1、1计数原理一、选择题（本大题共 12小题，共 60分）1. 如图，小明从街道的 E处出发，先到 F处与小红会合，再一起到位于 G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 ( )A. 24 B. 18 C. 12 D. 9（正确答案）B解：从 E到 F，每条东西向的街道被分成 2段，每条南北向的街道被分成 2段，从 E到 F最短的走法，无论怎样走，一定包括 4段，其中 2段方向相同，另 2段方向相同，每种最短走法，即是从 4段中选出 2段走东向的，选出 2段走北向的，故共有 种走法2422=6同理从 F到 G，最短的走法，有 种走法1322=3小明到老年公寓可以选择的
2、最短路径条数为 种走法 63=18故选：B从 E到 F最短的走法，无论怎样走，一定包括 4段，其中 2段方向相同，另 2段方向相同，每种最短走法，即是从 4段中选出 2段走东向的，选出 2段走北向的，由组合数可得最短的走法，同理从 F到 G，最短的走法，有 种走法，利用乘法原理可得结论13=3本题考查排列组合的简单应用，得出组成矩形的条件和最短走法是解决问题的关键，属基础题2. 某企业有 4个分厂，新培训了一批 6名技术人员，将这 6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少 1人，则不同的分配方案种数为 ( )A. 1080 B. 480 C. 1560 D. 300（正确答案）C解：先把 6
3、名技术人员分成 4组，每组至少一人若 4个组的人数按 3、1、1、1 分配，则不同的分配方案有 种不同的方法36=20若 4个组的人数为 2、2、1、1，则不同的分配方案有 种不同的方法26242!122!=45故所有的分组方法共有 种20+45=65再把 4个组的人分给 4个分厂，不同的方法有 种，6544=1560故选：C先把 6名技术人员分成 4组，每组至少一人，再把这 4个组的人分给 4个分厂，利用乘法原理，即可得出结论2本题考查组合知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确分组是关键3. 如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择 要求
4、每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同.的涂色方法种数为 ( )A. 84 B. 72 C. 64 D. 56（正确答案）A解：分两种情况：、C 不同色 注意：B、D 可同色、也可不同色，D 只要不与 A、C 同色，所以 D可以从剩余的 2中颜色(1) (中任意取一色 ：有 种；) 4322=48、C 同色 注意：B、D 可同色、也可不同色，D 只要不与 A、C 同色，所以 D可以从剩余的 3中颜色中(2) (任意取一色 ：有 种) 4313=36共有 84种，故选：A 每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，然后分类研究，A、C 不同色；A、C 同色两大类本题考查了区域涂色、种
5、植花草作物是一类题目 分类要全要细.4. 用数字 1，2，3，4，5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为 ( )A. 8 B. 24 C. 48 D. 120（正确答案）C解：由题意知本题需要分步计数，2和 4排在末位时，共有 种排法，12=2其余三位数从余下的四个数中任取三个有 种排法，34=432=24根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有 个 224=48()故选 C本题需要分步计数，首先选择 2和 4排在末位时，共有 种结果，再从余下的其余三位数从余下的四个数12中任取三个有 种结果，根据由分步计数原理得到符合题意的偶数34本题考查分步计数原理，是一个数字问题，这种问题是最典型的排列
6、组合问题，经常出现限制条件，并且限制条件变化多样，是一个易错题5. 6把椅子排成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为 ( )A. 144 B. 120 C. 72 D. 24（正确答案）D解：使用“插空法“ 第一步，三个人先坐成一排，有 种，即全排，6 种；第二步，由于三个人必须隔开，. 33因此必须先在 1号位置与 2号位置之间摆放一张凳子，2 号位置与 3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共 4个空挡，随便摆放即可，即有 种办法 根据分步计数原理， 14 . 64=24故选：D3使用“插空法“ 第一步，三个人先坐成一排，有 种，即全排，6 种；第二步，由于
