1、答 案 第 1 页 ， 总 1 0 页2017 杭 州 高 级 中 学 高 三 数 学 高 考 模 拟 试 卷本试卷分第卷和第卷两部分.考试时间120分钟.试卷总分为150分。请考生按规定用笔将所用试题的答案涂、写在答题纸上.参考公式：如 果 事 件 A、 B 互 斥 ， 那 么 柱 体 的 体 积 公 式P(A+B)=P(A)+P(B) V=Sh如 果 事 件 A、 B 相 互 独 立 ， 那 么 其 中 S 表 示 柱 体 的 底 面 积 ， h 表 示 柱 体 的 高P(AB)=P(A)P(B) 锥 体 的 体 积 公 式如 果 事 件 A 在 一 次 试 验 中 发 生 的 概 率 为
2、 p， 那 么 n V= 13 Sh次 独 立 重 复 试 验 中 事 件 A 恰 好 发 生 k次 的 概 率 其 中 S 表 示 锥 体 的 底 面 积 ， h 表 示 锥 体 的 高 .Pn(k)= (1 ) ( 0,1,2, , )k k n knC p p k n 球 的 表 面 积 公 式台 体 的 体 积 公 式 S=4R2V=13 (S1+ 1 2S S +S2)h 球 的 体 积 公 式其 中 S1、 S2表 示 台 体 的 上 、 下 底 面 积 ， h 表 示 棱 V= 43 R3台 的 高 . 其 中 R 表 示 球 的 半 径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共
3、10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 已 知 集 合 |(2 5) 3 0 , 1,2,3,4,5A x x x B ， 则 RC A B （ ）A. 1,2,3 B. 2,3 C. 1,2 D. 12 若 复 数 z 满 足 1 2i z i ， 其 中 i为 虚 数 单 位 ， 则 z （ ）A. 1 i B. 1 i C. 2 2i D. 2 2i3 “ 0x ”是 “”的 （ ）A.充 分 不 必 要 条 件 B.必 要 不 充 分 条 件C 充 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件4 若 函 数 )10(log)(
4、axxf a ln 1 0x 在 区 间 2, aa 上 的 最 大 值 是 最 小 值 的 3倍 ，则 a的 值 为 ( )A 41 B 22 C 42 D 215.已 知 三 角 形 th 的 三 边 长 构 成 公 差 为 2的 等 差 数 列 ， 且 最 大 角 的 正 弦 值 为 32 ， 则 这 个三 角 形 的 周 长 为 （ ）A. 15 B. 18 C. 21 D. 246 6 2 60 1 2 62 1 1 1x a a x a x a x ， 则 0 1 2 3 5 6a a a a a a 等 于 （ ）A. 4 B. 71 C. 64 D. 199答 案 第 2 页
5、， 总 1 0 页7 已 知 双 曲 线 2 22 2: 1x yC a b 的 右 顶 点 为 ,A O为 坐 标 原 点 ,以 A为 圆 心 的 圆 与 双 曲 线 C的某 一 条 渐 近 线 交 于 两 点 ,P Q ,若 3PAQ 且 5OQ OP ,则 双 曲 线 C 的 离 心 率 为( )A. 213 B. 2 C. 72 D. 38 4 封 不 同 信 件 放 入 4 个 写 好 地 址 的 信 封 中 ， 其 中 全 装 错 的 概 率 为 （ ）A 14 B. 38 C. 1124 D. 23249. 已 知 函 数 3 2f x x ax bx c ， g x 为 f x
6、 的 导 函 数 .若 f x 在 0,1 上 单 调 递减 ， 则 下 列 结 论 正 确 的 是 （ ）A 2 3a b 有 最 小 值 3 B. 2 3a b 有 最 大 值 2 3C. 0 1 0f f D. 0 1 0g g 1 0 . 如 图 ， 在 棱 长 为 1 的 正 四 面 体 D ABC 中 ， O为 ABC的 中 心 ， 过 点 O作 做 直 线 分 别 与 线 段 ,AB AC 交 于 ,M N（ 可以 是 线 段 的 端 点 ） ， 连 接 DM ， 点 P为 DM 的 中 点 ， 则 以 下说 法 正 确 的 是 （ ）A 存 在 某 一 位 置 ， 使 得 NP
7、 DAC面B DMNS 的 最 大 值 为 34C 2 2tan tanDMN DNM 的 最 小 值 为 1 2D D MNCD MNBAVV 的 取 值 范 围 是 4 ,15 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 （ 单 位 ： ） ， 则 该 几 何 体 的 体 积 是_ ， 表 面 积 是 _ 12 已 知 一 个 袋 子 中 装 有 4 个 红 球 和 2 个 白 球 ， 假 设 每 一 个 球 被 摸 到 的 可 能性 是 相 等 的 ， 若 从 袋 子 中 摸 出
