1、1,第三章几何光学的基本原理,泰山学院物理与电子科学系,2,3-3 单心光束 实象和虚象,3-1 光线的概念,3-2 费马原理,3-4 光在平面界面上的反射和折射 光学纤维,3-5 光在球面上的反射和折射,3-6 光连续在几个球面界面上的折射 虚物的概念,第三章 几何光学的基本原理,3,3-8 近轴物点近轴光线成象的条件,3-9 理想光具组的基点和基面,3-10 理想光具组的放大率 基点和基面的性质,3-11 一般理想光具组的作图求象法,3-7 薄透镜,4,第三章 几何光学的基本原理,几何光学以光的直线传播性质为基础，用几何学方法研究光在透明介质中传播问题的光学。几何光学的理论基础以光的直线传
2、播定律、反射定律和折射定律为基础，以研究光线传播规律为主要线索，而成像的概念和成像的规律是几何光学着重研究的中心问题。,5,一、光线与波面,3-1 光线的概念,光线几何光学中用一条表示光传播方向的几何线来代表光，称这条线为光线。“光线”只能表示光的传播方向，决不可认为是从实际光束中借助于有孔光阑分出的一个狭窄部分（光线是只有方向没有大小的几何线段）。在均匀介质中光线是直线，在非均匀介质中，光线因折射而弯曲。“光束由无数光线构成” 与光线处处正交的面称为波面,6,几何光学和波动光学的界定：,光的直线传播对于光的实际行为只具有近似的意义，以它作为基础的几何光学，只能应用于有限的范围和给出近似的结果
3、；当所研究的对象，其几何尺寸远大于所用光波的波长时，可获得与实际基本相符的结果。反之，当其几何尺寸可以与波长相比拟时，此时得到的结果与实际有显著的差别，此时应采用波动光学来研究。即几何光学只不过是波动光学在一定条件下的近似。,7,二、几何光学的基本实验定律,(1)光在均匀介质中的直线传播定律； (2)光的独立传播定律和光路可逆原理。 (3)光通过两种介质分界面时的反射定律和折 射定律。光的反射定律具有的规律：反射光线、法线、入射光线三者在同一平面内，且反射光线和入射光线分居在法线的两侧。反射角等于入射角。,8,光的折射定律：,折射光线、法线、入射光线三者在同一平面内，且折射光线、入射光线分居在
4、法线的两侧。入射角的正弦与折射角的正弦之比，对给定的两种介质是个常数。,9,3-2 费马原理,nds(=cdt)称为光程当两列波在同一点相遇而叠加时，其光强取决于位相差，而位相差又取决于光程差 根据费马原理，通过光程的概念可推导出光的直线传播、反射和折射定律,10,光在指定的两点间传播，实际的光程总是一个极值。也就是说；光沿光程值为最小、最大或恒定的路程传播。 费马原理数学表达式:,极值(极小值、极大值或恒定值),光通过两种不同介质的分界面时，所遵从的反射定律和折射定律也是费马原理的必然结果。,11,用费马原理证明折射定律：,实际光线在界面上的折射点C的确定。证明入射面和折射面在同一平面内。证
5、明折射定律的数学表达式:,同样也可以导出反射定律,折射定律,12,几种特例：（1）光程为恒定值（2）光程为最短 光程为最大值,13,3-3单心光束 实象和虚象,光源能发出一定波长范围电磁波的物体发光点发射光线的光源，只有几何位置而没有大小若光线实际发自某点，则该点为实发光点。若该点为光线延长线的交点，则为虚发光点。平行光束彼此互相平行的许多光线的集合,14,成象是几何光学要研究的中心问题之一,凡是具有单个顶点的光束叫做单心光束（对应球面波；平行光束对应平面波。）凡是没有共同顶点的光束叫做像散光束。（对应非球面的高次波）出射光束中各光线的会聚点，这个会聚点实象光线反向延长后仍能找到光束的顶点，这
