1、1第 5 节 直线、平面垂直的判定及其性质最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题知 识 梳 理1直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线 l 与平面 内的任意直线都垂直，就说直线 l 与平面 互相垂直(2)判定定理与性质定理文字语言 图形表示 符号表示判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直Error!l 性质定理 两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行Error!a b2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平
2、面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(2)判定定理与性质定理文字语言 图形表示 符号表示判定定理一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直Error! 2性质定理如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面Error!l 常用结论与微点提醒1垂直关系的转化2直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(3)垂直于同一条直线的两个平面平行(4)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直(5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂
3、直诊 断 自 测1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)直线 l 与平面 内的无数条直线都垂直，则 l .( )(2)垂直于同一个平面的两平面平行( )(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面( )(4)若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线，则 .( )解析 (1)直线 l 与平面 内的无数条直线都垂直，则有 l 或 l 与 斜交或 l 或l ，故(1)错误(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误(4)若
4、平面 内的一条直线垂直于平面 内的所有直线，则 ，故(4)错误答案 (1) (2) (3) (4)2(必修 2P56A 组 7T 改编)下列命题中错误的是( )A如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 B如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 3C如果平面 平面 ，平面 平面 ， l，那么 l平面 D如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 解析 对于 D，若平面 平面 ，则平面 内的直线可能不垂直于平面 ，即与平面 的关系还可以是斜交、平行或在平面 内，其他选项易知均是正确的答案 D3(2016浙江卷)已知互相垂直的平面 ， 交于直线 l，若直
5、线 m， n 满足m ， n ，则( )A m l B m n C n l D m n解析 因为 l，所以 l ，又 n ，所以 n l，故选 C.答案 C4(2017全国卷)在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E 为棱 CD 的中点，则( )A A1E DC1 B A1E BDC A1E BC1 D A1E AC解析 如图，由题设知， A1B1平面 BCC1B1且 BC1平面 BCC1B1，从而 A1B1 BC1，又B1C BC1，且 A1B1 B1C B1，所以 BC1平面 A1B1CD，又 A1E平面 A1B1CD，所以 A1E BC1.答案 C5(2017浙江名校协作体联考)已知
6、矩形 ABCD， AB1， BC .将 ABD 沿矩形的对角线2BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，( )A存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直B存在某个位置，使得直线 AB 与直线 CD 垂直C存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直D对任意位置，三对直线“ AC 与 BD”， “AB 与 CD”， “AD 与 BC”均不垂直解析 若 AB CD， BC CD，则可得 CD平面 ACB，因此有 CD AC.因为 AB1， BC AD， CD1，所以 AC1，所以存在某个位置，使得 AB CD.2答案 B46(必修 2P67 练习 2 改编)在三棱锥 P ABC 中，点
7、 P 在平面 ABC 中的射影为点 O，(1)若 PA PB PC，则点 O 是 ABC 的_心(2)若 PA PB， PB PC， PC PA，则点 O 是 ABC 的_心解析 (1)如图 1，连接 OA， OB， OC， OP，在 Rt POA、Rt POB 和 Rt POC 中， PA PC PB，所以 OA OB OC，即 O 为 ABC 的外心图 1 图 2(2)如图 2， PC PA， PB PC， PA PB P， PC平面 PAB， AB平面 PAB， PC AB，又 AB PO， PO PC P， AB平面 PGC，又 CG平面 PGC， AB CG，即 CG 为 ABC 边
8、 AB 的高同理可证 BD， AH 分别为 ABC 边 AC， BC 上的高，即 O 为 ABC 的垂心答案 (1)外 (2)垂5考点一 线面垂直的判定与性质【例 1】 如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA底面 ABCD，AB AD， AC CD， ABC60， PA AB BC， E 是 PC 的中点证明：(1)CD AE；(2)PD平面 ABE.证明 (1)在四棱锥 P ABCD 中， PA底面 ABCD， CD平面 ABCD， PA CD，又 AC CD，且 PA AC A， CD平面 PAC.而 AE平面 PAC， CD AE.(2)由 PA AB BC， ABC60，可得 AC
9、PA. E 是 PC 的中点， AE PC.由(1)知 AE CD，且 PC CD C， AE平面 PCD.而 PD平面 PCD， AE PD. PA底面 ABCD， AB平面 ABCD， PA AB.又 AB AD，且 PA AD A， AB平面 PAD，而 PD平面 PAD， AB PD.又 AB AE A， PD平面 ABE.规律方法 (1)证明直线和平面垂直的常用方法有：判定定理；垂直于平面的传递性( a b， a b )；面面平行的性质6(a ， a )；面面垂直的性质( ， a， l a， l l )(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判