7、三个人必须隔开，因. 33此必须先在 1号位置与 2号位置之间摆放一张凳子，2 号位置与 3号位置之间摆放一张凳子，剩余一 张凳子可以选择三个人的左右共 4个空挡，随便摆放即可，即有 种办法 根据分步计数原理可得结论14 .本题考查排 列知识的运用，考查乘法原理，先排人，再插入椅子是关键6. 将 4个红球与 2个蓝球 这些球只有颜色不同，其他完全相同 放入一个 的格子状木柜里 如图所示 ，( ) 33 ( )每个格至多放一个球，则“所有红球均不位于相邻格子”的放法共有 种( )7. A. 30 B. 36 C. 60 D. 72（正确答案）C解：第一类，当 4个红球在 4个顶角的位置时，蓝球放
8、在剩下 5个格种任选两个，故有 种，如图25=10第二类，当有一个红球再最中间时，其它三个红球只能放在顶角位置，有出 种，蓝球放在剩下 5个34=4格种任选两个， 种，如图3425=40第三类，当 4个红球放在每外围三个格的中间时，蓝球在剩下 5个格种任选两个有 种，如图25=10根据分类计数原理，故有 10+40+10=60故选：C4对红球的位置分类讨论：第一类，当 4个红球在 4个顶角的位置时，蓝球放在剩下 5个格种任选两个；第二类，当有一个红球再最中间时，其它三个红球只能放在顶角位置，蓝球放在剩下 5个格种任选两个；第三类，当 4个红球放在每外围三个格的中间时，蓝球 放在剩下 5个格种任
9、选两个，即可得出本题主要考查了分类计数原理，关键是如何分类，属于中档题8. 4名学生参加 3项不同的竞赛，每名学生必须参加其中的一项竞赛，有 种不同的结果( )A. B. C. D. 34 34 34 43（正确答案）A解：由题意知本题是一个分步计数问题，首先第一名学生从三种不同的竞赛中选有三种不同的结果，第二名学生从三种不同的竞赛中选有 3种结果，同理第三个和第四个同学从三种竞赛中选都有 3种结 果，根据分步计数原理得到共有 3333=34故选 A本题是一个分步计数问题，首先第一名学生从三种不同的竞赛中选有三种不同的结果，第二名学生从三种不同的竞赛中选有 3种结果，同理第三个和第四个同学从三
10、种竞赛中选都有 3种结果，相乘得到结果数解答此题，先考虑学生问题还是竞赛问题才能很好地完成这件事，易把两问结果混淆；另外，每位学生选定竞赛或每项竞赛选定学生这一做法对完成整个事件的影响理解错误导致原理弄错，其原因是对题意理解不清，对事情完成的方式有错误的认识9. 某班新年联欢会原定的 6个节目已排成节目单，开演前又增加了 3个新节目，如果将这 3个节目插入节目单中，那么不同的插法种数为 ( )A. 504 B. 210 C. 336 D. 120（正确答案）A解： 由题意知将这 3个节目插入节目单中，原来的节目顺序不变，三个新节目一个一个插入节目单中，来源:学科网ZXXK 原来的 6个节目形成
11、 7个空，在这 7个位置上插入第一个节目，共有 7种结果，原来的 6个和刚插入的一个，形成 8个空，有 8种结果，同理最后一个节目有 9种结果根据分步计数原理得到共有插法种数为 ，789=504故选 A由题意知将这 3个节目插入节目单中，原来的节目顺序不变，三个新节目一个一个插入节目单中，原来的6个节目形成 7个空，在这 7个位置上插入第一个节目，共有 7种结果；用同样的方法插入第二个和第三个节目，根据分步乘法计数原理得到结果本题考查分步计数原理，是一个实际问题，解题时注意题目条件中对于原来 6个节目的顺序要求不变，所以采用插入法10. 从 5名学生中选出 4名分别参加 A，B，C，D 四科竞
12、赛，其中甲不能参加 A，B 两科竞赛，则不同的参赛方案种数为 ( )A. 24 B. 48 C. 72 D. 120（正确答案）C解： 从 5名学生中选出 4名分别参加 A，B，C，D 四科竞赛，其中甲不能参加 A，B 两科竞赛，可分为以下几步：先从 5人中选出 4人，分为两种情况：有甲参加和无甲参加(1)5有甲参加时，选法有： 种；34=4无甲参加时，选法有： 种 44=1 .安排科目(2)有甲参加时，先排甲，再排其它人 排法有： 种 . 1233=12.无甲参加时，排法有 种 44=24.综上， 412+124=72不同的参赛方案种数为 72故答案为：72本题可以先从 5人中选出 4人，分