6、个发散光束的会聚点虚象,一、单心光束 实象和虚象,15,二、实物、实象、虚象的联系与区别,光学系统：由不同材料作成不同形状的反射面或折射面以及有圆孔的遮光板（光阑）组成的系统称为光学系统。光学系统的作用：变换光束。一束光入射到光学系统，经光学系统的反射或折射就会成为另一束光。研究光学系统的成像过程，就是变换光束的过程。光束保持单心性：在变换光束时，假若单心光束经变换后仍为单心光束，则称为光束保持单心性。在这种情况下，可得到准确、清晰的像。,16,物和像都是光束的心或心的集合。物：对某一光学系统而言，入射光束的心或心的集合称为物。像：对某一光学系统而言，出射光束的心或心的集合称为像。实物和虚物：
7、对某一光学系统而言，发散的入射光束的心是实物；会聚的入射光束的心是虚物。实像和虚像：对某一光学系统而言，会聚的出射光束的心是实像；发散的出射光束的心是虚像。,17,对眼睛来说，“物点”和“象点”都不过是进入瞳孔的发散光束的顶点 实象所在点P确有光线会聚，但光线决不在会聚点停止，它们相交后仍继续沿原来的直线传播，人眼所见到的只是这实象，而不再能看到实物P,18,虚象所在之处则根本没有光线通过，实际存在的只是进入人眼的转向后的光束,19,对眼睛来说，物点和像点都是进入瞳孔的发散光束的顶点，实象与虚象分不出来。只有把白纸置在实象所在处点，该点受会聚光束照射后发生漫反射，因而可以看见白纸上的亮点。而虚
8、象则不能在白纸上显现出来。物方空间：对某一光学系统，入射光束所在的空间称为物 方空间。象方空间：对某一光学系统，出射光束所在的空间称为象方空间。（不是指光束的心所在的空间，光学系统的物可以不在物方空间，象也可以不在象方空间。）,20,3-4 光在平面界面上的反射和折射 光学纤维,光束单心性的破坏，并不意味着与衍射有任何联系,一、光在平面上的反射 平面镜是一个最简单的，不改变光束单心性的，能成完善象的光学系统。所成的像与原物同大小，并且像与物对称于镜面。,21,二、光束单心性的破坏 光线在折射率不同的两种透明物质的平面分界面上反射时单心光束仍保持为单心光束，但折射时，除平行光束折射时仍为平行光束
9、外，单心光束将被破坏。即单心光束折射后将变成像散光束。,22,现在来讨论折射光束问题,P1点的纵坐标为,P2点纵坐标y2的表达式也有类似的形式。从上式可以看出，当光源P位置一定时，y1将随A1的位置的不同而变化；即入射点离Oy轴越远，交点P1离OX轴越近。,23,P点的坐标为,由上式可看出，当y不变时，x、y随入射角i1而变，即不同光线在分界面上有不同的入射角，相应折射光线的延长线的交点p都不重合。说明折射光束的单心性已被破坏。,24,折射光束中的所有光线并不相交于单独的一点，而是交于两条互相垂直的线段上。一条是p点所描出的，一条是,由点P所描出的垂直于图面的焦线-子午焦线,这样的两条线段称为
10、焦线。,位于图面内的焦线,弧矢焦线,只要光束的波面不是严格的球面，都具有象散特性,25,象似深度,例3-1 使一束向P点会聚的光在到达P点之前通过一平行玻璃板，如将玻璃板垂直于光束的轴竖放，问会聚点将朝哪个方向移动？移动多少距离？,光线垂直于界面入射时：,26,三、全反射 光学纤维,对光线只有反射而无折射的现象叫全反射,临界角,27,光学纤维,28,四、棱镜,在棱镜中光线入射和出射的两个平面界面互不平行，如图：出射光线和入射光线之间的夹角称为偏向角。,29,利用全反射棱镜可以变更光线方向,偏向角随着入射角i1的改变而改变，可证明当i1=i1时，偏向角为最小值。,棱镜材料的折射率,30,3-5
