，ABC 中，ABAC，D 是 BC的中点，E，F 分别是 AB，AC 上的点，且 AEAF.求证：DEDF.图 4 ZT5311
3、如图 4 ZT6，ABC 中，ABAC，D 是 BC的中点，过点 A的直线 EFBC，且AEAF.连结 DE，DF.求证：DEDF.图 4 ZT612如图 4 ZT7，ABC 中，ABAC，点 D，E，F 分别在 BC，AB，AC 上，且BDCF，BECD，G 是 EF的中点，求证：DGEF.图 4 ZT7二、用截长补短法构造等腰三角形进行转化13如图 4 ZT8，ABC 中，BAC120，ADBC 于点 D，且 ABBDDC，求C 的度数图 4 ZT814如图 4 ZT9，ABC 中，C2A，BD 平分ABC 交 AC于点 D，求证：ABCDBC.4图 4 ZT915已知ABC 中，ACBC
4、，AD 平分BAC，交 BC于点 D，E 为 AB上一点，且EDBB，现有下列两个结论：ABADCD；ABACCD.(1)如图 4 ZT10，若C90，则结论_成立；(不证明)(2)如图，若C100，则结论_成立，请证明图 4 ZT105详解详析116 或 17222340或 704405答案 45或 135 解析 腰上的高分在三角形内和三角形外两种情况6解析 A 分两种情况讨论： AB为等腰直角三角形的底边时，符合条件的点 C有 2个； AB为等腰直角三角形的一腰时，符合条件的点 C有 4个7解：设 A x. KA KG， BG BH， G H A x， ABC HKC2 x. AB AC，
5、 ABC ACB.又 ACB KCH， KCH2 x. H HKC KCH180，5 x180， x36.即 A36.8解： AB AC， BC BD， AD DE BE， ABC C CDB， EBD EDB， A AED.6设 EBD EDB x，则 A AED2 x， ABC C CDB3 x， DBC ABC EBD2 x. CDB DBC C180，3 x2 x3 x180， x22.5， A45.9解：(1)连结 BD，设 BAC x.由题意知 AD BD.又 AD BC， AD BD BC， BAC ABD x， BDC BCD2 x. AB AC， BCD ABC2 x. DB
6、C ABC ABD x. DBC BCD BDC180，5 x180， x36， BAC36， ABC72.(2)连结 DE.由(1)可得 ACB72. CE CD， CED CDE36 DBC， BD DE AD， CAE CDE18.1210证明：连结 AD. AB AC， D是 BC的中点， AD平分 BAC， EAD FAD.7又 AE AF， AD AD， AED AFD， DE DF.11证明：连结 AD，易得 AD BC. EF BC， AD EF.又 AE AF， AD是 EF的垂直平分线， DE DF.12证明：连结 DE， DF. AB AC， B C.又 BD CF， B
7、E CD， BED CDF， ED DF. G是 EF的中点， EG FG， DG EF.13解：方法一(截长法)：在 CD上取点 E，使 DE BD，连结 AE，易得 CE AB AE， CAE C， B AED C CAE2 C. BAC BAD DAE CAE2(90 AED) CAE2(902 C) C120， C20.方法二(补短法)：延长 DB至点 F，使 BF AB，则 F FAB， AB BD DF DC.8又 AD BC， AF AC， C F FAB.又 F C FAB BAC180， C20.14证明：方法一(截长法)：在 AB上截取 BE BC. BD平分 ABC， E
8、BD CBD.又 BD BD， BE BC， BED BCD， ED CD， BED C. C2 A， BED A ADE， A ADE， AE ED CD， AB AE BE CD BC.方法二(补短法)：延长 BC至点 F，使 CF CD，连结 DF，同方法一可证 BDA BDF.又 DC CF，则 AB BF CD BC.15解：(1)(2)证明：方法一(截长法)： AC BC， C100， BAC B40. EDB B， DE BE， DEA2 B80. AD平分 BAC， CAD BAD20， ADE180208080 DEA，9 AD AE.在 AB上截取 AM AC，连结 MD.易得 CAD MAD. CD MD， DMA C100， DME DEM80， DM DE， CD BE， AB AE BE AD CD.方法二(作垂线)：同方法一可得 AD AE， BE ED.过点 D作 DF AB于点 F， DG AC，交 AC的延长线于点 G，则 DGC DFE90.又 AD AD， CAD BAD20， DAG DAF， DG DF.又易得 DCG DEF80， DGC DFE， DCG DEF， CD ED BE， AB AE BE AD CD.10
