1、主要内容：,描述液体运动的两种方法,欧拉法的若干基本概念,流体微团运动,流速与加速度,本章主要介绍液体的运动、变形和流体运动的分类。,有旋流动与无旋流动流速势与流函数、流网,液体微团的运动,刚体运动的组成：,平移和绕某瞬时轴的转动两部分,液体微团（质点）的运动：,除平移和转动外，还要发生变形,运动（包括线变形与角变形）,通过分析微团上邻近两点的速度关系来说明这个问题,若在时刻t流场中任一液体微团某点A(x，y，z）的速度分量为,则相邻点,略去二阶以上的微量，则,为显示液体微团运动的三个组成部分，,将上式中的第一个式子,并重新组织，得到：,39 液体微团的运动,同理：,引入符号：,A,B,C,D
2、,x,y,物理意义：,分析六面体微团的一个面在其所在的xoy平面上的运动，,然后将结果推广到yoz和zox平面上去，,得到液体微团的三元流动情况。,设在t时刻的矩形平面ABCD上A点的分速度为ux与uy，,进而推出B、C、D点的速度分量。,x,y,对液体微团运动的分析：,、ux、uy及uz 分别是液体微团在x、y、z方向的平移速度。,、x、y、z分别是液体微团在x、y、z方向的线变形速度。,因为沿x方向的绝对变形（伸长或缩短）为：,沿x方向的单位时间的相对变形为：,即,为x方向的线变形速度,同理,分别为y、z方向的线变形速度,1、线变形速度,由材料力学：体积变形速度应等于三个方向线变形速度之和
3、。在利用不可压缩流体的连续性微分方程，可得：,即不可压缩流体的连续性微分方程描述了不可压缩流体的体积变形速度为零。,2、转动角速度,(忽略分母中高阶微量）,同理,代表转动的角速度,规定：顺时针转动为正，逆时针转动为负。,可以看出，微团ABCD经过dt时间以后，由900内产生后，其直角的变化速度是：,直角的变化可以由三种不同的组合情况：, 如d、d转动的方向相反，数值大小相等，即,所以角分线A1M不转动，说明液体只有剪切变形，微团不旋转。, 如d、d转动的方向相同，数值大小相等，即,微团ABCD角仍等于900，说明微团只有旋转，没有剪切变形，但是角分线转动了d角度。, 一般情况， d、d角转动的
4、方向和大小可能相等、也可能不相等，说明微团即有剪切变形又有旋转运动。,定量关系的分析：,角分线的旋转角速度：,在xoy平面内，令,3、剪切变形,当微团既有剪切变形又有旋转时，使A1B2转动d角是剪切和旋转总效果造成的。因已知角速度为d/dt，则从总效果中扣除旋转运动后，就得到了剪切变形，称为角变形速度。用 表示,或,将以上结论推广到三维空间，微团运动的基本形式：,1、平移运动速度,ux、uy、uz,2、变形运动,线变形速度（线变率）：,角变率：,旋转角速度：,海姆霍兹速度分解定理：,平移速度,线变率,角变率,变形速度,转动的角速度,海姆霍兹速度分解定理说明：,液体微团任一点M的速度大小等于平移
5、速度+变形速度+转动角速度；该式的重要意义还在于它把旋转运动从一般运动中分离出来，这就可以把流体运动分成有旋流动和无旋流动。,该定理的作用主要是分析问题，而不在于直接地用它算出某一具体的速度。,有旋流动与无旋流动,无旋流动：,质点流速不形成微小质团转动的流动。也称为有势流动。,有旋流动：,质点流速形成微小质团转动的流动。也称为有涡流动。,液体本身无旋转，为无旋流动,有旋,涡线微分方程：,液体微团作无旋（涡）运动,液体作平面圆周运动,液体作平面圆周运动,液体微团作无涡运动,液体微团作有旋（涡）运动,液体作平面圆周运动,b,a,c,d,b,a,c,d,b,a,c,d,无旋流动的条件：,例1、水从桶
6、底小孔自由泄流，水作近似圆周运动，各点的流速近似认为与半径成反比，即 ， 试判别这种流动类型。,x,y,解：,任一质点 的流速分量为：,旋转角速度为零,无旋流动，但有角变形。,解：,有旋流动,例3 已知园管恒定流动的流速场为：,试分析此流动有无线变形，有无角变形，该流场是有旋流场还是无旋流场。,解：,无线变形,有角变形,有旋流动,即直线均匀流也是有旋流动,本节讨论恒定无旋流动。,1、流速势：,从数学分析知道，对于无旋流动，,与必要条件，则,比较以上两式得,流速势与流函数、流网,这个函数 称为无旋流动的流速势。无漩流必为有势流，反 之亦然。,311 流速势与流函数、流网,的关键在于确定流速势 。
7、,对于不可压缩液体，利用连续性微分方程,得,或,满足该方程的函数称为调和函数。,对于xoy平面上的不可压缩液体的平面（二元）流，上式分别写为：,2、流函数,根据不可压缩液体的平面流动的连续性微分方程，有,与必要条件，则有,所以,就称为不可压缩液体的平面流动的流函数。,实际上，无论是无旋势流还是有旋流动，无论是理想液体还是实际液体，在不可压缩液体的平面流动中必存在 流函数。,上式说明了若能确定流函数一个未知数，则可求得 。,若,则,得到,显然，这是平面流线方程。因此，等流函数线 就是流线方程。,解：,（1）,为 有 势 流 动， 存 在 势 函 数,（2）,若满足,即为不可压缩流动,为 不 可
8、压 缩 流 体 的 流 动， 存 在 流 函 数,（3）,流函数还有另外一个物理意义，这就是：在不可压缩液体的平面流动中，任意两条流线的流函数之差等于这两条流线间所通过的液体流量。,现证明如下：如图所示，在流函数 的两条流线间有任一曲线AB(不一定垂直于流线)，在它上面任取一微元线段dl，假定垂直于流动平面的宽度等于1，则通过它的单宽流量为,故,3流网 不可压缩液体的平面势流中，势函数与流函数有一定关系，即等势线与等流函数线处处正交，现在证明这个问题：,在等势线上,在等流函数上,由第一个式子再利用,得,由第二个式子再利用,得,则,从解析几何知道，上式说明了等势线与等流函数线应相互垂直。,等势线
9、与等流函数线构成的正交网格称为流网(如图示)。在工程上，可利用绘制流网的方法，图解与计算势流流速场，再运用势 流的伯诺里方程便可计算压强场。,例,已知平面点源(汇)流动：,(1) 问是无旋流还是有旋流；(2) 若是无旋流，求其流速势 ；(3) 求平面流动的流函数 ；(4) 求压强分布。,解,(1),故,所以是无旋流。,(2)对于点源(汇)流动，为方便起见采用极坐标系。如图示，,因,故,上式中积分常数可任意给定，现取积分常数等于零。从该式可见，等势线是一簇以原点为心的同心圆(r常数)。,(3),因,故,上式中 ，则积分常数等于零。从上式可见，等流函数线是一簇通过原点的射线( 常数)，由此说明了等势线与等流函数线互相正交。,(4) 由式,若不计重力的影响，则,得,称为平面点源(汇)强度。,