10、定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想【训练 1】 如图所示，已知 AB 为圆 O 的直径，点 D 为线段 AB 上一点，且 AD DB，点 C13为圆 O 上一点，且 BC AC， PD平面 ABC， PD DB.3求证： PA CD.证明 因为 AB 为圆 O 的直径，所以 AC CB.在 Rt ABC 中，由 AC BC 得， ABC30.3设 AD1，由 3AD DB 得， DB3， BC2 .3由余弦定理得 CD2 DB2 BC22 DBBCcos 303，所以 CD2 DB2 BC2，即 CD AB.因为 PD平面 ABC， CD平面 ABC，所以 PD CD，由 PD
11、 AB D 得， CD平面 PAB，又 PA平面 PAB，所以 PA CD.考点二 面面垂直的判定与性质【例 2】 (2017江苏卷)如图，在三棱锥 A BCD 中， AB AD， BC BD，平面 ABD平面BCD，点 E， F(E 与 A， D 不重合)分别在棱 AD， BD 上，且 EF AD.求证：(1) EF平面 ABC；(2)AD AC.证明 (1)在平面 ABD 内， AB AD， EF AD，7则 AB EF. AB平面 ABC， EF平面 ABC， EF平面 ABC.(2) BC BD，平面 ABD平面 BCD BD，平面 ABD平面 BCD， BC平面 BCD， BC平面A
12、BD. AD平面 ABD， BC AD.又 AB AD， BC， AB平面 ABC， BC AB B， AD平面 ABC，又因为 AC平面 ABC， AD AC.规律方法 (1)证明平面和平面垂直的方法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直【训练 2】 (2017山东卷)由四棱柱 ABCD A1B1C1D1截去三棱锥 C1 B1CD1后得到的几何体如图所示四边形 ABCD 为正方形， O 为 AC 与 BD 的交点， E 为 AD 的中点， A1E平面 ABCD.(1)证明： A1
13、O平面 B1CD1；(2)设 M 是 OD 的中点，证明：平面 A1EM平面 B1CD1.证明 (1)取 B1D1的中点 O1，连接 CO1， A1O1，由于 ABCD A1B1C1D1是四棱柱，所以 A1O1 OC， A1O1 OC，因此四边形 A1OCO1为平行四边形，所以 A1O O1C，又 O1C平面 B1CD1， A1O平面 B1CD1，所以 A1O平面 B1CD1.(2)因为 AC BD， E， M 分别为 AD 和 OD 的中点，所以 EM BD，8又 A1E平面 ABCD， BD平面 ABCD，所以 A1E BD，因为 B1D1 BD，所以 EM B1D1， A1E B1D1，
14、又 A1E， EM平面 A1EM， A1E EM E，所以 B1D1平面 A1EM，又 B1D1平面 B1CD1，所以平面 A1EM平面 B1CD1.考点三 平行与垂直的综合问题(多维探究)命题角度 1 多面体中平行与垂直关系的证明【例 31】 如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， D， E 分别为 AB， BC 的中点，点 F 在侧棱B1B 上，且 B1D A1F， A1C1 A1B1.求证：(1)直线 DE平面 A1C1F；(2)平面 B1DE平面 A1C1F.证明 (1)在直三棱柱 ABC A1B1C1中， A1C1 AC.在 ABC 中，因为 D， E 分别为 AB， BC 的中
15、点，所以 DE AC，于是 DE A1C1.又因为 DE平面 A1C1F， A1C1平面 A1C1F，所以直线 DE平面 A1C1F.(2)在直三棱柱 ABC A1B1C1中， A1A平面 A1B1C1.因为 A1C1平面 A1B1C1，所以 A1A A1C1.又因为 A1C1 A1B1， A1A平面 ABB1A1， A1B1平面 ABB1A1， A1A A1B1 A1，所以 A1C1平面ABB1A1.因为 B1D平面 ABB1A1，所以 A1C1 B1D.又因为 B1D A1F， A1C1平面 A1C1F， A1F平面 A1C1F， A1C1 A1F A1，所以 B1D平面 A1C1F.因为
16、直线 B1D平面 B1DE，所以平面 B1DE平面 A1C1F.9规律方法 (1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化(2)垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用命题角度 2 平行垂直中探索性问题【例 32】 如图所示，平面 ABCD平面 BCE，四边形 ABCD 为矩形， BC CE，点 F 为 CE的中点(1)证明： AE平面 BDF.(2)点 M 为 CD 上任意一点，在线段 AE 上是否存在点 P，使得 PM BE？若存在，确定点 P 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由(1)证明 连接 AC 交 BD 于 O，连接 OF
17、，如图.四边形 ABCD 是矩形， O 为 AC 的中点，又 F 为 EC 的中点， OF 为 ACE 的中位线， OF AE，又 OF平面 BDF， AE平面 BDF， AE平面 BDF.(2)解 当 P 为 AE 中点时，有 PM BE，10证明如下：取 BE 中点 H，连接 DP， PH， CH， P 为 AE 的中点， H 为 BE 的中点， PH AB，又 AB CD， PH CD， P， H， C， D 四点共面平面 ABCD平面 BCE，平面 ABCD平面 BCE BC， CD平面 ABCD， CD BC. CD平面 BCE，又 BE平面 BCE， CD BE， BC CE， H
18、 为 BE 的中点， CH BE，又 CD CH C， BE平面 DPHC，又 PM平面 DPHC， BE PM，即 PM BE.规律方法 (1)求条件探索性问题的主要途径：先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性(2)涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点【训练 3】 (2018嘉兴七校联考)在如图所示的几何体中，面 CDEF 为正方形，面 ABCD 为等腰梯形， AB CD， AC ， AB2 BC2， AC FB.3(1)求证： AC平面 FBC.(2)求四面体 FBCD 的体积(3)线段 AC 上是否存在点 M，使 EA平面 FDM？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由(1)证明 在 ABC 中，因为 AC ， AB2， BC1，所以 AC2 BC2 AB2，3所以 AC BC.又因为 AC FB， BC FB B，所以 AC平面 FBC.(2)解 因为 AC平面 FBC， FC平面 FBC，所以 AC FC.因为 CD FC， AC CD C，所以 FC平面 ABCD.在等腰梯形 ABCD 中可得 CB DC1，所以 FC1.所以 BCD 的面积为 S .34