13、为有甲参加和无甲参加两种情况，再将甲安排参加 C、D 科目，然后安排其它学生，通过乘法原理，得到本题的结论本题是一道排列组合题，要考虑特殊元素，本题还考查了分类讨论的数学思想，本题有一定难度，属于中档题11. 考生甲填报某高校专业意向，打算从 5个专业中挑选 3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有 ( )A. 10种 B. 60 种 C. 125 种 D. 243 种（正确答案）B解：从中选 3个并分配到 3个志愿中，故有 种，35=60故选：B从中选 3个并分配到 3个志愿中，问题得以解决本题考查了简单的排列组合问题，关键是分清是排列还是组合，属于基础题12. 某次联欢会要安排
14、3个歌舞类节目，2 个小品类节目和 1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是 ( )A. 72 B. 120 C. 144 D. 168（正确答案）B解：分 2步进行分析：1、先将 3个歌舞类节目全排列，有 种情况，排好后，有 4个空位，33=62、因为 3个歌舞类节目不能相邻，则中间 2个空位必须安排 2个节目，分 2种情况讨论：将中间 2个空位安排 1个小品类节目和 1个相声类节目，有 种情况， 1222=4排好后，最后 1个小品类节目放在 2端，有 2种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是 种；642=48将中间 2个空位安排 2个小品类节目，有 种情况， 22=2排好后，
15、有 6个空位，相声类节目有 6个空位可选，即有 6种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是 种；626=726则同类节目不相邻的排法种数是 种48+72=120故选：B根 据题意，分 2步进行分析： 先将 3个歌舞类节目全排列， 因为 3个歌舞类节目不能相邻，则分 2 种情况讨论中间 2个空位安排情况，由分步计数原理计算每一步的情况数目，进而由分类计数原理计算可得答案本题考查计数原理的运用，注意分步方法的运用，既要满足题意的要求，还要计算或分类简便13. 某公司庆祝活动需从甲、乙、丙等 5名志愿者中选 2名担任翻译，2 名担任向导，还有 1名机动人员，为来参加活动的外事人员提供服务，并且翻译和向
16、导都必须有一人选自甲、乙、丙，则不同的选法有 ( )A. 20 B. 22 C. 24 D. 36（正确答案）D解： 翻译和向导都必须有一人选自甲、乙、丙，有 种方法， 23=6其余 3人全排，有 种方法，33=6根据乘法原理，有 种方法，66=36故选 D翻译和向导先个安排 1人， 其余 3人全排，即可得出结论本题考查计数原理运用，注意要根据题意，进而按一定顺序分情况讨论，对于有限制条件的元素要首先安排二、填空题（本大题共 4小题，共 20分）14. 用 1，2，3 三个数字组成一个五位数，要求相邻的位置的数字不能相同，则不同的五位数共有_ 种 以数字作答 ( )（正确答案）42解：第一类：
17、其中一个数字用 3次，另外两个数字用 1次，把 3个相同的数字排除一排，再将另外两个数字插入到所形成的 2个空中 不包含两端 共有 种，( ) 2213=6第二类，其中一个数字用 1次，另外两个数字用 2次，若把相同的两个数字互相间隔， 例如 ，再把( 2323)另一个数字插入前 4个数字所形成的 5个空中的任意一个空，有 种，132215=30若若把相同的两个数字有只有一组相邻， 例如 ，把另一个数字插入前相邻的数字中间，有( 2332)种，1322=6根据分类计数原理，共有 种，6+30+6=42故答案为：42根据重复数字的个数，分两类，第一类：其中一个数字用 3次，另外两个数字用 1次，
18、第二类，其中一个数字用 1次，另外两个数字用 2次，根据分类计数原理可得本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于中档题15. 用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的四位数，其中能被 3整除的四位数有_个 .（正确答案）96解：各位数字之和是 3的倍数能被 3整除，符合题意的有：7一类：含 0、3 则需 1、4 和 2、5 各取 1个，可组成 ；12121333二类：含 0或 3中一个均不适合题意；三类：不含 0，3，由 1、2、4、5 可组成 个，44共有 个12121333+44=96故答案为：96各位数字之和是 3的倍数能被 3整除，符合题意的有：一类：含 0、3 则需 1、4
