1、1第 5 讲 数列的通项与求和学习目标【目标分解一】求数列通项常用的四种方法【目标分解二】掌握等差(比)数列求和公式及方法、裂项相消求和.【目标分解三】掌握数列分组求和、错位相减求和的方法.重点 裂项相消求和、错位相减求和【课前自主复习区】核心知识储备1数列 an中， an与 Sn的关系：anError! 提醒：在利用 anS nS n1n2 求通项公式时，务必验证 n1 时的情形2递推公式求通项常用的方法和技巧(1)归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式，可 采用归纳猜想法(2)已知 Sn与 an的关系，利用 anError!求 an.(3)累加法 an1 an f(n)，把原递推公
2、式转化为 an1 an f(n)(4)累乘法 an1 f(n)an，把原递 推公式转化为 f(n)an 1an(5)构造法 an1 qan p(其中 p， q 均为常数， pq(q1)0)，把原递推公式转化为 an1 t q(an t)，其中 t q，再利用构造法转化为等比数列求解3数列求和常用的方法(1)分组求和法：分组求和法是 解决通项公式可以写成 cn an bn形式的数列求和问题的方法，其中 an与 bn是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列(2)裂项相消法：将数列的通项分成两个代数式子的差，即 an f(n1) f(n)的形式，然后通过累加抵消中间若干项的求和方法形如 (其中 an
3、是各项均不为 0 的等差数列， c 为常数)的数列等canan 1(3)错位相减法：形如 anbn(其中 an为等差数列， bn为等比数列)的数列求和，一般分三步：巧拆分；构差式；求和(4)倒序求和法：距首尾两端等距离的两项和相等，可以用此法，一般步骤：求通项公式；定和值；倒序相加；求和；回顾反思易错提醒(1)公比为字母的等比数列求和时，需注意分类讨论(2)错位相减法求和时，易漏掉减数式的最后一项.(3)在裂项变形时，务必注意裂项前的系数.2高考真题回访1.an与 an1 的关系(2014全国卷)数列 an满足 an1 ， a82，则 a1_.11 an2数列求和(2012全国卷)数列 an满
4、足 an1 (1) nan2 n1，则 an的前 60 项和为( )A3 690 B3 660 C1 845 D1 8303.(2013全国卷改编)已知等差数列 an的前 n 项和 Sn满足 S30， S55.则(1)an的通项公式为_；(2)数列 的前 n 项和为_1a2n 1a2n 14(2014全国卷改编)已知 an是递增的等差数列， a2， a4是方程 x25 x60 的根，则(1)an的通项公式为_；(2)数列 的前 n 项和为_an2n【课堂互动探究区】【目标分解一】由递推关系求 an ,Sn【例 1】 (考查已知 an与 Sn的递推关系求 Sn)已知数列 an满足 an1 3 a
5、n2.若首项 a12，则数列 an的前n 项和 Sn _.【例 2】(考查已知 an与 Sn的递推关系求 an)数列 an中， a11， Sn为数列 an的前 n 项和，且满足 1(n2)求数列 an的通项公式2ananSn S2n【我会做】1已知数列 an满足 an1 ，若 a1 ，则 a2 018( )11 an 12A1 B C1 D2122已知数列 an前 n 项和为 Sn，若 Sn2 an2 n ，则 Sn_. 【我能做对】1.(2017郑州模拟)设数列 an的前 n 项和为 Sn.若 S24， an1 2 Sn1， nN *，则3a1_， S5_.【目标分解二】裂项相消法求和【例
6、3】(本小题满分 12 分)(2015全国卷) Sn为数列 an的前 n 项和已知 an0， .a2n 2an 4Sn 3(1)求 an的通项公式；(2)设 ， 求数列 bn的前 n 项和. bn1anan 1裂项相消法的基本思想就是把通项 an分拆成 an bn k bn k1， kN * 的形 式，常见的裂项方式有：提醒：在裂项变形时，务必注意裂项前的系数.【我能做对】(2017郑州第三次质量预测)已知数列 an的前 n 项和为 Sn， a12，且满足 Sn an1 n1( nN *)12(1)求数列 an的通项公式；(2)若 bnlog 3( an1)，设数列 的前 n 项和为 Tn，求
7、证： Tn .1bnbn 2 344【目标分解三】错位相减 求和【例 4】设数列 an满足 a13 a23 2a33 n1 an ， nN *.n3(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bn ，求数列 bn的前 n 项和 Sn. nan用错位相减法求和时，应注意：1 要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.2 在写出“ Sn”与“ qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn qSn”的表达式.3 应用等比数列求和公式必须注意公比 q是否等于 1，如果不能确定公比 q 是否为 1，应分两种情况进行讨论，这在以前的高考中经常考查.【我会做】1.已知等
8、比数列 an的前 n 项和为 Sn，公比 q 0， S22 a22， S3 a42.(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bn ，求 bn的前 n 项和 Tn.nan52.设等差数列 an的公差为 d，前 n 项和为 Sn，等比数列 bn的公比为 q，已知b1 a1， b22， q d， S10100.(1)求数列 an， bn的通项公式；(2)当 d1 时，记 cn ，求数列 cn的前 n 项和 Tn.anbn【我能做对】已知在公比大于 1 的等比数列 an中， a2， a4是函数 f(x)( x2)( x8)的两个零点(1)求数列 an 的通项公式；(2)求数列2 nan的前 n 项和
9、Sn.【课后作业】：专题限时集训(二) 1.已知等比数列 an中， a2a84 a5，等差数列 bn中， b4 b6 a5，则数列 bn的前 9 项和 S9等于( )A9 B18 C36 D7262(2017全国卷)等差数列 an的前 n 项和为 Sn， a33， S410，则 _. 3(2015全国卷)设 Sn是数列 an的前 n 项和，且 a11， an1 SnSn1 ，则 Sn_.4.(2016全国卷)已知各项都为正数的数列 an满足 a11， a (2 an1 1) an2 an1 0 2n(1)求 a2， a3；(2)求 an的通项公式5.(2016全国卷) Sn为等差数列 an的前
10、 n 项和，且 a11， S728.记 bnlg an，其中 x表示不超过 x的最大整数，如0.90，lg 991.(1)求 b1， b11， b101；(2)求数列 bn的前 1 000 项和76.已知 an是各项均为正数的等比数列,且 121236,aa. (I)求数列 an通项公式；(II) bn为各项非零的等差数列,其前 n 项和 Sn,已知 211nnb,求数列nba的前 n 项和 T.7.【2017 课标 3，文 17】设数列 na满足 123(1)2naa .（1）求 na的通项公式； （2）求数列n的前 项和.88已知等差数列 an的前 n 项和 Sn满足 S36， S515.
11、(1)求 an的通项公式；(2)设 bn ，求数列 bn的前 n 项和 Tn. an2an9.已知函数 f(x) x2 bx 为偶函数，数列 an满足 an1 2 f(an1)1，且 a13， an1.(1)设 bnlog 2(an1)，证明：数列 bn1为等比数列；(2)设 cn nbn，求数列 cn的前 n 项和 Sn.910(2017全国卷)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，其中第一项是 20，接下来的两项是 20,21，再接下来的三项是 20,21,22，依此类推求满足如下条件的最小整数 N： N100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂那么该款软件的激活码是( )A440 B330 C220 D110