11、光在球面上的反射和折射一、符号法则,31,几个概念: 部分球面的中心点O顶点球面的球心C曲率中心球面的半径曲率半径连接顶点和曲率中心的直线CO主轴通过主轴的平面主截面,32,符号规定有向距离,光线和主轴交点的位置都从顶点算起，凡在顶点右方者，其间距离的数值为正；凡在顶点左方者，其间距离的数值为负。物点或象点至主轴的距离；在主轴上方为正，在下方为负。,几何光学的符号法则：,33,光线方向的倾斜角度都从主轴（或球面法线)算起，并取小于2的角度。由主轴(或球面法线)转向有关光线时。若沿顺时针方向转，则该角度的数值为正；若沿逆时针方向转动的，则该角度的数值为负(在考虑角度的符号时，不必考虑组成该角度两
12、边的线段的符号)。,符号规定有向角度,34,在图中出现的长度和角度(几何量)只用正值。例如s表示的某线段值是负的，则应用(-s)来表示该线值的几何长度。以下讨论的都是假定光线自左向右进行。,符号规定全正图形,35,二、球面反射对光束单心性的破坏,光线PAP的光程,得到,36,37,光束单心性的破坏,当P点不变时，S的值将随着入射光线的倾角的变化而变化。即从物点发散的单心光束经球面反射后，将不再保持单心。如图所示：P1P2弧矢焦线P点描出子午焦线,38,三、近轴光线条件下球面反射的物象公式 在近轴条件下，值很小，,对r一定的球面，只有一个s值和给定的S值对应，此时有明确的象点存在。这个象点是一个
13、理想的象点，叫做高斯象点；S称为物距，S称为象距。,39,当S=-时，S=r2；会聚点在主轴上，称为反射球面的焦点，以F表示。焦距以f表示,f的符号取决于r，亦遵循符号法则。,球面反射物象公式,40,不论对于凹球面或凸球面，不论S、S和f的数值大小和正负怎样，只要在近轴光线的条件下，上式都是球面反射成象的基本公式。,横向放大率：横向放大率是光学系统成像研究中表征物象大小关系的物理量。,定义,41,由值可判断像的大小与正倒：1时，像是放大的； 1时像是缩小的。0，像是正立的；0，像是倒立的。像的虚实由S决定。物在球面左方时，S0，当S0时像是实象；当s0时像是虚象。,由图知,得,42,四、球面折
14、射对光束单心性的破坏,光线PAP的光程为,43,得到,因此,整理得,s与有关,物点p发出的单心光束经球面折射后,单心性被破坏,44,五、近轴光线条件下球面折射的物象公式,在近轴条件下，值很小，近似为,它表征球面的光学特性。光焦度的单位称为屈光度(m-1)，以字母D表示。,光焦度,整理得到,令,45,物象共轭是光路可逆原理的必然结果。物空间入射光束在其中进行的空间象空间折射光束在其中进行的空间,平行于主轴的入射光线折射后和主轴相交的位置称为球面的象方焦点，用F表示。,从球面顶点O到象方焦点的距离称为象方焦距，用f表示。,46,物方焦点F 从球面顶点到物方焦点的距离称为物方焦距，用 f表示。,焦距
15、之比等于物象两方介质的折射率之比，负号表示F和F永远在界面的两方。,47,当nn时，对凸球面，f0，有实的像方焦点，球面对光束有会聚作用。,对凹球面，f0，有虚的像方焦点，球面对光束有发散作用。f的绝对值越小（的绝对值越大，表示球面的会聚作用或发散能力越大，可见光焦度与焦距都是表征球面（光学系统）对光束的会聚（或发散）能力的物理量。,48,在球面反射的情况中，物空间与象空间重合，且反射光线与入射光线的进行方向恰恰相反。这一情况，在数学处理上可以认为象方介质的折射率等于物方介质折射率n的负值，即n= -n (这仅在数学上有意义)。,所以，球面反射的焦点和焦距不必区分物方和象方，反射可以看做是折射