19、 和 2、5 各取 1个，可组成 ；二类：含 0或 3中一个均不适合题意；三类：不含 0，3，由 1、2、4、5 可组成 个，相加12121333 44得到结果本题考查排列组合的实际应用，本题是一个数字问题，解题的关键是注意 0不能在首位，注意分类和分步的应用16. 学校安排 4名教师在六天里值班，每天只安排一名教师，每人至少安排一天，至多安排两天，且这两天要相连，那么不同的安排方法种数是_ 用数字作答( )（正确答案）144解：由题意知本题是一个简单计数问题，排四名老师时：有 12，34，5，6 和 12，3，45，6 和 12，3，4，56 和 1，23，45，6 和 1，23，4，56
20、和1，2，34，56，共 6种情形根据分步计数原理知四名时有 ， 6(4321)=144故答案为：144本题是一个简单计数问题，分为排三名老师时和排四名老师时两大类结果，分别列举出这两种情况的结果，用分步计数表示出结果数，再用分类加法得到结果本题考查计数问题，对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决，即类中有步，步中有类17. 在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等 5人报名参加了 A，B，C 三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需 1名志愿者，且甲不能参加 A，B 项目，乙不能参加 B，C 项目，那么共有_种不同的志愿者分配方
21、案 用数字作答.( )（正确答案）21解：若甲，乙都参加，则甲只能参加 C项目，乙只能参见 A项目，B 项目有 3种方法，若甲参加，乙不参加，则甲只能参加 C项目，A，B 项目，有 种方法，23=6若甲参加，乙不参加，则乙只能参加 A项目，B，C 项目，有 种方法，23=6若甲不参加，乙不参加，有 种方法，33=6根据分类计数原理，共有 种3+6+6+6=21由题意可以分为四类，根据分类计数原理可得本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于中档题三、解答题（本大题共 3小题，共 40分）818. 设 ，对 1，2， ，n 的一个排列 ，如果当 时，有 ，则称 是排列 12 (,)的一个逆序，排列
22、 的所有逆序的总个数称为其逆序数 例如：对 1，2，3 的一个排列 231，12 12 .只有两个逆序 ， ，则排列 231的逆序数为 记 为 1，2， ，n 的所有排列中逆序数为 k的全(2,1)(3,1) 2. () 部排列的个数求 ， 的值；(1)3(2)4(2)求 的表达式 用 n表示 (2)(2)(5) ( )（正确答案）解： 记 为排列 abc得逆序数，对 1，2，3 的所有排列，有(1)()， ， ， ，(123)=0 (132)=1 (231)=2 (321)=3， ，3(0)=1 3(1)=3(2)=2对 1，2，3，4 的排列，利用已有的 1，2，3 的排列，将数字 4添加
23、进去，4 在新排列中的位置只能是最后三个位置因此， ；4(2)=3(2)+3(1)+3(0)=5对一般的 的情形，逆序 数为 0的排列只有一个： ， (2) (4) 12 (0)=1逆序数为 1的排列只能是将排列 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列， 12 (1)=1为计算 ，当 1，2， ，n 的排列及其逆序数确定后，将 添加进原排列， 在新排列中的位+1(2) +1 +1置只能是最后三个位置因此， +1(2)=(2)+(1)+(0)=(2)+当 时，5 (2)=(2)1(2)+1(2)2(2)+5(2)4(2)+4(2)=(1)+(2)+4+4(2)=222因此，当 时， 5(2)=2
24、22由题意直接求得 的值，对 1，2，3，4 的排列，利用已有的 1，2，3 的排列，将数字 4添加进去，(1) 3(2)4在新排列中的位置只能是最后三个位置，由此可得 的值；4(2)对一般的 的情形，可知逆序数为 0的排列只有一个，逆序数为 1的排列只能是将排列 中(2) (4) 12的任意相邻两个数字调换位置得到的排列， (1)=1为计算 ，当 1，2， ，n 的排列及其逆序数确定后，将 添加进原排列， 在新排列中的位+1(2) +1 +1置只能是最后三个位置，可得 ，则当 时，+1(2)=(2)+(1)+(0)=(2)+ 5，则 的表达式(2)=(2)1(2)+1(2)2(2)+5(2)
