1、1专题训练(五) 三种特殊的等腰三角形的运用有三种等腰三角形比较特殊：等腰直角三角形、等边三角形和含 36角的等腰三角形下面分类进行训练，帮助同学们进一步掌握这些特殊的等腰三角形的性质和判定 类型一 等腰直角三角形定义：有一个角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形性质：(1)两条直角边相等；(2)顶角是 90，底角是 45.判定：利用定义1如图 5 ZT1，ABC 和ADE 都是等腰三角形，且BACDAE90，点B，C，D 在同一条直线上求证：BDCE.图 5 ZT12如图 5 ZT2，在ABC 中，ABAC，D 是 BC 的中点，BEAC，垂足为 E，ABE的平分线交 AD 于点 F.判断D
2、BF 的形状，并证明你的结论2图 5 ZT23如图 5 ZT3，在 RtABC 中，BAC90，AC2AB，D 是 AC 的中点将一块锐角为 45的直角三角尺 ADE 按如图所示的方式放置，使三角尺斜边的两个端点分别与A，D 重合，连结 BE，EC.试猜想线段 BE 和 EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想图 5 ZT3 类型二 等边三角形定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形性质：(1)三边都相等；(2)三个角都是 60.判定：(1)定义；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形图 5 ZT44如图 5 ZT4，lm，等边三角形 ABC 的顶点
3、 B 在直线 m 上，120，则2的度数为( )A60 B45C40 D305如图 5 ZT5，在ABC 中，ABAC，D，E 是ABC 内两点，AD 平分BAC，EBCE60.若 BE6 cm，DE2 cm，求 BC 的长3图 5 ZT56如图 5 ZT6，B 是 AC 上一点，ABD 和DCE 都是等边三角形，求证：ACBE.图 5 ZT67如图 5 ZT7，ABC 是等边三角形，E 是 BC 边上任意一点，AEF60，EF 交ABC 的外角ACD 的平分线于点 F.求证：AEEF.图 5 ZT7 类型三 有一角是 36的等腰三角形有一角是 36的等腰三角形包括两种情况：(1)顶角是 36
4、的等腰三角形，此时底角是 72；(2)底角是 36的等腰三角形，此时顶角是 108.这两类等腰三角形具有一些共性8如图 5 ZT8，过正五边形 ABCDE 的顶点 A 作直线 lBE，则1 的度数为( )A30 B36 C38 D45图 5 ZT8图 5 ZT 94.如图 5 ZT9，在等腰三角形 ABC 中，ABAC，A36，BDAC 于点 D，则CBD_.10如图 5 ZT10，在ABC 中，ABAC，CD 平分ACB，A36，则BDC 的度数为_图 5 ZT10图 5 ZT1111如图 5 ZT11 所示，在ABC 中，ABAC，D 为 BC 上一点，且ABBD，ADDC，则BAC_.1
5、2如图 5 ZT12，在ABC 中，ABAC，A36，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形请完成以下操作：(画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形的个数均不包括ABC)(1)在图中画 1 条线段，使图中有 2 个等腰三角形，并直接写出这 2 个等腰三角形的顶角度数分别是_度和_度；(2)在图中画 2 条线段，使图中有 4 个等腰三角形；(3)继续按以上操作发现：在图中画 n 条线段，使图中有 2n 个等腰三角形，其中有_个黄金等腰三角形图 5 ZT1256详解详析1证明： ABC 和 ADE 都是等腰直角三角形， AD AE， AB AC. EAC90 CAD， DAB90 CAD， D
6、AB EAC.在 ADB 和 AEC 中， AD AE， DAB EAC， AB AC， ADB AEC(S.A.S.)， BD CE.2解： DBF 是等腰直角三角形证明： AB AC， D 是 BC 的中点， AD BC， AD 平分 BAC. BF 平分 ABE， AC BE， DFB DAB ABF ( BAE ABE) (180 AEB)45，12 12 DBF90 DFB45， DB DF， DBF 是等腰直角三角形3解：数量关系： BE EC，位置关系： BE EC.证明： AED 是等腰直角三角形， AED90， EAD EDA45， AE DE. BAC90， EAB EAD
7、 BAC4590135， EDC180 EDA18045135，7 EAB EDC. D 是 AC 的中点， AC2 CD.又 AC2 AB， AB CD， EAB EDC， EB EC，且 AEB DEC， BEC BED DEC BED AEB AED90，即 BE EC.4C5解：延长 AD 交 BC 于点 M，由 AB AC， AD 平分 BAC 可得 AM BC， BM MC BC.12延长 ED 交 BC 于点 N，则 EBN 是等边三角形，故 EN BN BE6， DN624.过点 D 作 DF BE，则 DFN EBC60， FDN E60， DFN 为等边三角形， MN FN
8、 DN2，12 12 BM624， BC2 BM8.6证明： ABD 和 DCE 都是等边三角形， ADB CDE60， AD BD， CD DE， ADB BDC BDC CDE，即 ADC BDE， ADC BDE， AC BE.7证明：如图，在 AB 上截取 AG CE，连结 EG.8 ABC 是等边三角形， AB BC， B ACB60，则 BG BE. BEG 是等边三角形， BGE60， AGE120. CF 平分 ACD， ACF (180 ACB)60，12 ECF120， AGE ECF. AEC B GAE AEF CEF，且 AEF B60， GAE CEF.又 AG EC， AGE ECF(A.S.A.)， AE EF.8B91810721110812解：(1)如图所示(画图不唯一)空格处分别填 108，36.提示：当 AE BE 时， A ABE36，则 AEB108， EBC36，这 2 个等腰三角形的顶角度数分别是 108和 36.故填 108 和 36.9(2)答案不唯一，如图所示：(3)空格处填 n.提示：画 1 条线段可得到 2 个等腰三角形；画 2 条线段可得到 4 个等腰三角形；画 3 条线段可得到 6 个等腰三角形在 ABC 中画 n 条线段，使图中有 2n 个等腰三角形，其中有 n 个黄金等腰三角形
