1、1第 4 节 直线、平面平行的判定及其性质最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题知 识 梳 理1直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线 l 与平面 没有公共点，则称直线 l 与平面 平行(2)判定定理与性质定理文字语言 图形表示 符号表示判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面a ， b ， a ba 性质定理一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行a ， a ， ba b2.平面与平面平行(1)
2、平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面(2)判定定理与性质定理2文字语言 图形表示 符号表示判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行a ， b ， a b P， a ， b 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 ， a a性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ， a， ba b3.与垂直相关的平行的判定(1)a ， b a b(2)a ， a 常用结论与微点提醒1平行关系转化2平面与平面平行的六个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等(3
3、)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例(5)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行(6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行诊 断 自 测1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行( )(2)若直线 a平面 ， P ，则过点 P 且平行于直线 a 的直线有无数条( )(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行( )3(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面( )解析
4、(1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行或在平面内，故(1)错误(2)若 a ， P ，则过点 P 且平行于 a 的直线只有一条，故(2)错误(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，故(3)错误答案 (1) (2) (3) (4)2下列命题中，正确的是( )A若 a， b 是两条直线，且 a b，那么 a 平行于经过 b 的任何平面B若直线 a 和平面 满足 a ，那么 a 与 内的任何直线平行C若直线 a， b 和平面 满足 a ， b ，那么 a bD若直线 a， b 和平面 满足 a b， a ， b ，则 b 解析 根据线面平行
5、的判定与性质定理知，选 D.答案 D3设 ， 是两个不同的平面， m 是直线且 m .“m ”是“ ”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析 当 m 时，可能 ，也可能 与 相交当 时，由 m 可知， m .“ m ”是“ ”的必要不充分条件答案 B4(必修 2P56 练习 2 改编)如图，正方体 ABCD A1B1C1D1中， E 为 DD1的中点，则 BD1与平面 AEC 的位置关系为_解析 连接 BD，设 BD AC O，连接 EO，在 BDD1中， O 为 BD 的中点， E 为 DD1的中点，4所以 EO 为 BDD1的中位线，则 BD1
6、 EO，而 BD1平面 ACE， EO平面 ACE，所以 BD1平面ACE.答案 平行5用一个截面去截正三棱柱 ABC A1B1C1，交 A1C1， B1C1， BC， AC 分别于 E， F， G， H 四点，已知 A1AA1C1，则截面的形状可以是_(把你认为可能的结果都填上)解析 由题意知，当截面平行于侧棱时所得截面为矩形，当截面与侧棱不平行时，所得的截面是梯形答案 矩形或梯形6(2018丽水月考)设 ， ， 为三个不同的平面， a， b 为直线(1)若 ， ，则 与 的关系是_；(2)若 a ， b ， a b，则 与 的关系是_解析 (1)由 ， .(2)a ， a bb ，又 b
7、，从而 .答案 (1)平行 (2)平行考点一 线面、面面平行的相关命题的真假判断【例 1】 (一题多解)(2017全国卷)如图，在下列四个正方体中， A， B 为正方体的两个顶点， M， N， Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是( )5解析 法一 对于选项 B，如图(1)所示，连接 CD，因为 AB CD， M， Q 分别是所在棱的中点，所以 MQ CD，所以 AB MQ，又 AB平面 MNQ， MQ平面 MNQ，所以 AB平面 MNQ.同理可证选项 C，D 中均有 AB平面 MNQ.因此 A 项不正确图(1) 图(2)法二 对于选项 A，其中 O
8、为 BC 的中点(如图(2)所示)，连接 OQ，则 OQ AB，因为 OQ 与平面 MNQ 有交点，所以 AB 与平面 MNQ 有交点，即 AB 与平面 MNQ 不平行A 项不正确答案 A规律方法 (1)判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确【训练 1】 (2018金华测试)设 m， n 是两条不同的直线， ， ，
9、是三个不同的平面，给出下列四个命题：若 m ， n ，则 m n；若 ， ， m ，则 m ；若 n， m n， m ，则 m ；6若 m ， n ， m n，则 .其中是真命题的是_(填上正确命题的序号)解析 m n 或 m， n 异面，故错误；易知正确； m 或 m ，故错误； 或 与 相交，故错误答案 考点二 直线与平面平行的判定与性质(多维探究)命题角度 1 直线与平面平行的判定【例 21】 (2016全国卷)如图，四棱锥 P ABCD 中， PA底面ABCD， AD BC， AB AD AC3， PA BC4， M 为线段 AD 上一点， AM2 MD， N 为 PC 的中点(1)证