16、的特例。,于是,49,六、高斯公式和牛顿公式,高斯公式,应指出，若光线自右向左进行，则物空间在球面顶点的右方，而像空间在球面顶点的左方，此时符号法则仍然适用。此时，实物距应取正值（s0），若折射光束在像空间会聚，像点在球面顶点左方（s0）时，得到的是实象；若折射光束在像空间发散，像点在顶点右方（sO），得到的是虚象。,由式(3-17)，两边同除以（n-n）/r，得到：,50,牛顿公式,若物距和像距不从球面顶点算起，而分别从物方和像方焦点算起，物点在F之左者，物距为负值；像点在F之右者，像距为正值。左右改变时，正负号也跟着改变。此时高斯公式可以改写为另一种形式。,51,横向放大率,如图：,利用折
17、射定律得到：,52,象的大小与正倒由来判断：,1时，像是放大的； 1时，像是缩小的。 0时，为正立像； 0时，为倒立像。像的虚实由S的符号来判断： S0时，为实象； S0时，为虚象。,53,3-6 光连续在几个球面界面上的折射 虚物的概念,一、共轴光具组,由曲率中心在同一直线上的两个或两个以上的球面组成的系统，称为共轴光具组。,54,三、虚物的概念 会聚光束对于次一个球面来说是入射光束，故仍应将其顶点看做是物，不过这只是算虚物。,二、逐个球面成像法,55,3-7 薄透镜,把玻璃等透明物质磨成薄片，其两表面都为球面或有一面为平面，即组成透镜,56,透镜的类型：凡中间部分比边缘部分厚的透镜凸透镜凸
18、透镜（双凸、平凸、月凸）这类透镜通常对光束起会聚作用。凡中间部分比边缘部分薄的透镜凹透镜凹透镜（双凹、平凹、月凹）这类透镜通常对光束起发散作用。连接透镜两球面曲率中心的直线透镜的主轴圆片的直径透镜的孔径,57,包含主轴的任一平面 -主截面,若透镜的厚度与球面的曲率半径相比不能忽咯厚透镜若可略去不计薄透镜。,透镜的直径 -孔径,透镜两表面在其主轴上的间隔t -透镜的厚度,58,一、近轴条件下薄透镜的成象公式,59,薄透镜物象公式,如图所示，两球面的曲率半径分别为r1和r2，用逐个球面成像法来推导薄透镜的成像公式：,经第一个球面O1折射成像，得,再经第二个球面O2折射成像，得,60,焦点、焦距,当
19、平行于主轴的平行光束入射时，折射后光束的会聚点-薄透镜的像方焦点， 用F表示。像方焦距-从O到F的距离，用f表示。,即,会聚透镜的F在像空间，发散透镜的F在物空间。,61,物方焦距-从O到物方焦点F间的距离。,薄透镜的高斯公式,即,同样可得到,62,因透镜很薄，两个顶点可以看作是重合在一点O,若透镜两边的折射率相同，则通过O点的光线不改变原来的方向，这样的点称为透镜的光心。研究薄透镜成像时，距离都从光心算起。当光线自左向右进行时，实物距总是负的，虚物距却是正的；不论是实物还是虚物，s0表示成实象；s0表示成虚象。,63,透镜的会聚和发散性质，不能单看透镜的形状，还与透镜两侧的介质有关。若n1=
20、n2=n，当nn时，凸透镜是会聚透镜，凹透镜是发散透镜。当nn时，则凹透镜是会聚透镜，凸透镜是发散透镜。对空气中的薄透镜，成像公式为：,高斯公式,牛顿公式,64,二、横向放大率,象的横向大小与物的大小之比值为横向放大率，即,由图知,65,是正值，表示象是正立的是负值，表示象是倒立的,1放大1缩小,因此,或,66,三、薄透镜的作图求象法,在近轴条件下，通过物方焦点F与主轴垂直的平面物方焦平面通过象方焦点，与主轴垂直的平面象方焦平面副轴-过光心但与主轴不平行的直线.,67,三条特殊光线作图法,利用经过两焦点和光心的三条特殊光线中的任两条作出像点的位置。如图所示:,68,与主轴成一定倾角的入射平行光