25、4(2)+4(2) (2)(5)可求本题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，是中档题19. 男运动员 6名，女运动员 4名，其中男女队长各 1名，选派 5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？男运动员 3名，女运动员 2名；(1)至少有 1名女运动员；(2)队长中至少有 1人参加；(3)既要有队长，又要有女运动员(4)（正确答案）解： 由题意知本题是一个分步计数问题，(1)首先选 3名男运动员，有 种选法36再选 2名女运动员，有 种选法249共有 种选法3624=120法一 直接法 ：“至少 1名女运动员”包括以下几种情况：(2) ( )1女 4男，2 女
26、 3男，3 女 2男，4 女 1男由分类加法计数原理可得有 种选法1446+2436+3426+4416=246法二 间接法 ：“至少 1名女运动员 ”的反面为“全是男运动员 ”( )从 10人中任选 5人，有 种选法，其中全是男运动员的选法有 种510 56 .所以“至少有 1名女运动员”的选法有 种51056=246法一 直接法 ：“只有男队长”的选法为 种；(3) ( ) 48“只有女队长”的选法为 种；48“男、女队长都入选”的选法为 种；38共有 种 248+38=196法二 间接法 ：“至少要有一名队长”的反面是“一个队长都没有”( )从 10人中任选 5人，有 种选法，其中一个队
27、长都没有有 种选法510 58“至少 1名队长”的选法有 种选法 51058=196当有女队长时，其他人选法任意，共有 种选法(4) 49不选女队长时，必选男队长，共有 种选法48其中不含女运动员的选法有 种，45不选女队长时共有 种选法 4845既有队长又有女运动员的选法共有 种49+4845=191本题是一个分步计数问题，首先选 3名男运动员，有 种选法 再选 2名女运动员，有 种选法 利用乘(1) 36 . 24 .法原理得到结果至少 1名女运动员包括以下几种情况：1 女 4男，2 女 3男，3 女 2男，4 女 1男 分别写出这几种结果，(2) .利用分类加法原理得到结果 本题也可以从
28、事件的对立面来考虑，写出所有的结果减去都是男运动员的结果.数10只有男队长的选法为 种，只有女队长的选法为 种，男、女队长都入选的选法为 种，把所有的结果(3) 48 48 38数相加当有女队长时，其他人选法任意，共有 种选法 不选女队长时，必选男队长，共有 种选法 其中不含(4) 49 . 48 .女运动员的选法有 种，得到结果45本题考查分步计数原理，考查分类计数原理，在比较复杂的题目中，会同时出现分类和分步，本题是一个比较综合的题目20. 用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图一所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，(1)相邻区域用不同颜色鲜花，问共有多少种不同的摆放方案？用红
29、、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图二所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，(2)相邻区域使用不同颜色鲜花求恰有两个区域用红色鲜花的概率；记花圃中红色鲜花区域的块数为 S，求它的分布列及其数学期望 ()（正确答案）解： 根据分步计数原理，摆放鲜花的不同方案有： 种(1) 4322=48设 M表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”，(2)如图二，当区域 A、D 同色时，共有 种；54313=180当区域 A、D 不同色时，共有 种；因此，所有基本事件总数为： 种54322=240 180+240=420由于只有 A、D，B、E 可能同色，故可按选用 3色、4 色、5 色分类计算，求出基本
30、事件总数为.(种 它们是等可能的 又因为 A、D 为红色时，共有 种；B、E 为红色时，35+245+55=420) . 433=36共有 种；因此，事件 M包含的基本事件有： 种 所以， 433=36 36+36=72.()=72420=635随机变量 的分布列为： 0 1 2P635 2335 635所以，()=0635+12335+2635=1对于图一根据分布计数原理依次摆放鲜花，可直接解得(1)对于图二求恰有两个区域用红色鲜花的概率 设 M表示事件 “恰有两个区域用红色鲜花”，把图二 5个(2) .区域中的 4个区域用 A、B、D、E 分别表示出来，然后分类讨论出 当区域 A、D 同色时和 当区域 A、D 不同色时的总的排列种数 再求出有两个区域同用红色的种数，列出分布列，利用期望的公式求出期望.此题主要考查分布乘法计数原理和简单的排列组合问题在实际中的应用，题中涉及到分类讨论思想，在高考中属于常用思想，同学们需要多加注意