10、明： MN平面 PAB；(2)求四面体 N BCM 的体积(1)证明 由已知得 AM AD2.23如图，取 BP 的中点 T，连接 AT， TN，由 N 为 PC 中点知 TN BC， TN BC2.12又 AD BC，故 TN 綉 AM，所以四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MN AT.因为 AT平面 PAB， MN平面 PAB，所以 MN平面 PAB.(2)解 因为 PA平面 ABCD， N 为 PC 的中点，所以 N 到平面 ABCD 的距离为 PA.12如图，取 BC 的中点 E，连接 AE.由 AB AC3 得 AE BC， AE .AB2 BE2 57由 AM BC 得 M 到
11、 BC 的距离为 ，故 S BCM 4 2 .所以四面体 N BCM 的体积512 5 5VN BCM S BCM .13 PA2 453命题角度 2 直线与平面平行性质定理的应用【例 22】 如图，四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 8 的正方形，四条侧棱长均为 2 .17点 G， E， F， H 分别是棱 PB， AB， CD， PC 上共面的四点，平面 GEFH平面 ABCD， BC平面GEFH.(1)证明： GH EF；(2)若 EB2，求四边形 GEFH 的面积(1)证明 因为 BC平面 GEFH， BC平面 PBC，且平面 PBC平面 GEFH GH，所以 GH BC.同理可证
12、EF BC，因此 GH EF.(2)解 如图，连接 AC， BD 交于点 O， BD 交 EF 于点 K，连接 OP， GK.因为 PA PC， O 是 AC的中点，所以 PO AC，同理可得 PO BD.又 BD AC O，且 AC， BD 都在底面 ABCD 内，所以 PO底面 ABCD.又因为平面 GEFH平面ABCD，且 PO平面 GEFH，所以 PO平面 GEFH.因为平面 PBD平面 GEFH GK，PO平面 PBD.所以 PO GK，且 GK底面 ABCD，又 EF平面 ABCD，从而 GK EF.所以 GK 是梯形 GEFH 的高8由 AB8， EB2 得 EB AB KB D
13、B14，从而 KB DB OB，即 K 为 OB 的中点14 12再由 PO GK 得 GK PO，即 G 是 PB 的中点，且 GH BC4.由已知可得 OB4 ， PO12 12 2 6，所以 GK3.PB2 OB2 68 32故四边形 GEFH 的面积 S GK 318.GH EF2 4 82规律方法 (1)判断或证明线面平行的常用方法有：利用反证法(线面平行的定义)；利用线面平行的判定定理( a ， b ， a ba )；利用面面平行的性质定理( ， a a )；利用面面平行的性质( ， a ， a a )(2)利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线常利用三角形的
14、中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线【训练 2】 在四棱锥 P ABCD 中， AD BC， AB BC AD， E， F， H 分别为线段12AD， PC， CD 的中点， AC 与 BE 交于 O 点， G 是线段 OF 上一点(1)求证： AP平面 BEF；(2)求证： GH平面 PAD.证明 (1)连接 EC， AD BC， BC AD，12E 为 AD 的中点， BC 綉 AE，四边形 ABCE 是平行四边形， O 为 AC 的中点，又 F 是 PC 的中点， FO AP，又 FO平面 BEF， AP平面 BEF， AP平面 BEF.9(2)连接 FH， OH， F，
15、 H 分别是 PC， CD 的中点， FH PD，又 PD平面 PAD， FH平面 PAD， FH平面 PAD.又 O 是 BE 的中点， H 是 CD 的中点， OH AD，又 AD平面 PAD， OH平面 PAD， OH平面 PAD.又 FH OH H，平面 OHF平面 PAD.又 GH平面 OHF， GH平面 PAD.考点三 面面平行的判定与性质(变式迁移)【例 3】 (经典母题)如图所示，在三棱柱 ABC A1B1C1中， E， F， G， H 分别是AB， AC， A1B1， A1C1的中点，求证：(1)B， C， H， G 四点共面；(2)平面 EFA1平面 BCHG.证明 (1)
16、 G， H 分别是 A1B1， A1C1的中点， GH 是 A1B1C1的中位线，则 GH B1C1.又 B1C1 BC， GH BC， B， C， H， G 四点共面(2) E， F 分别为 AB， AC 的中点， EF BC， EF平面 BCHG， BC平面 BCHG， EF平面 BCHG.又 G， E 分别为 A1B1， AB 的中点， A1B1綉 AB， A1G 綉 EB，四边形 A1EBG 是平行四边形， A1E GB. A1E平面 BCHG， GB平面 BCHG，10 A1E平面 BCHG.又 A1E EF E，平面 EFA1平面 BCHG.【变式迁移 1】 如图，在本例条件下，若
17、点 D 为 BC1的中点，求证： HD平面 A1B1BA.证明 如图所示，连接 A1B. D 为 BC1的中点， H 为 A1C1的中点， HD A1B，又 HD平面 A1B1BA，A1B平面 A1B1BA， HD平面 A1B1BA.【变式迁移 2】 在本例中，若将条件“ E， F， G， H 分别是 AB， AC， A1B1， A1C1的中点”变为“点 D， D1分别是 AC， A1C1上的点，且平面 BC1D平面 AB1D1”，试求 的值ADDC解 连接 A1B 交 AB1于 O，连接 OD1.由平面 BC1D平面 AB1D1，且平面 A1BC1平面 BC1D BC1，平面 A1BC1平面 AB1D1 D1O，所以 BC1 D1O，则 1.A1D1D1C1 A1OOB又由题设 ，A1D1D1C1 DCAD 1，即 1.DCAD ADDC规律方法 (1)判定面面平行的主要方法