21、束，折射后会聚于像方焦平面上一点,物方焦平面上一点发出的光，折射后成为一束与主轴成一定倾角的平行光,69,凸透镜主轴上的物点P成象的作图法,70,从P点作沿主轴的入射线折射后方向不变；从P点作任一光线PA，与透镜交于A点，与物方焦平面交于B点；作辅助线(副轴)BO，过A作与BO平行的折射光线与沿着主轴的光线交于点P，就是物点P的象点。,71,同样，也可以利用象方焦平面及副轴作图,以上两种作图法，对凹透镜也同样适用，只要注意凹透镜的象方焦平面在物空间，物方焦平面在象空间。,72,利用凹透镜的象方焦平面的作图法,73,PA为从物点P发出的任一光线，与透镜交于A点；过透镜中心O作平行于PA的副轴OB
22、，与象方焦平面交于点B；连接A、B两点，它的延长线就是光的折射方向，它与沿主轴的光线交于点P，则P点即为所求的象点。,74,3-8 近轴物点近轴光线成象的条件,一、近轴物在近轴光线条件下球面反射的成象公式,75,从Q沿任一光线QA到Q的光程为：,76,由图得到,则,77,不在主轴上的一个发光点Q能够理想成象于单独一个象点Q，必须同时满足下列两个限制条件：,光线必须是近轴的物点必须是近轴的,要使所有从Q点发出的光线到Q都相等，必须满足一个条件：即QAQ应与h无关。,即,和,78,二、近轴物在近轴光线条件下球面折射的物象公式,球面折射时的情况也可以用同样方法处理，如图所示：,79,从Q沿任一光线到
23、Q的光程按上节讨论的结果为：,80,故QAQ与h无关的条件为：,上式又可写成：,81,三、亥姆霍兹拉格朗日定理,角度放大率(又可叫光束会聚比)表示任意一条光线和主轴的夹角在通过光具组前后的比，即光束会聚和发散程度之比。,横向放大率,在近轴光线条件下，角度放大率,82,亥姆霍兹拉格朗日定理,即和的乘积应该是一常数，也就是说横向放大率愈大，角度放大率就愈小。,多个界面的情况,83,39 理想光具组的基点和基面,光通过共轴光具组的成像问题，决定于光依次地在组成光具组的每个球面上的折射和反射的结果。前面讨论过逐个球面成像法，可以解决此问题，但要进行大量的运算。能否找到一种简化的办法，我们的思路是：把共
24、轴光具组作为一个整体考虑，利用光具组的几个特别的点，来表征光具组在成像上的性质，仍用前述的高斯公式或牛顿公式，计算物点、像点的位置和像的放大率。,84,这几个特别的点，就是焦点、主点、节点；以及焦平面、主平面和节平面,一、在空气中厚透镜物象公式的高斯形式如图所示表示置于空气中的轴厚度为的厚透镜。,85,利用逐个球面求像法,对折射球面O1由公式得到：,对折射球面O2得到,令,86,上述两式改写为：,消去s1，且像距和物距满足关系：,87,f是厚透镜的像方焦距，其值为：,或,88,再进行适当变换可得到：,令,得到,89,例题3.6,90,二、厚透镜的基点和基面,但是必须注意，（348）式中的物距s
25、不是从顶点O1量起，而是从H点量起，H点距O1点为P；像距S也不是从顶点O2量起，而是从H量起，H距O2点为P；H和H点分别叫做物方主点和像方主点。,（348）式与空气中薄透镜的高斯公式完全相同,如上图所示：,91,在近轴条件下,通过H点垂直于主轴的平面-物方主平面通过H点垂直于主轴的平面-像方主平面一束平行于主轴的光，通过光具组后所成的像点-像方焦点，用F表示。从主轴上某点发出的光，通过光具组后成为与主轴平行的一束光，此点称为物方焦点，用F表示。,92,通过F点并垂直于主轴的平面物方焦平面,通过F点并垂直于主轴的平面-像方焦平面主点到焦点的距离-焦距注意：物方焦距从物方主点量起，像方焦距从像