8、 3 个 球 ， 记 摸 到 白 球 的 个 数 ， 则 随 机 变 量 的 均 值 是 ； 方 差 是 .13 若 3 7, ,sin24 2 8 ， 则 sin _.cos 2 3 .14 已 知 抛 物 线 2: ( 0)C y ax a 的 焦 点 为 F ， 过 焦 点 F 和 点 0,1P 的 射 线 FP与 抛物 线 C相 交 于 点 M ， 与 其 准 线 相 交 于 点 N ， O为 坐 标 原 点 .若 : 1:3FM MN ， 则a_ FONS .第 1 0 题 图答 案 第 3 页 ， 总 1 0 页1 5 .在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 点 3,0F
9、 在 圆 C： 2 22 40x m y 内 ， 动 直 线 AB过 点 F 且 交 圆 于 ,A B两 点 ， 若 ABC 的 面 积 的 最 大 值 为 20， 则 实 数 m的 取 值 范 围 是1 6 .在 扇 形 AOB中 ， 1, 3OA OB AOB ， C为 弧 AB （ 不 包 含 端 点 ） 上 的 一 点 ， 且OC xOA yOB ， 若 x y 存 在 最 大 值 ， 则 的 取 值 范 围 是1 7 . 设 实 数 , ,x y z满 足 2 3 62 3 62 3 62 3 6x y zx y zx y zx y z ， 则 x y z 的 最 大 值 为三、解答
10、题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 8 （ 本 小 题 满 分 14 分 ）已 知 , ,a b c分 别 为 ABC 三 个 内 角 , ,A B C 的 对 边 ， 2 3 sin cosb a B b A ， 4c .（ 1） 求 A；（ 2） 若 D是 BC的 中 点 ， 7AD ， 求 ABC 的 面 积 .1 9 （ 本 小 题 满 分 15 分 ）如 图 ， 已 知 矩 形 ABCD中 ， E、 F 分 别 是 AB 、 CD上 的 点 ， 1BE CF ， 2BC ，3AB CD ， P 、 Q分 别 是 DE 、 CF 的 中 点 ， 现
11、 沿 着 EF 翻 折 ， 使 得 二 面 角A EF B 大 小 为 23 .（ ） 求 证 ： / /PQ 平 面 BCD；（ ） 求 二 面 角 A DB E 的 余 弦 值 .答 案 第 4 页 ， 总 1 0 页20. （ 本 小 题 满 分 15 分 ）设 ,x R 且 1x . 求 证 ：（ 1） 1 2xe x ；（ 2） 2 11 1 1ln2 2xx x ex .21.（ 本 小 题 满 分 15 分 ）已 知 抛 物 线 21 : 2 ( 0)C x py p 与 圆 2 22 : 8C x y 的 两 个 交 点 之 间 的 距 离 为 4， ,A B为 抛 物 线 1
12、C 上 的 两 点 .（ 1） 求 p 的 值 ；（ 2） 若 1C 在 点 ,A B处 切 线 垂 直 相 交 于 点 P ， 且 点 P 在 圆 2C 内 部 ， 直 线 AB 与 2C 相 交于 ,C D 两 点 ， 求 AB CD 的 最 小 值 .22.（ 本 小 题 满 分 15 分 ）在 正 数 数 列 na 中 ， 1 43a ， 21 2 2n n na a a .（ 1） 求 证 : 11 n na a ；（ 2） 求 证 : 1 21 23 nn a a a n 答 案 第 5 页 ， 总 1 0 页参 考 答 案1 C【 解 析 】 依 题 意 得 ： 或 ， 所 以
13、h ， 故 h t ， 故 选 C.2 A【 解 析 】 解 ： 由 题 意 可 得 ： 晦晦 晦晦晦晦 晦 晦 .本 题 选 择 A 选 项 .3 B4 C5 A6 B7 A【 解 析 】 由 图 知 APQ 是 等 边 三 角 形 ， 设 PQ中 点 是 H ， 圆 的 半 径 为 r ， 则 AH PQ ，32AH r ， PQ r ， 因 为 5OQ OP ， 所 以 14OP r ， 12PH r ， 即1 1 34 2 4OH r r r ， 所 以 2 3tan 3AHHOA OH ， 即 2 33ba ， 2 2 22 2 43b c aa a ，从 而 得 213ce a ，
14、 故 选 A8 B9 .D1 0 .D1 1 3 11+ 5答 案 第 6 页 ， 总 1 0 页12 53 11 3 34 3 21+1161 4 2 221 5 . -3 -1 7 9， ，1 6 . 1 22 ，1 7 .61 8 (1) 3A ;(2) 2 3 .【 解 析 】 试 题 分 析 ：试 题 解 析 ：（ 1） 由 2 3 sin cosb a B b A 可 得 2 3sin cosA A ，即 有 sin 16A ，因 为 0 A ， 76 6 6A ， 6 2A ， 3A .（ 2） 设 BD CD x ， 则 2BC x ，由 22 16 2 1cos 8 2b x
15、A b ，可 推 出 2 24 4 16x b b ，因 为 0180ADB ADC ， 所 以 cos cos 0ADB ADC ，由 2 2 27 16 7 02 7 2 7x x bx x 可 推 出 2 22 2x b ，联 立 得 2 4 12 0b b ， 故 2b ，答 案 第 7 页 ， 总 1 0 页因 此 1 1 3sin 2 4 2 32 2 2ABCS bc A 1 9 （ ） 详 见 解 析 （ ） 47【 解 析 】 （ ） 取 EB的 中 点 M ， 连 接 PM ， QM ， 又 P为 DE 的 中 点 ，所 以 PM BD ， PM 平 面 BCD， BD 平
