1、【例1】 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCAC，D，E分别是AB，AC的中点.,(1)求证：B1C1平面A1DE；(2)求证：平面A1DE平面ACC1A1.证明(1)因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DEBC，又因为三棱柱ABCA1B1C1中，B1C1BC，所以B1C1DE.又B1C1平面A1DE，DE平面A1DE，所以B1C1平面A1DE.,热点一利用判定定理证明平行、垂直关系,(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1底面ABC，又DE底面ABC，所以CC1DE.又BCAC，DEBC，所以DEAC，又CC1，AC平面ACC1A1，且CC1ACC，所以DE平面ACC1A1.又
2、DE平面A1DE，所以平面A1DE平面ACC1A1.,(1)求证：BC平面PAC；(2)若M为线段PA的中点，且过C，D，M三点的平面与PB交于点N，求PNPB的值,(2)解如图，因为ABDC，CD平面CDMN，AB平面CDMN，,热点二利用性质定理证明平行、垂直关系【例2】 如图，四棱锥PABCD中，AD平面PAB，APAB.,(1)求证：CDAP；(2)若CDPD，求证：CD平面PAB.证明(1)因为AD平面PAB，AP平面PAB，所以ADAP.又因为APAB，ABADA，AB平面ABCD，AD平面ABCD，所以AP平面ABCD.因为CD平面ABCD，所以CDAP.,(2)因为CDAP，C
3、DPD，且PDAPP，PD平面PAD，AP平面PAD，所以CD平面PAD.因为AD平面PAB，AB平面PAB，所以ABAD.又因为APAB，APADA，AP平面PAD，AD平面PAD，所以AB平面PAD.由得CDAB，因为CD平面PAB，AB平面PAB，所以CD平面PAB.,热点三立体几何中的探究性问题【例3】 在正三棱柱ABCA1B1C1中，点D是BC的中点，BCBB1.,(1)若P是CC1上任一点，求证：AP不可能与平面BCC1B1垂直；(2)试在棱CC1上找一点M，使MBAB1.(1)证明(反证法)假设AP平面BCC1B1，BC平面BCC1B1， APBC.又正三棱柱ABCA1B1C1中
4、，CC1BC，APCC1P，AP平面ACC1A1，CC1平面ACC1A1，BC平面ACC1A1.而AC平面ACC1A1，BCAC，这与ABC是正三角形矛盾，故AP不可能与平面BCC1B1垂直.,(2)解M为CC1的中点.证明如下：在正三棱柱ABCA1B1C1中，BCBB1，四边形BCC1B1是正方形.M为CC1的中点，D是BC的中点，B1BDBCM，BB1DCBM，BDB1CMB.,ABC是正三角形，D是BC的中点，ADBC.平面ABC平面BB1C1C，平面ABC平面BB1C1CBC，AD平面ABC，AD平面BB1C1C.BM平面BB1C1C，ADBM.ADB1DD，AD，B1D平面AB1D，
5、BM平面AB1D.AB1平面AB1D，MBAB1.,热点四空间几何体的表面积和体积【例4】 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AECF，EF交BD于点H，将DEF沿EF折到DEF的位置.,(1)证明：ACHD；,所以OH1，DHDH3，,故ODOH.由(1)知ACHD，又ACBD，BDHDH，所以AC平面DHD，于是ACOD，又由ODOH，ACOHO，所以OD平面ABC.,热点五立体几何模型实际应用问题,(1)将l放在容器中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；(2)将l放在容器中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1
6、上，求l没入水中部分的长度.解(1)由正棱柱的定义，CC1平面ABCD，所以平面A1ACC1平面ABCD，CC1AC.,过P1作P1Q1AC，Q1为垂足，则P1Q1平面ABCD，故P1Q112，,答：玻璃棒l没入水中的部分的长度为16 cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24 cm),(2)如图，O，O1是正棱台的两底面中心.,由正棱台的定义，OO1平面EFGH，所以平面E1EGG1平面EFGH，O1OEG.同理，平面E1EGG1平面E1F1G1H1，O1OE1G1.记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处.过G作GKE1G1，K为垂足，则GKOO132.因为EG14，E1G162，,答：玻璃棒l没入水中部分的长度为20 cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20 cm),