26、方主点量起。总之，量度s和f时，原点取在H，量度S和f时，原点取在H，那么，物象关系式仍可用高斯公式。,93,如果物距x和像距x分别从物方焦点和像方焦点量起，f和f分别从,物方主点和像方主点量起，物象关系也可用牛顿公式：,94,主点位置的确定,P和P分别从O1和O2量起，当P和P值为正时，主点H和H各自位于顶点O1和O2的右方，当P和P为负值时，主点各自位于顶点O1和O2的左方。,95,一般来讲，厚透镜的焦距是透镜轴厚度的函数,但对单个薄透镜来讲，厚度0，透镜的焦距与厚度无关，焦距公式可以写成,对薄透镜，P=P=0，可以说两主平面通过透镜中心，透镜的焦距从透镜中心量起。,96,光具组的节点,节
27、点-主轴上角放大率=+1的一对共轭点节平面过节点且垂直于主轴的平面如图所示：,当一束平行光以任一倾角入射时，出射光束将聚焦于像方焦平面上的一点Q。在出射光束中，一定可以找到一条光线KQ和入射光线的方向平行。在入射光线中又一定有一条光线QK与KQ共轭，它们与主轴相交于K和K两点，K和K称为节点。,97,三、复合光具组的基点和基面,下图是两个厚透镜组合的复合光具组,98,(I)的象方焦点和()的物方焦点之间的距离光学间隔(I)的象方主点和()的物方主点之间的距离d间距,焦距,像方主点,物方主点,99,空气中,焦距,物方主点,象方主点,100,若这两个光具组互相接触，则d=0。因而有,光焦度,两个互
28、相接触的同轴光具组所组成的复合光具组的光焦度等于各单光具组的光焦度之和。,101,惠更斯目镜,102,3-10 一般理想光具组的作图求象法,一、三条光线作图法：,103,二、任意光线作图法：,104,步骤：（1）作任一光线PM，交物方焦平面于B点； （2）作辅助线BK通过物方节点K；（3）在象方主平面上取点M，使MH=MH，从M点作M P平行于BK，则 M P即为出射光线，它和主轴的交点P，即为象点。,105,注意：,入射线只和物方主平面、物方焦平面和物方节点有关。出射线只和像方主平面、像方焦平面和像方节点有关，不可混淆。,106,3-11 理想光具组的放大率 基点和 基面的性质,一、理想光具
29、组的横向放大率,107,1、理想光具组的物象公式,如图所示：物距S=-HP 或x=-FP像距S=HP 或x=FP 焦距f=-HF f=HF.由于QMNFHN 故,QMNFMH,108,两式相加得,由主平面特性知,即,同理，也可得到牛顿公式,109,2、理想光具组的横向放大率,由PQFMHF得,因此横向放大率,由图可知，x=s-f，得,110,二、理想光具组的角放大率,由图中可看到：,则角放大率,也可写成,111,三、基点和基面的性质,1、主点和主平面的性质由公式,得,当s=0时，s也等于零，这说明位于物方主点H的一个物点必成像于像方主点H，两个主点是共轭的。,112,若物点在物方主平面上,则x=-f，则由牛顿公式可得x=-f，即像位于象方主平面上，此时=-x/f=+1。这说明入射到物方主平面上某一点M的任一光线，将从象方主平面上对应点M射出光具组，如图所示：,113,2、节点和节平面的性质,光具组的两主平面是共轭平面，面上任一对共轭点到主轴的距离相等，横向放大率=1,由节点的定义知=+1，,在f0的情况下，物方节点K在F的右边与焦点F相距f；而像方节点K在焦点F的左边，与F相距-f；如图所示：,114,若n=n 则=1/，可见=1时，=1,光具组的两边为同一介质时，节平面和主平面重合。置于空气中的光具组就是如此，此时物象两方焦距的绝对值相等。,115,例3.7示意图,