16、 面 BCD，所 以 PM 平 面 BCD，同 理 可 证 MQ BC ， MQ 平 面 BCD，又 因 为 PM MQ M ，所 以 平 面 PMQ平 面 BCD， PQ 平 面 PQM ，所 以 PQ 平 面 BCD.（ ） 在 平 面 DFC 内 ， 过 点 F 作 FC的 垂 线 ， 易 证 明 这 条 垂 线 垂 直 平 面 EBCF， 因为 二 面 角 A EF B 大 小 为 23 ， 所 以 23DFC ，建 立 空 间 直 角 坐 标 系 F xyx 如 图 所 示 ， 则 2,0,0E ， 0,1,0C ， 2,1,0B ， 0, 1, 3D ， 2, 1, 3A ，则 2
17、, 2, 3BD ， 0,2, 3AB ， 0,1,0EB ，设 平 面 DAB的 一 个 法 向 量 , ,m x y z ， 根 据 0 0m BDm AB 2 2 3 0 2 3 0x y zy z ，令 3z ， 则 0x ， 32y ， 所 以 30, , 32m ，设 平 面 DBE的 一 个 法 向 量 1 1 1, ,n x y z ， 根 据 0 0n BDn EB 1 1 112 2 3 0 0x y zy ，令 1 3z ， 则 1 0y ， 1 32x ， 所 以 3 ,0, 32n ，所 以 cos , m nm n m n 3 3 421 79 93 3 44 4
18、，答 案 第 8 页 ， 总 1 0 页所 以 二 面 角 A DB E 的 余 弦 值 为 47 .20.（ 1） 等 价 于 证 明 ， 当 1x 时 ， 1 2 0xe x 设 1( ) 2xf x e x ， 1x 则 1 1( ) (1 ) 1 +1x xf x e x e 当 1x 时 ， ( ) 0f x ( )f x 在 (1, ) 上 递 增 ，所 以 ( ) (1) 0f x f 所 以 1 2xe x （ 2） 由 （ 1） 知 ， 当 1x 时 ， 1 2xe x 所 以 2 1 21 1 1 1ln ln 22 2xx x e x x xx x 下 面 证 明 21
19、1 1ln 22 2x x xx 设 21 1( ) ln 22g x x x xx ， 1x 22 21 1 ( 1) ( 1)( ) 1 0x xg x x x x x ( )g x在 (1, ) 上 递 增 ，所 以 1( ) (1) 2g x f 所 以 2 11 1 1ln2 2xx x ex 21.解 ： 2 21 21 2 1 2(1) 1(2) ( , ), ( , ),2 2p x xA x B x x x ；设 由 题 意 ： =-1答 案 第 9 页 ， 总 1 0 页2 2 1 21 1 2 22 21 21 1 1, , ( , )2 2 2 233 x xy x x
20、 x y x x x PP x x 两 切 线 为 ： 交 点 为点 在 圆 内 得 ： 1 2 1: 2 2x xAB y x 直 线 过 抛 物 线 的 焦 点2 2 21 2 2 21 21 1AB ( 2) 2 8 ,2 2CD x x d d x x 2 21 2 2 4,35)t x x 2AB 8 , 2 31CD t t 最 小 值 为22.（ 1） 221 ( 1) ( 2)21 1 2 0n nn n n na aa a a a 所 以 1 1na 因 为 21 2 2n n na a a ， 所 以 22 1 12 2n n na a a 相 减 ， 2 1 1 1 12
21、( )( )n n n n n n n na a a a a a a a 因 为 1 1, 1n na a ， 所 以 1 122, 2n n n na a a a 所 以 1 12 0n n n na a a a 所 以 2 1 1,n n n na a a a 同 号 ，又 22 1 112 23 42 18 3a a aa ， 故 2 1 0a a 所 以 1 0n na a ， 即 1n na a 综 上 ， 11 n na a （ 2） 由 （ 1） 知 ， 数 列 na 单 调 递 减 ， 且 有 界所 以 数 列 na 的 极 限 存 在 ， 设 lim nn a A ，对 21
22、 2 2n n na a a 两 边 取 极 限 ， 则 2 2 2A A A 答 案 第 1 0 页 ， 总 1 0 页得 2( 1)( 2) 0A A ， 1, 2A 1 41 23n na a 所 以 1A下 面 证 明 1na 为 小 比 数 列 。由 21 ( 1) ( 2)1 n nn na aa a ，得 1 1 11 ( 1)( 2) 2 2 51 11 6n n n nn n na a a a aa a a a 所 以 1na 为 小 比 数 列 ， 首 项 1 11 3a ， 公 比 为 56所 以 11 51 ( )3 6 nna 1 2 1 51 ( ) 3 6 251 6 nna a a n 所 以 1 2 2na a a n 又 因 为 1 24 , 1, , 13 na a a 所 以 1 2 13na a a n 综 上 ， 1 21 23 nn a a a n
